Диссертация (1150529), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Çíà÷èòîïòèìàëüíûì ïðåäëîæåíèåì ëþáîãî ïîêóïàòåëÿ áóäåò îäíà èç öåí a1 , . . . , an .Ó÷èòûâàÿ (1.41), óñëîâèå (b) ðàâíîñèëüíîarg maxx∈[an ,1]{∫x(2 − x)F (x) −an}ydF (y) = an .40Íàéäåì âûèãðûø ïîêóïàòåëÿ ïðè ïðåäëàãàåìîé öåíå ai , i = 1, . . . , nH2 (b, ai ) =i (∑j=1aj + aib−2)(F (σj ) − F (σj−1 )) =ai1∑= (b − )F (σi ) −aj (F (σj ) − F (σj−1 )).22 j=1iÏðèðàâíèâàÿ âûðàæåíèÿ äëÿ H2 (βi , ai ) è H2 (βi , ai−1 ), íàéäåì çíà÷åíèå βi ,ïðè êîòîðîì ïðîèñõîäèò ïåðåêëþ÷åíèå ñî ñòðàòåãèè B = ai−1 íà ñòðàòåãèþB = ai :βi = ai +(ai − ai−1 )F (σi−1 ),2(F (σi ) − F (σi−1 ))i = 1, ..., n.(1.42)Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî äëÿ i = 1, . . .
, nH2 (b, ai ) − H2 (b, ai−1 ) = (b − βi )(F (σi ) − F (σi−1 )),ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ïîêóïàòåëåé ñ ðåçåðâíîé öåíîé b < βi çàïðàøèâàåìàÿ öåíàai−1 âûãîäíåå, ÷åì ai , à äëÿ ïîêóïàòåëåé ñ ðåçåðâíîé öåíîé b > βi çàïðàøèâàåìàÿ öåíà ai ëó÷øå, ÷åì ai−1 .Òàêèì îáðàçîì, ïîêàçàíî, ÷òî íàèëó÷øèì îòâåòîì ïîêóïàòåëÿ íà ñòðàòåãèþS(s) ÿâëÿåòñÿ ñòðàòåãèÿ n-ïîðîãîâîãî âèäà (1.40), ãäå βi , i = 1, ..., n îïðåäåëÿþòñÿ âûðàæåíèÿìè (1.42), βn+1 = 1, β0 = 0.Àíàëîãè÷íûå ðàññóæäåíèÿ ïðîâîäÿòñÿ äëÿ íàõîæäåíèÿ îïòèìàëüíîãî îòâåòà ïðîäàâöà íà ïîðîãîâóþ ñòðàòåãèþ ïîêóïàòåëÿ. Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ïîêóïàòåëüèñïîëüçóåò ñòðàòåãèþ (1.40), ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî îïòèìàëüíûé îòâåò ïðîäàâöà{S(s) =ai åñëè σi−1 ≤ s < σi ,i = 1, ..., ns åñëè an = σn ≤ s ≤ 1,ãäå σi , i = 1, ..., n îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèìè ñîîòíîøåíèÿìèσi = ai −(ai+1 − ai )(1 − G(βi+1 )),2(G(βi+1 ) − G(βi ))i = 1, ..., n.41Òàêèì îáðàçîì, äëÿ îáùåãî ñëó÷àÿ n ïîðîãîâ èìååò ìåñòî ñëåäóþùåå íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ðàâíîâåñèÿ.Òåîðåìà 1.5.
