Диссертация (1150721), страница 13
Текст из файла (страница 13)
3.15а,б). Причем начальная конфигурация для каждой из этих орбит совпадает с конфигурацией для другой в момент времени t = T /2. Отметим, что та жесамая базовая последовательность соответствует орбите 6 в прямолинейной задаче(см. табл. 3.1), период которой близок к периодам орбит 41 и 42.Траектория 43 представляет собой спрямленную“ траекторию 42: тесное двой”ное сближение тел A и C в верхней части рис. 3.15б трансформируется в двойноесоударение (рис. 3.15в). Кроме того, наблюдается определенное сходство орбит 43и 20: двойные сближения тел B и C на рис.
3.15в переходят в двойные соударения (рис. 3.8б), а траектория компонента A становится прямолинейной. Имеет местосоизмеримость периодов (в пределах точности их определения) орбит 43 и 20 — от43≈ 76 . Таким образом, наблюдается эволюция характера траектории сношение TT20увеличением ξ и η. Представляет интерес исследовать, являются ли орбиты 42, 43 и20 изолированными друг от друга или они входят в одно непрерывное семейство вобласти D. Начальные условия для орбит 43 и 44 близки, их периоды отличаютсяприблизительно в 2 раза. Поэтому эти орбиты можно отнести к одному семейству.Заметим, что все орбиты на рис. 3.15 имеют сходные символические последовательности.88Рис. 3.15: Примеры траекторий с начальными положениями вне границ областиD: (а) Орбита 41: (ξ, η) = (0.2062, 0.1988); T = 3.64τ .
(б) Орбита 42: (ξ, η) =(0.0274, 0.3411); T = 3.63τ . (в) Орбита 43: (ξ, η) = (0.0670, 0.4680); T = 3.23τ . (г)Орбита 44: (ξ, η) = (0.0580, 0.4768); T = 6.79τ .89Рис. 3.16: Примеры траекторий с начальными положениями вне границ областиD: (а) Орбита 45: (ξ, η) = (0.3420, 0.6858); T = 9.29τ . (б) Орбита 46: (ξ, η) =(0.3170, 0.7141); T = 9.31τ .Начальные условия для орбит 45 и 46 находятся вне области D. В силу симметрии относительно границы — дуги окружности должны существовать аналогичныетраектории с начальными условиями внутри области. Однако при общем сканировании они не были найдены, что может быть связано с недостаточно мелким шагомсканирования. Эти тройные системы имеют сходную динамическую эволюцию наначальной стадии: происходит тесное двойное сближение тел B и C, с последующим пролетом тела A вблизи центра масс системы, однако дальнейшая эволюцияразлична.
Несмотря на это, периоды орбит близки. Динамическая эволюция обеихсистем приводит к остановке всех тел в момент времени t = T /2. Заметим, что виткитраекторий тел B и C орбиты 46 симметричны относительно центра масс тройнойсистемы, а траектория тела A — самосимметрична.Орбиты, представленные на рис. 3.17а,б, не имеют аналогов среди найденных нами выше. В ходе эволюции тройной системы 47 происходит серия двойных сближений компонентов B и C.
Можно предположить, что существует семейство подобныхорбит с разным количеством двойных сближений тел B и C в течение одного периода. Орбита 48 имеет ось симметрии, ориентированную под углом приблизительно 45градусов к осям координат. В ходе эволюции происходят два выброса тела B вдольоси симметрии.
Во время выбросов компоненты A и C образуют временную двойную систему. В тройных системах 49 и 50 одно из тел испытывает последовательныедвойные сближения с каждым из оставшихся. Это свойство присуще орбитам типаорбиты Шубарта (см. рис. 2.12а).90Рис. 3.17: Примеры траекторий с начальными положениями вне границ областиD: (а) Орбита 47: (ξ, η) = (0.4285, 0.1337); T = 12.61τ . (б) Орбита 48: (ξ, η) =(0.2105, 0.1083); T = 13.06τ . (в) Орбита 49: (ξ, η) = (0.1401, 0.0636); T = 23.91τ . (г)Орбита 50: (ξ, η) = (0.1621, 0.1777); T = 59.71τ .913.5Основные выводыНа основе проведенного исследования можно сделать следующие выводы.1.
