Диссертация (1150529), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ w(x) = x1 (. . . xn−1 (xn (x))) = x ÿâëÿåòñÿ ðàâíîâåñèåì â ïåðåãîâîðàõ î âðåìåíè âñòðå÷è. Åñëè çàäà÷à óæå ðåøàëàñüäëÿ n − 1 èãðîêîâ, òî ìû ìîæåì èñïîëüçîâàòü ïîëó÷åííûå ðàñ÷åòû íàèëó÷øèõ îòâåòîâ äëÿ ðåøåíèÿ â ñëó÷àå n èãðîêîâ, ïðè ýòîì êîëè÷åñòâî îáëàñòåéïàðàìåòðîâ ðåøåíèÿ óòðàèâàåòñÿ.  îáùåì ñëó÷àå ïðîñòðàíñòâî ïàðàìåòðîâ(δ, c1 , . . . , cn ) ðàçáèâàåòñÿ íà 3n−2 ÷àñòåé. [24] áûë ïðåäëîæåí ìåòîä îáðàòíîé èíäóêöèè äëÿ íàõîæäåíèÿ ðàâíîâåñèÿâ êëàññè÷åñêîé çàäà÷å ïåðåãîâîðîâ äâóõ ëèö î ðàçäåëå ïèðîãà.  [31] èññëåäîâàíî ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü ðàâíîâåñèÿ â ïåðåãîâîðàõ n ëèö äëÿ ñëó÷àÿíåïðåðûâíûõ áåç ëîêàëüíûõ ìàêñèìóìîâ ôóíêöèé ïðåäïî÷òåíèé.

Îäèí èç ïîëó÷åííûõ èìè ðåçóëüòàòîâ ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì.Ïðåäëîæåíèå 2.1(Êàðäîíà, Ïîíñàòè).Åñëè ôóíêöèè ïðåäïî÷òåíèéó÷àñòíèêîâ ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïåðåãîâîðîâ î ìîìåíòå âñòðå÷è uj (x) íåïðåðûâíûå áåç ëîêàëüíûõ ìàêñèìóìîâ, òî ñòàöèîíàðíîå ñîâåðøåííîå ïîäûãðîâîåðàâíîâåñèå ïî Íýøó ñóùåñòâóåò, ïðè÷åì íà ïåðâîì øàãå ïðèíèìàåòñÿ ïðåäëîæåíèå ïåðâîãî èãðîêà x∗1 .Åñëè ê òîìó æå uj (x) âîãíóòûå, òî ñóùåñòâóåò êîýôôèöèåíò äèñêîíòèðîâàíèÿ δu < 1, òàêîé ÷òî ïðè ëþáîì δ ≥ δu ðàâíîâåñèå x∗1 åäèíñòâåííîå.74Ïðè ýòîì íåçàâèñèìî îò ïîðÿäêà ïðåäëîæåíèé èãðîêîâ ñóùåñòâóåò ïðåäåëîïòèìàëüíûõ ñòðàòåãèé x∗j ïðè δ → 1.2.2.2Ðàâíîâåñèå äëÿ ñëó÷àÿ òðåõ ó÷àñòíèêîâÐåøèì çàäà÷ó äëÿ òðåõ èãðîêîâ I1 , I2 , I3 .

Ïóñòü c1 = 1, c2 = 0, 0 ≤ c3 = c ≤ 1.Ôóíêöèè ïîëåçíîñòåé u1 (x) = x, u2 (x) = 1 − x. Äëÿ I3 ôóíêöèÿ ïðåäïî÷òåíèéóäîâëåòâîðÿåò ñâîéñòâàì u3 (δx) ≥ δu3 (x), u3 (1 − δ + δx) ≥ δu3 (x), äëÿ âñåõx, δ ∈ [0, 1].Èãðîêè ïî î÷åðåäè ïðåäëàãàþò ðàçëè÷íûå âàðèàíòû ðåøåíèÿ è äëÿ åãî ïðèíÿòèÿ íóæíî ñîãëàñèå âñåõ ó÷àñòíèêîâ.