n-ïîðîãîâûå ïðîôèëè ñòðàòåãèé S(s), B(b) ñ ìàðãèíàëüíûìèöåíàìè 0 < a1 < . . . < an < 1, ïîðîãàìè 0 = σ0 < σ1 < . . . < σn < 1 = σn+1 è0 = β0 < β1 < . . . < βn < 1 = βn+1{S(s) ={B(b) =ai åñëè σi−1 ≤ s < σi ,i = 1, ..., ns åñëè an = σn ≤ s ≤ 1,b åñëè 0 ≤ b ≤ β1 = a1 ,ai åñëè βi < b ≤ βi+1 ,i = 1, ..., nîáðàçóþò áàéåñîâñêîå ðàâíîâåñèå â ìîäåëè îäíîøàãîâîãî äâóõñòîðîííåãî äâîéíîãî çàêðûòîãî àóêöèîíà ñ íåïðåðûâíûìè è âîçðàñòàþùèìè ðàñïðåäåëåíèÿìè F (x) è G(x) ðåçåðâíûõ öåí, åñëè âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè âêðàéíèõ òî÷êàõ{arg max x(1 − G(x)) −∫xx∈[0,a1 ]}ydG(y) = a1 ,0{arg max (2 − x)F (x) +∫1x∈[an ,1]}ydF (y) = an ,xè çíà÷åíèÿ ïîðîãîâ óäîâëåòâîðÿþò ñèñòåìå óðàâíåíèéσi = ai −(ai+1 − ai )(1 − G(βi+1 )),2(G(βi+1 ) − G(βi ))βi = ai +(ai − ai−1 )F (σi−1 ),2(F (σi ) − F (σi−1 ))i = 1, ..., n.i = 1, ..., n,ãäå a0 = 0, an+1 = 1.b , Fb(x) îïðåäåëÿþòñÿ ïî (1.25),(1.26).
 òåîÍàïîìíèì, ÷òî ôóíêöèè G(x)ðåìàõ 1.1-1.5 äëÿ âûïîëíåíèÿ óñëîâèé îïòèìàëüíîñòè â êðàéíèõ òî÷êàõ äî-b , x ∈ (0, a1 ), è íåâîçðàñòàíèÿ Fb(x), x ∈ (an , 1). Åññòàòî÷íî íåóáûâàíèÿ G(x)ëè F (x), G(x) èìåþò êóñî÷íî-íåïðåðûâíûå ïëîòíîñòè f (x) íà (an , 1) è g(x) íà(0, a1 ), òî â òåîðåìå 1.5 äëÿ âûïîëíåíèÿ óñëîâèé îïòèìàëüíîñòè â êðàéíèõ òî÷-42êàõ äîñòàòî÷íî â òî÷êàõ íåïðåðûâíîñòè1 − G(x) − 2xg(x) ≥ 0,2(1 − x)f (x) − F (x) ≤ 0,x ∈ (0, a1 ),x ∈ (an , 1).Íàéäåì äîñòàòî÷íîå óñëîâèå, â êîòîðîì íå òðåáóåòñÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ.
Ïåðâîå óñëîâèå îïòèìàëüíîñòè â êðàéíèõ òî÷êàõ ðàâíîñèëüíî∫a1(a1 − x)(1 − G(a1 )) ≥ (x + y)dG(y),x ∈ [0, a1 ],xãäå, çàìåíÿÿ x + y íà 2a1 , ïîëó÷àåì äîñòàòî÷íîå óñëîâèåG(a1 ) − G(x) 1 − G(a1 ),≤a1 − x2a1x ∈ [0, a1 ).Åñëè â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè íóëÿ ôóíêöèÿG(y) − G(x)≤Dy−xx∈[0,y)gb(y) = supîãðàíè÷åííàÿ ñâåðõó, òî îáîçíà÷èì A ∈ (0, 1) íàèìåíüøèé êîðåíü óðàâíåíèÿ2ybg (y) = 1 − G(y),y ∈ (0, 1],òîãäà ïåðâîå óñëîâèå îïòèìàëüíîñòè â êðàéíèõ òî÷êàõ âûïîëíåíî äëÿ âñåõ a1 ∈(0, A]. Àíàëîãè÷íî, åñëè â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè åäèíèöû ôóíêöèÿF (x) − F (y)fb(y) = sup≤Ex−yx∈(y,1]îãðàíè÷åííàÿ ñâåðõó, òî îáîçíà÷èì C ∈ (0, 1) íàèáîëüøèé êîðåíü óðàâíåíèÿ2(1 − y)fb(y) = F (y),y ∈ [0, 1),òîãäà âòîðîå óñëîâèå îïòèìàëüíîñòè â êðàéíèõ òî÷êàõ âûïîëíåíî äëÿ âñåõan ∈ [C, 1).  