Диссертация (1150721), страница 8
Текст из файла (страница 8)
на первом этапе тела описывают траектории, сходные с теми, которые наблюдаются в ближайшей области устойчивых движений;2. на втором этапе траектории тел плотно заполняют область, ограниченную эллипсом с малым эксцентриситетом;3. на заключительном этапе происходит серия коротких выбросов компонентов изограниченной области движения, затем происходит далекий выброс, для которого максимальное взаимное расстояние между компонентами становится больше, чем rmax = 5d.Эволюция устойчивой системы не содержит третьего этапа в течение времени t ≤20 000τ .Рис.
2.8: Стадии эволюции неустойчивой тройной системы в окрестности областиорбиты Брука: (а) — первый этап, (б) — второй этап, (в) — третий этап.36Рис. 2.9: Стадии эволюции неустойчивой тройной системы в окрестности областиорбиты Мура: (а) — первый этап, (б) — второй этап, (в) — третий этап.Таким образом, в переходных областях вне пограничных областей динамическаяэволюция тройных систем, как правило, завершается далеким выбросом одного изкомпонентов или распадом системы — система неустойчива.Сравнение аппроксимаций функций распределения времени жизни (до моментадалекого выброса) показательным и степенным законами показало, что на большихвременах распределение лучше аппроксимируется степенным законом.
Найденныйрезультат качественно согласуется с результатами, полученными другими авторами(Urminsky and Heggie, 2009; Orlov et al., 2010; Bogomolov et al., 2011; Pavluchenko,2011; Мельников и др., 2013) при других способах задания начальных условий в задаче трех тел. В этих работах было показано, что распределение времени распада набольших временах хорошо аппроксимируется степенными законами с параметрами α37Рис.
2.10: Стадии эволюции неустойчивой тройной системы в окрестности областиорбиты Шубарта: (а) — первый этап, (б) — второй этап, (в) — третий этап.(см. выше), лежащими в пределах от 1.4 до 2.2. Нами было получено значение α ≈ 2,попадающее в этот интервал.382.3Метод поиска близких к периодическим орбитИзвестные периодические орбиты Шубарта, Мура и Брука (см.
выше) обладают общим свойством: в некоторый (принятый за начальный) момент времени все три теларасполагаются на одной прямой — имеет место сизигия. Как было показано Монтгомери (Montgomery, 2006), состояние сизигии свойственно всем тройным системам снулевым угловым моментом, кроме треугольного решения, полученного Лагранжем.Мы рассматриваем частный случай сизигии, при котором одно из тел помещается вцентре масс системы.Была поставлена задача поиска и изучения свойств близких к периодическим орбит, обладающих сизигией. Рассматривались системы с компонентами равных масси нулевым угловым моментом. Использовался способ задания начальных условий,предложенный Мартыновой и др.
(2009) (см. также § 2.1). Вектор скорости центрального тела был: а) противоположно направлен относительно векторов скоростей двухкрайних тел, которые были равны по величине и направлению; б) для выполнениязакона сохранения импульса его модуль полагался в два раза больше, чем модуливекторов скорости крайних тел. Полная энергия тройной системы E была равна −1.Начальные скорости и координаты тел определялись через два параметра: вириальный коэффициент k и угол φ между вектором скорости центрального тела ипрямой, на которой лежат три тела; при вычислениях использовалась система динамических единиц, применявшаяся в работах Мартыновой и др. (2009), Ясько иОрлова (2014а,б) (см.
§ 2.1, формулы (2.1) — (2.10)).Поиск близких к периодическим орбит осуществлялся сканированием областиначальных условий (k, φ) при помощи безразмерной функции:Φ2 (t) =3 [∑|ri0 − ri |2i=1d2]+|ṙi0 − ṙi |2,(d/τ )2(2.11)где d — средний размер тройной системы; ri0 и ri — начальный и текущий радиусвекторы положения i-го тела (i = 1, 2, 3); ṙi0 и ṙi — начальный и текущий радиусвекторы скорости i-го тела (i = 1, 2, 3). Значения Φ(t) определялись на каждом шагечисленного интегрирования и в 19 промежуточных точках с помощью квадратичнойинтерполяции.Для дальнейшего изучения отбирались траектории с начальными условиями внекоторой точке плоскости (k, φ), для которых значение функции Φ(t) в какой-томомент времени, равный или кратный периоду T , не превышало некоторое малоекритическое значение Φcrit .Сканирование двумерной области (k, φ) для систем с периодами T < 10τ позволило обнаружить несколько областей, в которых могут находиться искомые близкиек периодическим орбиты.
Вначале проводилось сканирование всей рассматриваемой39области k ∈ (0, 1), φ ∈ (0, π2 ) с шагами ∆k = ∆φ = 0.001 со значениями Φcrit = 0.03и Φcrit = 0.01. Далее, найденные области сканировались с более мелкими шагами∆k = ∆φ = 0.0001 при Φcrit = 0.003.Дополнительно была просканирована вся область параметров (k, φ) с шагами∆k = ∆φ = 0.001 для орбит с периодами T < 100τ со значением Φcrit = 0.03. Привычислениях использовался параметр точности ε = 1 · 10−14 .402.42.4.1Результаты сканированияПериоды T < 10τВ результате описанного выше сканирования была построена карта областей (рис.