Ïîêàæåì, ÷òî â çàâèñèìîñòè îò ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó c è δ ðàâíîâåñèå áóäåò èìåòü ðàçëè÷íûé âèä.Èãðîêè õîäÿò ïî î÷åðåäè I1 → I2 → I3 → I1 → . . .. Äîïóñòèì, ÷òî èãðîêI1 ïðåäëàãàåò àëüòåðíàòèâó x1 = x. Íàéäåì íàèëó÷øèé îòâåò x3 (x) èãðîêà I3 .Åãî ïðåäëîæåíèå y áóäåò ïðèíÿòî ïåðâûì èãðîêîì, åñëè u1 (y) áóäåò íå ìåíüøå,÷åì δu1 (x), ò. å.

y ≥ δx. Ïðåäëîæåíèå y áóäåò ïðèíÿòî âòîðûì èãðîêîì, åñëèu2 (y) ≥ δu2 (x), ò. å. y ≤ 1 − δ + δx. Ñàìîãî èãðîêà I3 èíòåðåñóåò òàêîå çíà÷åíèåy èç èíòåðâàëà [δx, 1 − δ + δx], êîòîðîå ìàêñèìèçèðóåò ïîëåçíîñòü u3 (y)δx,åñëè δx > c,x3 (x) =c,åñëè δx ≤ c ≤ 1 − δ + δx,1 − δ + δx, åñëè c > 1 − δ + δx.Ðàçáåðåì âñå òðè ñëó÷àÿ äëÿ ïàðàìåòðà c. Ó÷èòûâàÿ ôîðìóëó (2.18) äëÿíàèëó÷øèõ îòâåòîâ, äîêàçàííóþ â îáùåì ñëó÷àå, èìååì x2 (x) = δx è x1 (x) =1 − δ + δx.1) c < δx.Íàèëó÷øèìè îòâåòàìè èãðîêîâ I3 , I2 è I1 ÿâëÿþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî x3 =δx, x2 = δ 2 x, x1 = 1 − δ + δ 3 x. Ýòî ïðèâîäèò ê óðàâíåíèþ äëÿ íàõîæäåíèÿñòàöèîíàðíîãî ñîâåðøåííîãî ïî ïîäûãðàì ðàâíîâåñèÿ ïî Íýøóx = 1 − δ + δ 3 x,îòêóäà íàõîäèìx∗ =1−δ,1 − δ3åñëè c <δ − δ2.1 − δ3752) δx ≤ c ≤ 1 − δ + δx.Ïîñëåäîâàòåëüíî íàõîäèì íàèëó÷øèå îòâåòû x3 = c, x2 = δc, x1 = 1−δ+δ 2 c.Çíà÷èò x∗ = 1 − δ + δ 2 c, ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ δx∗ ≤ c ≤ 1 − δ + δx∗ , êîòîðîåýêâèâàëåíòíîδ(1 − δ)1 − δ2≤c≤.1 − δ31 − δ33) c > 1 − δ + δx.Âû÷èñëÿåì x3 = 1 − δ + δx, x2 = δ − δ 2 + δ 2 x, x1 = 1 − δ + δ 2 − δ 3 + δ 3 x.Îòêóäà èìååì1 − δ21 − δ + δ2 − δ3, åñëè c >.x =1 − δ31 − δ3Îêîí÷àòåëüíî ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåìó óòâåðæäåíèþ.∗Òåîðåìà 2.5.

Äëÿ ñëó÷àÿ n=3 ó÷àñòíèêîâ â çàäà÷å ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïåðå-ãîâîðîâ î ìîìåíòå âñòðå÷è â ñòàöèîíàðíîì ñîâåðøåííîì ïîäûãðîâîì ðàâíîâåñèè îïòèìàëüíîå ïðåäëîæåíèå ïåðâîãî èãðîêà åñòüx∗1 =1−δ1−δ 3 ,åñëè c <δ−δ 21−δ 3 ,2δ−δ1 − δ + δ 2 c, åñëè 1−δ3 ≤ c ≤2 1−δ+δ2 −δ3,åñëè c > 1−δ1−δ 31−δ 3 .1−δ 21−δ 3 ,ïðè÷åì îíî ïðèíèìàåòñÿ åäèíîãëàñíî íà ïåðâîì øàãå.