óðàâíåíèÿõ âûøå ìîæíî çàìåíèòü fb(y) íà E , gb(y) íà D, äëÿíàõîæäåíèÿ A, C .43Ïî òåîðåìå 1.5 ìîæíî íàéòè âñå ðàâíîâåñèÿ ñðåäè n-ïîðîãîâûõ ñòðàòåãèéäëÿ ëþáûõ íåïðåðûâíûõ è âîçðàñòàþùèõ ðàñïðåäåëåíèé äëÿ ðåçåðâíûõ öåí.Çàìåòèì, ÷òî ïðè ïðîèçâîëüíûõ (íåîáÿçàòåëüíî íåïðåðûâíûõ) ðàñïðåäåëåíèÿõðåçåðâíûõ öåí óñëîâèÿ òåîðåìû 1.5 îñòàþòñÿ äîñòàòî÷íûìè äëÿ ðàâíîâåñèÿ.Ïðè ýòîì, ñòðàòåãèè è îáëàñòü ñäåëêè èìååò âèä, èçîáðàæåííûé íà ðèñ.
1.9 èðèñ. 1.10.Ñâÿçü ðàâíîâåñèé ñ íåïðåðûâíûìè è n-ïîðîãîâûìè ïðîôèëÿìèñòðàòåãèé. Ïóñòü ðàñïðåäåëåíèå ðåçåðâíûõ öåí èìåþò íåïðåðûâíûå íà [0, 1]ïëîòíîñòè f (x), g(x), à ìàðãèíàëüíûå öåíû a, c óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì îïòèìàëüíîñòè â êðàéíèõ òî÷êàõ (òåîðåìû 1.1-1.5). Äîïóñòèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòün-ïîðîãîâûõ ðàâíîâåñèé ñ óðîâíÿìè öåíû ñäåëêè 0 < a = a1 < . .
. < an = c < 1,òàêîâû ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòè∆n a =max (ai+1 − ai ),i=1,...,n−1∆n σ = max (σi − σi−1 ),i=2,...,n∆n β =max (βi+1 − βi ),i=1,...,n−1ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ ïðè n → ∞.Ðàññìîòðèì êóñî÷íî-ëèíåéíûå ñ òî÷êàìè ðàçëîìà ai , i = 1, . . . , n, ôóíêöèèU (t), V (t), òàêèå ÷òî U (ai ) = βi , V (ai ) = σi , i = 1, . . . , n. Ïî òåîðåìå 1.5 ëåâàÿïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè V â òî÷êàõ ai , i = 2, . . . , n ðàâíàV ′ (ai −) =(σi − σi−1 )F (σi−1 )V (ai ) − V (ai−1 ) σi − σi−1==∼ai − ai−1ai − ai−12(βi − ai )(F (σi ) − F (σi−1 ))F (σi )F (V (ai ))∼=.2(βi − ai )f (σi ) 2(U (ai ) − ai )f (V (ai ))Àíàëîãè÷íî, ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî ïðàâàÿ ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè U â òî÷êàõai , i = 1, . .