2.11),в которых выполняются условия:1. Φ < Φcrit = 0.03 (светлосерые области),2. Φ < Φcrit = 0.01 (темносерые области),3. Φ < Φcrit = 0.003 (черные области).Рис. 2.11: Область (k, φ) для орбит с периодами T < 10τ .На рис. 2.11 выделяется около 20 светлосерых областей, внутри некоторых из нихрасполагаются компактные вложенные друг в друга множества темносерых и черных точек. Можно предположить, что внутри черных областей находятся точки созначениями (k, φ), соответствующие периодическим орбитам.Для областей, примыкающих к оси абсцисс, точки, для которых строились орбиты, выбирались на оси φ = 0 как проекции геометрических центров соответствующихобластей на ось.
Для всех остальных областей аналогичные точки (k, φ) выбиралисьвблизи их геометрических центров.41Построенные траектории представлены на рис. 2.12– 2.24, их характеристики сведены в табл. 2.1. В таблице представлены начальные условия (k, φ) и значения периодов T для близких к периодическим орбит, найденных в нашей работе и в работе(Šuvakov and Dmitrašinović, 2013). Нами были вычислены значения (k ′ , φ′ ) по начальным координатам и скоростям, приведенным на сайте http : //suki.ipb.ac.rs/3body/,по следующим формулам:p2k ′ = 1.2(p21 + p22 ), φ′ = arctg .(2.12)p1Здесь p1 и p2 — начальные значения импульсов крайних тел вдоль осей x и y. Значения периодов, приведенные на сайте http : //suki.ipb.ac.rs/3body/, были переведеныв систему единиц, используемую в диссертации (см. также Ясько и Орлов, 2014а,б);в табл.
2.1 они обозначены T ′ (седьмой столбец). Точки (k ′ , φ′ ) для орбит из работы(Šuvakov and Dmitrašinović, 2013) нанесены кружками на рис. 2.11.Таблица 2.1: Значения (k, φ) и периодов для найденных периодических орбит.N1234567891011121314151617181920212223k0.4840.1330.1960.424—0.447—0.3470.2610.4180.2240.0200.1020.2030.3120.4620.5260.2380.2840.3330.1620.5320.418φ1.0000.3930.2451.435—0.706—0.7800.5160.5450.8570.0000.0000.0000.0000.0000.0000.4540.5650.6560.8451.0531.571T1.683.623.626.67—4.39—9.776.315.375.375.391.810.901.813.604.389.939.002.689.016.701.67k′0.4851420.1319220.1967220.4238660.0279530.4470870.4776560.3473190.2612910.4283960.224381————————————φ′0.9933160.3882070.2433981.4347880.9934750.7060940.8008680.7774070.5158170.5352140.858247————————————T′Примечания1.675739Орбита Мура3.617188—3.616516—6.671516—7.194441—4.391826—7.762814—9.772517—6.314014—5.370972—5.370773——————Орбита Шубарта———————————S-орбита—————Орбита БрукаНа рисунках представлены траектории движения тел в течение одного периода всистеме координат, связанной с центром масс тройной системы.
Для тройных систем42с начальными условиями на оси φ = 0 (прямолинейная задача) для всех тел вместо траекторий приведены зависимости координаты x от времени (в этих случаяхкоордината y = 0).Среди найденных орбит были обнаружены четыре ранее известных: орбита Шубарта, Мура, Брука и S-орбита (рис. 2.12)1 .На плоскости (k, φ) выделяется связная структура (светлосерая область), примыкающая к оси абсцисс, в пределах которой расположены пять темносерых и вложенных в них черных областей (номера орбит 2, 3, 13–15 из табл. 2.1). Периодическиеорбиты в пределах этой структуры имеют периоды, кратные периоду орбиты Шубарта (номер 14).
Так, орбиты 13 и 15, располагающиеся на оси абсцисс приблизительносимметрично относительно орбиты Шубарта, имеют удвоенные периоды по сравнению с ней. Дополнительный анализ показал, что эти орбиты идентичны с точностьюдо сдвига по фазе, равного периоду орбиты Шубарта (см. рис. 2.13). Орбиты 2 и 3имеют периоды, равные приблизительно четырем периодам орбиты Шубарта. Геометрия орбит 2 и 3 сходна (см. рис. 2.14): траектория центрального тела имеет трисамопересечения на оси симметрии в пределах своей области движения, а крайниетела делают по четыре оборота (у орбиты 2 два витка траектории накладываютсяво внешней части).Орбиты 12 и 16 с начальными условиями на оси абсцисс, но расположенные внесвязной структуры, также имеют периоды, кратные периоду орбиты Шубарта, соответственно, шестикратный и четырехкратный (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