Îïòèìàëüíûå ïðåäëîæåíèÿ ïðè äèñêîíòèðîâàíèè δ → 1 ðàâíû11 3 , åñëè c < 3 ,lim x∗j =c, åñëè 31 ≤ c ≤ 23 ,δ→1 223 , åñëè c > 3 .2.2.3Ðàâíîâåñèå äëÿ ñëó÷àÿ ÷åòûðåõ ó÷àñòíèêîâÏóñòü c1 = 1, c2 = 0, 0 ≤ c3 , c4 ≤ 1. Èãðîêè ïðåäëàãàþò àëüòåðíàòèâû ïîî÷åðåäè I1 → I2 → I3 → I4 → I1 → . . .. Ïðåäïîëîæèì, èãðîê I1 ïðåäëàãàåòx1 = x. Íàèëó÷øèé îòâåò èãðîêà I4 ïðåäëîæåíèå x4 (x) = y âû÷èñëÿåòñÿ ïîôîðìóëå (2.18) è èìååò òðè îáëàñòè ïàðàìåòðà c4 . Íàèëó÷øèå îòâåòû îñòàëüíûõèãðîêîâ, çàâèñÿùèå îò y è c3 , óæå ïîñ÷èòàíû â èãðå äëÿ 3-õ èãðîêîâ.1) c4 < δx, c3 < δy = δ 2 x.76Íàèëó÷øèå îòâåòû x4 = δx = y , x3 = δy = δ 2 x, x2 = δ 2 y = δ 3 x, x1 =1 − δ + δ 3 y = 1 − δ + δ 4 x.

Èç óðàâíåíèÿ 1 − δ + δ 4 x = x íàõîäèìx∗11−δ=,1 − δ4x∗2ïðè óñëîâèèδ3 − δ4=,1 − δ4δ − δ2c4 <,1 − δ4x∗3δ2 − δ3=,1 − δ4x∗4δ − δ2=,1 − δ4δ2 − δ3c3 <.1 − δ42) c4 < δx, δ 2 x ≤ c3 ≤ 1 − δ + δ 2 x. ýòîì ñëó÷àå x4 = δx, x3 = c3 , x2 = δc3 , x1 = 1 − δ + δ 2 c3 . Îòêóäà ïîëó÷àåìx∗1 = 1 − δ + δ 2 c3 ,x∗2 = δc3 ,x∗3 = c3 ,x∗4 = δ − δ 2 + δ 3 c3 ,ïðè óñëîâèèc4 < δ − δ + δ c3 ,23δ2 − δ31 − δ + δ2 − δ3≤ c3 ≤.1 − δ41 − δ43) c4 < δx, c3 > 1 − δ + δ 2 x.Âû÷èñëÿåì x4 = δx, x3 = 1−δ+δ 2 x, x2 = δ−δ 2 +δ 3 x, x1 = 1−δ+δ 2 −δ 3 +δ 4 x =x.