. , n − 1 ýêâèâàëåíòíà ïðè n → ∞U ′ (ai +) ∼1 − G(U (ai )).2(ai − V (ai ))g(U (ai ))Ïðàâàÿ è ëåâàÿ ÷àñòè îáîèõ âûðàæåíèé âûøå ñîâïàäàþò ñ äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè òåîðåìû 1.1 äëÿ íåïðåðûâíîãî ðàâíîâåñèÿ.44Ìîæíî îæèäàòü, ÷òî òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàâíîâåñèé ñ n ïîðîãàìèáóäåò ñõîäèòüñÿ ê íåïðåðûâíîìó ðàâíîâåñèþ.1.4Ðàâíîâåñèå ïðè ðàâíîìåðíîìðàñïðåäåëåíèè ðåçåðâíûõ öåíÏðåäïîëîæèì, ðåçåðâíûå öåíû ïðîäàâöîâ è ïîêóïàòåëåé èìåþò ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå íà ðûíêå, ò.å. F (x) = x, x ∈ [0, 1] è G(x) = x, x ∈ [0, 1].Óñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè â êðàéíèõ òî÷êàõ (òåîðåìû 1.1-1.5){arg maxx∈[0,a]arg maxx∈[c,1]{}3− x2 + x = a,2}3− x2 + 2x = c,2âûïîëíÿþòñÿ äëÿ âñåõ a ≤ 1/3 è c ≥ 2/3.Ðàâíîâåñèå ñ íåïðåðûâíûìè ñòðàòåãèÿìè.
Ïî òåîðåìå 1.2 öåíîâûå ãðà-íèöû ñäåëêè 0 < a < c < 1 íàõîäèì èç óðàâíåíèé 1 − a = 3a è c = 3(1 − c).Òàêèì îáðàçîì, a = 1/4, c = 3/4 è êðàåâàÿ çàäà÷à èìååò âèäU ′ (t) =1 − U (t),2(t − V (t))13<t< ,44(1.43)V ′ (t) =V (t),2(U (t) − t)13<t< ,44(1.44)1133U( ) = , V ( ) = .4444Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî åå ðåøåíèåì ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèè31U = t− ,28ïðè÷åì V ( 14 ) = 0, U ( 34 ) = 1.33V = t− ,2813<t< ,4445Ïåðåéäÿ ê îáðàòíûì ôóíêöèÿì U −1 , V −1 , íàõîäèì, ÷òî îïòèìàëüíûìè ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíûå ñòðàòåãèè{S(s) ={+ 14 , 0 ≤ s ≤ 34 ,3s,4 ≤ s ≤ 1,23sB(b) =b,23b +0 ≤ b ≤ 14 ,1112 , 4 ≤ b ≤ 1.(1.45)Ïî (1.8),(1.10) íàõîäèì âûèãðûøè èãðîêîâ è âåðîÿòíîñòü ñäåëêè∫b− 4(1b−H2 (b, B(b)) =23x1 )12(4b − 1)2dx =,321≤ b ≤ 1,4)(4s − 3)2− s dy =,3230≤s≤ ,4+ 14 + 23 b +20∫1 ( 23y +H1 (s, S(s)) =112+ 32 s +214s+ 143∫4EH2 = EH1 =(4x − 3)29dx =≈ 0.070,3212801∫1 ∫b− 4P{B(b) ≥ S(s)} =dxdy =149≈ 0.281.320Ðàâíîâåñèå ñ äâóìÿ ïîðîãàìè.