В общей задаче трех тел равных масс с нулевыми начальными скоростями былообнаружено 50 областей начальных условий для орбит, близких к периодическим, спериодами T < 100 τ .2. Можно предположить, что в найденных областях начальные условия для точных периодических орбит находятся:а) на оси Oξ — 18 орбит (прямолинейная задача);б) на дуге окружности, ограничивающей область D, — 22 орбиты (равнобедреннаязадача);в) внутри и вне области D — 10 орбит (общий случай).3. Все найденные орбиты (кроме одной) обладают симметрией относительно момента времени t = T /2: в этот момент происходит либо остановка всех трех тел(25 орбит), либо соударение двух тел с одновременной остановкой третьего тела (24орбиты).4. Были введены базовые символические последовательности, которые можно использовать для классификации найденных периодических орбит и прослеживанияэволюции их форм и периодов при изменении начальных условий.92ЗАКЛЮЧЕНИЕВ результате проведенных в диссертации численно-экспериментальных исследованийможно сделать следующие основные выводы.1.
Изучено поведение тройных систем в переходных областях между областямиустойчивости для известных периодических орбит на плоскости параметров(k, φ): между орбитой Шубарта и орбитой Мура; между орбитой Брука и орбитой Мура. Показано, что границы областей устойчивости могут быть какгладкими и резкими, так и размытыми. Внутри переходной области вне областей устойчивости динамическая эволюция тройных систем завершается уходом одного из компонентов по гиперболической орбите или далеким выбросом,при этом два других тела образуют тесную двойную с эллиптическим движением.
Построено распределение времен потери устойчивости. Показано, что набольших временах это распределение подчиняется степенному закону.2. В результате изучения отдельных траекторий в переходных областях были выделены три основных этапа эволюции неустойчивых тройных систем:• движения тел сходны с движениями, наблюдаемыми в ближайшей окрестности устойчивых периодических орбит;• витки траекторий заполняют область, ограниченную эллипсом с малымэксцентриситетом, причем центр эллипса совпадает с центром масс тройной системы;• начинается серия коротких выбросов компонентов, затем происходит илидалекий выброс, для которого максимальное взаимное расстояние междукомпонентами становится больше, чем rmax = 5d, или уход одного компонента из тройной системы.3.
Обнаружена 21 область начальных параметров (k, φ), каждая из которых, вероятно, соответствует определенной периодической орбите. Все обнаруженныеблизкие к периодическим орбиты обладают симметрией относительно поворотана 180◦ : витки траекторий крайних тел накладываются друг на друга, а витки93траектории центрального тела самосимметричны.
Для ряда орбит также имеет место осевая симметрия относительно двух взаимно ортогональных осей,проходящих через центр масс тройной системы.4. На плоскости (k, φ) найденные области разделяются на две группы: изолированные области; области, образующие связную структуру, примыкающую к осиабсцисс. Периодические орбиты в пределах связной структуры имеют периоды,кратные периоду орбиты Шубарта.
Кроме того, выделяется цепочка, ориентированная под углом ≈ 45◦ к оси абсцисс, в которую входят орбиты двух типов:• орбиты с осевой симметрией;• орбиты с точками возврата для крайних тел и точками поочередных двойных соударений центрального тела с каждым из крайних тел.5. Обнаружено несколько десятков новых близких к периодическим орбит с периодами T < 100τ . Показано, что в области начальных условий обнаруженные орбиты образуют различные семейства. Принадлежность к тому или иному семейству определяется топологическим сходством и кратностью периодаданной орбиты (порожденной) периоду основной (порождающей) орбиты.
Вкачестве порождающих орбит, как правило, выступают известные орбиты: орбита Шубарта, S-орбита, орбита Мура, орбита Брука, а также новая орбита 27(рис. 2.27г), период которой не кратен ни одному из периодов перечисленныхвыше орбит.6. Установлено, что при переходе через определенную область начальных условий происходит качественное изменение топологии орбит: с одной стороны этойобласти орбиты принадлежат множеству орбиты Шубарта, а с другой — множеству S-орбиты.
Периодические орбиты в переходной области обладают свойствами обеих порождающих орбит.7. В рамках задачи трех тел равных масс с нулевыми начальными скоростями обнаружено 50 орбит, близких к периодическим, с периодами T < 100 τ . Можнопредположить, что в окрестностях начальных условий найденных орбит находятся начальные условия для точных периодических орбит.8. Большинство найденных орбит обладают симметрией относительно моментавремени t = T /2: в этот момент происходит либо остановка всех трех тел, либосоударение двух тел с одновременной остановкой третьего тела.9. Построены базовые символические последовательности, которые можно использовать для классификации близких к периодическим орбит и прослеживанияэволюции их форм и периодов при изменении начальных условий.94СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1.
Агекян Т.А., Аносова Ж.П. Исследование динамики тройных систем методомстатистических испытаний // Астрон. журн. 1967. Т. 44. С. 1261–1272.2. Агекян Т.А., Аносова Ж.П. Начальная конфигурация и распад тройных систем// Труды АО ЛГУ. 1977. Т. 33. С. 52–61.3. Алексеев В.М. Финальные движения в задаче трех тел и символическая динамика // Успехи мат. наук. 1981.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