Îïòèìàëüíûìè ñòðàòåãèÿìè áóäóòx∗1=x∗3ïðè óñëîâèè1 − δ + δ2 − δ3,=1 − δ4δ − δ2 + δ3 − δ4c4 <,1 − δ4x∗2=x∗4δ − δ2 + δ3 − δ4=,1 − δ41 − δ + δ2 − δ3c3 >.1 − δ44) δx ≤ c4 ≤ 1 − δ + δx, c3 < δc4 .Ïîëó÷àåì íàèëó÷øèå îòâåòû, êîòîðûå è áóäóò îïòèìàëüíûìè ñòðàòåãèÿìèx4 = x∗4 = c4 ,åñëèx3 = x∗3 = δc4 ,x2 = x∗2 = δ 2 c4 ,1 − δ2δ − δ2≤ c4 ≤,1 − δ41 − δ4x1 = x∗1 = 1 − δ + δ 3 c4 ,c3 < δc4 .5) δx ≤ c4 ≤ 1 − δ + δx, δc4 ≤ c3 ≤ 1 − δ + δc4 .77Íàèëó÷øèå îòâåòû è îïòèìàëüíûå ñòðàòåãèèx4 = x∗4 = c4 ,x3 = x∗3 = c3 ,x2 = x∗2 = δc3 ,x1 = x∗1 = 1 − δ + δ 2 c3 ,ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèéδ(1 − δ + δ 2 c3 ) ≤ c4 ≤ 1 − δ 2 + δ 3 c3 ,δc4 ≤ c3 ≤ 1 − δ + δc4 .6) δx ≤ c4 ≤ 1 − δ + δx, c3 > 1 − δ + δc4 .Íàèëó÷øèå îòâåòû è îïòèìàëüíûå ñòðàòåãèèx4 = x∗4 = c4 ,x3 = x∗3 = 1 − δ + δc4 ,x2 = x∗2 = δ − δ 2 + δ 2 c4 ,x1 = x∗1 = 1 − δ + δ 2 − δ 3 + δ 3 c4 ,ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèéδ − δ2 + δ3 − δ41 − δ2 + δ3 − δ4≤ c4 ≤,1 − δ41 − δ4c3 > 1 − δ + δc4 .7) c4 > 1 − δ + δx, c3 < δ − δ 2 + δ 2 x.Âû÷èñëÿåì x4 = 1 − δ + δx, x3 = δ − δ 2 + δ 2 x, x2 = δ 2 − δ 3 + δ 3 x, x1 =1 − δ + δ 3 − δ 4 + δ 4 x = x.

Îïòèìàëüíûìè ñòðàòåãèÿìè áóäóòx∗11 − δ + δ3 − δ4,=1 − δ4ïðè óñëîâèèx∗2δ2 − δ4=,1 − δ41 − δ2c4 >,1 − δ4x∗3δ − δ3=,1 − δ4x∗41 − δ2=,1 − δ4δ − δ3c3 <.1 − δ48) c4 > 1 − δ + δx, δ − δ 2 + δ 2 x ≤ c3 ≤ 1 − δ 2 + δ 2 x.Âû÷èñëÿåì x4 = 1−δ+δx, x3 = c3 , x2 = δc3 , x1 = 1−δ+δ 2 c3 . Îïòèìàëüíûìèñòðàòåãèÿìè áóäóòx∗1 = 1 − δ + δ 2 c3 ,x∗2 = δc3 ,ïðè óñëîâèèc4 > 1 − δ + δ c3 ,23x∗3 = c3 ,x∗4 = 1 − δ 2 + δ 3 c3 ,δ − δ31 − δ3≤ c3 ≤.1 − δ41 − δ478Ðèñ.

2.2. Îáëàñòè ïàðàìåòðîâ ïðèÐèñ. 2.3. Îáëàñòè ïàðàìåòðîâ ïðèδ = 0.7δ→19) c4 > 1 − δ + δx, c3 > 1 − δ 2 + δ 2 x.Âû÷èñëÿåì x4 = 1 − δ + δx, x3 = 1 − δ 2 + δ 2 x, x2 = δ − δ 3 + δ 3 x, x1 =1 − δ + δ 2 − δ 4 + δ 4 x = x. Îïòèìàëüíûìè ñòðàòåãèÿìè áóäóòx∗11 − δ + δ2 − δ4,=1 − δ4ïðè óñëîâèèx∗2δ − δ4=,1 − δ4x∗31 − δ2 + δ3 − δ4c4 >,1 − δ41 − δ3=,1 − δ4x∗41 − δ2 + δ3 − δ4=,1 − δ41 − δ3c3 >.1 − δ4Îáîçíà÷èì 0 = c4 ≤ c3 ≤ c2 ≤ c1 = 1 ìàêñèìàëüíûå ïðåäïî÷òåíèÿ ó÷àñòíèêîâ â óáûâàþùåì ïîðÿäêå.