Ïî òåîðåìå 1.3 â êëàññå îäíîïîðîãîâûõñòðàòåãèé ðàâíîâåñèÿ íå ñóùåñòâóåò. Ïî òåîðåìå 1.4 ñðåäè äâóõïîðîãîâûõ ñòðàòåãèé ðàâíîâåñèå ñóùåñòâóåò è òàêèõ ðàâíîâåñèé êîíòèíóóì. Äàëåå íàéäåì âñåðàâíîâåñèÿ â êëàññå äâóõïîðîãîâûõ ñòðàòåãèé. Ñèñòåìà óðàâíåíèé äëÿ íàõîæäåíèÿ ïîðîãîâ β, σ èìååò âèäσ =a−c−a 1−β·,2β−ac−aσ·,2c−σîòêóäà âûâîäèì êâàäðàòíûå óðàâíåíèÿ äëÿ β è σβ =c+2β 2 + (2 − 3c − 5a)β + 2a2 − a − c + 4ac = 0,2σ 2 + (2 − 3a − 5c)σ + 2c2 − 2c + 4ac = 0.46Ó÷èòûâàÿ, ÷òî äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ σ < a è β > c, îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì,÷òî äëÿ ëþáûõ a ≤ 31 , c ≥ 23 , ïðè√9a2 − 2ac − 12a + 9c2 − 4c + 4,β=4√3a + 5c − 2 − 9a2 − 2ac − 12a + 9c2 − 4c + 4σ=,4äâóõïîðîãîâûå ñòðàòåãèè (1.36) áóäóò áàéåñîâñêèì ðàâíîâåñèåì.Íàõîäèì âûèãðûøè ïðîäàâöîâ â ýòîì ñëó÷àå:5a + 3c − 2 +H1 (s, c) = (c − s)(1 − β),a+c− s)(1 − β),2)∫σ (∫ca+cEH1 =− x)(1 − β) dx + (c − x)(1 − β)dx,(a − x)(β − a) + (2H1 (s, a) = (a − s)(β − a) + (σ0è ïîêóïàòåëåéH2 (b, a) = (b − a)σ,H2 (b, c) = (b − c)(c − σ) + (b −∫1 (∫βσ(y − a)dy +EH2 =aa+c)σ,2)a+c(y − c)(c − σ) + σ(y −) dy.2βÂåðîÿòíîñòü ñäåëêè ðàâíàP{B(b) ≥ S(s)} = σ(1 − a) + (c − σ)(1 − β).Ñóììàðíûé âûèãðûø ïðîäàâöîâ è ïîêóïàòåëåé ðàâåíEH1 +EH2 =σ(1 − a) + (c − σ)(1 − β) P{B(b) ≥ S(s)}=.22Çàìåòèì, ÷òî ðàâíîâåñèå äîñòèãàåòñÿ äëÿ ïðîèçâîëüíûõ çíà÷åíèé öåí a, c,êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì a ≤ 1/3 è c ≥ 2/3.
Ïîýòîìó, âàæíîå çíà÷åíèå èìååò íàéòè òàêèå çíà÷åíèÿ ýòèõ ïàðàìåòðîâ, ïðè êîòîðûõ ñóììàðíûéâûèãðûø ïðîäàâöîâ è ïîêóïàòåëåé áóäåò ìàêñèìàëüíûì. Ýòà ïðîáëåìà áûëà47ïîñòàâëåíà Ìàéåðñîíîì è Ñàòòåðâåéòîì â ðàáîòå [2]. Òàêîé íàáîð ïàðàìåòðîâa, c íàçûâàåòñÿ ñòèìóëèðóþùèì (incentive-compatible).Ìàêñèìóì ñóììàðíîãî âûèãðûøà èãðîêîâ è âåðîÿòíîñòè ñäåëêè äîñòèãàåòñÿïðè√√5 + 177 − 17β=≈ 0.760, σ =≈ 0.240,1212√23 − 17EH1 = EH2 =≈ 0.066,288√23 − 17P{B(b) ≥ S(s)} =≈ 0.262.72Çàìåòèì, ÷òî ïðè èñïîëüçîâàíèè ëèíåéíûõ ñòðàòåãèé (1.45) âûèãðûøè èãðîêîâïîëó÷èëèñü áîëüøå 0.070, à âåðîÿòíîñòü ñäåëêè 0.281.Ðàâíîâåñèå ñ òðåìÿ ïîðîãàìè. Èññëåäóåì òåïåðü ñòðàòåãèè ñ òðåìÿ ïîðîãàìè.
 òåîðåìå 1.5 âûáåðåì a1 , a2 , a3 òàêèìè, ÷òîáû ìàêñèìèçèðîâàòü ñóììàðíûé âûèãðûø1a= ,32c= ,3EH1 +EH2 = E(b − s)I{B(b)≥S(s)} =∫ β2 ∫ σ1∫ β3 ∫=dy(y − x)dx +dyβ10β2σ2∫(y − x)dx +0∫1dyβ3σ3(y − x)dx.0×èñëåííûå ðàñ÷åòû ïîêàçûâàþò, ÷òî ìàêñèìóì ñóììàðíîãî âûèãðûøà äîñòèãàåòñÿ ïðè a1 = 1/3, a2 = 1/2, a3 = 2/3, ïðè ýòîì, ïîðîãè ðàâíûσ1 ≈ 0.1460, σ2 ≈ 0.4615, σ3 ≈ 0.6667,β1 ≈ 0.3333, β2 ≈ 0.5385, β3 ≈ 0.8540,è çíà÷åíèå ìàêñèìàëüíîãî âûèãðûøà ðàâíî EH1 + EH2 ≈ 0.1364. Çàìåòèì,÷òî çíà÷åíèå ìàêñèìàëüíîãî âûèãðûøà áîëüøå, ÷åì 0.1311 ïðè èñïîëüçîâàíèèäâóõïîðîãîâûõ ñòðàòåãèé, íî ìåíüøå, ÷åì 0.1406 â ðàâíîâåñèè ñ íåïðåðûâíûìèñòðàòåãèÿìè.Ðàâíîâåñèå ñ n ïîðîãàìè. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé n-ïîðîãîâûõ ñòðàòåãèé, ãäån ≥ 4.
Ïî òåîðåìå 1.5 óñëîâèÿ äëÿ îïòèìàëüíûõ ïîðîãîâ ïîêóïàòåëÿ è ïðîäàâöà48ïðèìóò âèä(ak − ak−1 )σk−1,2(σk − σk−1 )βk = ak +σk = ak −(1.46)k = 1, ..., n,(ak+1 − ak )(1 − βk+1 ),2(βk+1 − βk )(1.47)k = 1, ..., n,ãäå ïîëîæèì σ0 = 0 è βn+1 = 1.Íàéäåì ñòèìóëèðóþùåå ðàâíîâåñèå, ïðè êîòîðîì ñóììàðíûé âûèãðûø èãðîêîâEH1 +EH2 =n ∫∑∫βk+1dyβkk=1σk01∑(y − x)dx =σk (βk+1 − βk )(βk+1 + βk − σk )2nk=1áóäåò ìàêñèìàëüíûì. Ñîñòàâèì ôóíêöèþ Ëàãðàíæà, âêëþ÷èâ òóäà îãðàíè÷åíèÿ (1.46)-(1.47).L(a, σ, β) = 4(EH1 +EH2 ) +n∑k=1+n∑(µkk=1(λk(ak − ak−1 )σk−1βk − ak −2(σk − σk−1 ))+)(ak+1 − ak )(1 − βk+1 ).σk − ak +2(βk+1 − βk )Èç óñëîâèé îïòèìàëüíîñòè ïåðâîãî ïîðÿäêà∂L= 0,∂ak∂L= 0,∂σk∂L= 0,∂βkk = 1, ..., n,íàõîäèì()∂Lσk−1σk= −λk 1 ++ λk+1+∂ak2(σk − σk−1 )2(σk+1 − σk )()1 − βk+11 − βk− µk 1 += 0, k = 1, ..., n,+µk−12(βk − βk−1 )2(βk+1 − βk )è(1.48)∂L= 2(βk+1 − βk )(βk+1 + βk − 2σk )+∂σk+λk(ak − ak−1 )σk−1(ak+1 − ak )σk+1−λ+ µk = 0,k+12(σk − σk−1 )22(σk+1 − σk )2k = 1, ..., n.(1.49)49Óñëîâèÿ= 0, k = 1, ..., n çàìåíèì óñëîâèÿìè, êîòîðûå ñëåäóþò èç ñèììåòðèè çàäà÷è, è ñëåäîâàòåëüíî, ñèììåòðèè îïòèìàëüíûõ ñòðàòåãèé∂L∂βkβk = 1 − σn−k+1 ,k = 1, ..., n.Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî óñëîâèÿ (1.46)-(1.49) áóäóò âûïîëíåíû ïðèσk =3k,4n+2k = 1, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