Îïòèìàëüíûå ñòðàòåãèè ïðè δ → 1 íåçàâèñèìî îòïîðÿäêà ïðåäëîæåíèé ðàâíû14,2c,1lim x∗j =2,δ→1c3 , 34,åñëè c2 < 14 ,åñëèåñëèåñëèåñëè124 ≤c ≤c3 < 12 <132 ≤c ≤334 <c .12,2c,34,Íà ðèñ. 2.1 èçîáðàæåíû îáëàñòè ïàðàìåòðîâ ïðè δ = 0.7. Ïðåäåëüíûé ñëó÷àé δ → 1, èçîáðàæåííûé íà ðèñ. 2.2, ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê îäíî èç àðáèò-79ðàæíûõ ðåøåíèé çàäà÷è, òàê êàê îíî çàâèñèò ëèøü îò ôóíêöèé ïðåäïî÷òåíèéèãðîêîâ.2.2.4Ðàâíîâåñèå äëÿ ñëó÷àÿnó÷àñòíèêîâ è áëèçêîì êåäèíèöå êîýôôèöèåíòå äèñêîíòèðîâàíèÿÎáîçíà÷èì 0 = cn ≤ cn−1 ≤ .

. . ≤ c2 ≤ c1 = 1 ìàêñèìàëüíûå ïðåäïî÷òåíèÿó÷àñòíèêîâ â óáûâàþùåì ïîðÿäêå. Íàéäåì àñèìïòîòè÷åñêîå ðåøåíèå äëÿ âñåõâîçìîæíûõ ñëó÷àåâ.1) ck+1 <kn< ck .Ïðåäïîëîæèì, ÷òî èãðîê I1 íà n + 1 øàãå ïðåäëàãàåò xn+1 = x ∈(ck+1 , ck ). Íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî íàèëó÷øèå îòâåòû (2.18) âñåõ n èãðîêîâ xn (x),xn−1 (xn (x)), . . . , x1 (. . .

xn−1 (xn (x))) = w(x) ïðèíàäëåæàò èíòåðâàëó [δ n x, 1 −δ n + δ n x], îáå ãðàíèöû êîòîðîãî ñòðåìÿòñÿ ïðè δ → 1 ê x. Çíà÷èò ñóùåñòâóåò δ1 , òàêîå ÷òî äëÿ âñåõ δ ≥ δ1 îïòèìàëüíûå îòâåòû èãðîêîâ ïðèíàäëåæàò(ck+1 , ck ). Ñëåäîâàòåëüíî, íàèëó÷øèì îòâåòîì íà ïðåäëîæåíèå xj+1 ñëåäóþùåãî èãðîêà äëÿ n − k èãðîêîâ Ij ñ ìàêñèìàëüíûìè ïðåäïî÷òåíèÿìè cn , .

. . , ck+1áóäåò ñòðàòåãèÿ xj = δxj+1 , à äëÿ k èãðîêîâ ñ ìàêñèìàëüíûìè ïðåäïî÷òåíèÿìèck , . . . , c1 îïòèìàëüíî èñïîëüçîâàòü ñòðàòåãèþ xj = 1 − δ + δxj+1 .Ïðåäñòàâèì íàèëó÷øèé îòâåò ó÷àñòíèêà Ij íà j øàãå íà ïðåäëîæåíèå x íàn + 1 øàãå â âèäå xj = Pi (δ) + δ i x, ãäå i = n − j + 1. Çàìåòèì, ÷òî P0 (δ) = 0,P0 (1) = 0, P0′ (1) = 0.Åñëè Ij−1 ïðåäëàãàåò xj−1 = δxj = δPi (δ) + δ i+1 x, òî Pi+1 (δ) = δPi (δ),′′Pi+1(δ) = Pi (δ) + δPi′ (δ), Pi+1 (1) = Pi (1), Pi+1(1) = Pi (1) + Pi′ (1).

Характеристики

Список файлов диссертации