Диссертация (1150529), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Íà ðèñ. 1.3 ïðèâåäåí âèä îïòèìàëüíûõ ñòðàòåãèéB(b) è S(s).Âèäíî, ÷òî a, c ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ìàðãèíàëüíûå çíà÷åíèÿ äëÿ ñäåëêè, íèæå çíà÷åíèÿ a ïðîäàâåö íå îïóñêàåò öåíó, à âûøå çíà÷åíèÿ c ïîêóïàòåëü íåïîêóïàåò òîâàð. Íà ðèñ. 1.4 ïðåäñòàâëåíà îáëàñòü ñäåëêè ñ êðèâîëèíåéíîé ãðàíèöåé â äàííîì ñëó÷àå.1.3Ðàâíîâåñèå â êëàññå ïîðîãîâûõ ïðîôèëåéñòðàòåãèé1.3.1Ðàâíîâåñèå â êëàññå ïðîôèëåé ñòðàòåãèé ñ îäíèìïîðîãîìÎïðåäåëåíèå 1.2. Ïðîôèëåì ñòðàòåãèé ïîðîãîâîãî âèäà ñ ìàðãèíàëüíîéöåíîé a ∈ (0, 1) áóäåì íàçûâàòü äëÿ ïðîäàâöîâ è ïîêóïàòåëåé ïðîôèëü ÷èñòûõñòðàòåãèé{S(s) =a, åñëè 0 ≤ s ≤ a,s, åñëè a ≤ s ≤ 1,{B(b) =b, åñëè 0 ≤ b ≤ a,a, åñëè a ≤ b ≤ 1,ò.
å. S(s) = max{s, a}, B(b) = min{b, a}.Ëåììà 1.4. Ïóñòü ïðîôèëè ñòðàòåãèé S(s), B(b) ïîðîãîâîãî âèäà ñ öåíîéa ∈ (0, 1). Òîãäà îíè îáðàçóþò áàéåñîâñêîå ðàâíîâåñèå â îäíîøàãîâîé çàäà÷å îñäåëêàõ, òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñïðàâåäëèâû óñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè âêðàéíèõ òî÷êàõ(a) H1 (0, x) èìååò íà [0, a] íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ïðè x = a,(b) H2 (1, x) íà [a, 1] ïðèíèìàåò íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ïðè x = a.Äîêàçàòåëüñòâî.Íåîáõîäèìîñòü î÷åâèäíà èç îïðåäåëåíèÿ áàéåñîâñêîãî ðàâíîâåñèÿ. Äîêàæåìäîñòàòî÷íîñòü.Óñòàíîâèì íàèëó÷øèé îòâåò ïîêóïàòåëÿ äëÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðàb.
Çàìåòèì, ÷òî ñäåëêà ïðîèñõîäèò, åñëè ðåçåðâíàÿ öåíà ïîêóïàòåëÿ b ∈ [a, 1], àïðåäëàãàåìàÿ èì öåíà y ∈ [a, b] è y ≥ S(s). Ïî ôîðìóëå (1.6) íàéäåì âûèãðûø31Ðèñ. 1.5. Ïîðîãîâûå ïðîôèëè ñòðàòåãèé.Ðèñ. 1.6. Îáëàñòü ñäåëêè ñ îäíèì ïîðîãîì.ïîêóïàòåëÿ∫a (H2 (b, y) =0a+yb−2)∫y (dF (x) +x+yb−2)dF (x) =aya1= (b − )F (y) − F (a) −222∫yxdF (x). (1.29)aÇàìåòèì, ÷òîH2 (b, y) = H2 (1, y) − (1 − b)F (y),îòêóäà, ó÷èòûâàÿ ìîíîòîííîñòü F (y), èç óñëîâèÿ (b) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãîb ∈ [a, 1] âûèãðûø ïîêóïàòåëÿ äîñòèãàåò íàèáîëüøåãî çíà÷åíèÿ ïðè B = a. òî÷êàõ y , ãäå ñóùåñòâóåò ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè F (y), ïðîèçâîäíàÿ âûèãðûøà ðàâíà∂H2 (b, y)F (y)= (b − y)F ′ (y) −.(1.30)∂y2Àíàëîãè÷íûå ðàññóæäåíèÿ ìîæíî ïðîâåñòè è äëÿ ïðîäàâöà. Ñäåëêà ïðîèñõîäèò, åñëè ðåçåðâíàÿ öåíà ïðîäàâöà s ∈ [0, a], à ïðåäëàãàåìàÿ èì öåíà x ∈ [s, a]32è x ≤ B(b). Âûèãðûø ïðîäàâöà (1.5) ðàâåí∫a (H1 (s, x) =))∫1 (a+xy+x− s dG(y) +− s dG(y) =22ax∫a)1a=− s (1 − G(x)) +ydG(y) + (1 − G(a)).
(1.31)222(xxÍåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òîH1 (s, x) = H1 (0, x) + sG(x) − s,îòêóäà, ó÷èòûâàÿ ìîíîòîííîñòü G(x), èç óñëîâèÿ (a) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãîs ∈ [0, a] âûèãðûø ïðîäàâöà äîñòèãàåò íàèáîëüøåãî çíà÷åíèÿ ïðè S = a. òî÷êàõ x, ãäå ñóùåñòâóåò G′ (x), ïðîèçâîäíàÿ âûèãðûøà èìååò âèä∂H1 (s, x)1 − G(x)= (s − x)G′ (x) +.∂x2(1.32)Ëåììà äîêàçàíà.Óñëîâèÿ (a) è (b) ëåììû 1.4 ìîæíî çàìåíèòü íà ðàâíîñèëüíûå èì, ó÷èòûâàÿ (1.29) è (1.31), ÷òî ïðèâîäèò íàñ ê íåîáõîäèìîìó è äîñòàòî÷íîìó óñëîâèþðàâíîâåñèÿ ñðåäè ïîðîãîâûõ ñòðàòåãèé.Òåîðåìà 1.3. Ïîðîãîâûå ïðîôèëè ñòðàòåãèé S(s), B(b) ñ öåíîé ñäåëêè a ∈(0, 1) îáðàçóþò áàéåñîâñêîå ðàâíîâåñèå â ìîäåëè îäíîøàãîâîãî äâóõñòîðîííåãîäâîéíîãî çàêðûòîãî àóêöèîíà ñ ðàñïðåäåëåíèÿìè F (x) è G(x) ðåçåðâíûõ öåí,åñëè âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè â êðàéíèõ òî÷êàõ{∫xarg max x(1 − G(x)) −}ydG(y) = a,x∈[0,a]0{∫1arg max (2 − x)F (x) +x∈[a,1]x}ydF (y) = a.33Ïî (1.3)-(1.6) íàõîäèì ëè÷íûé è îáùèé âûèãðûøè ïîêóïàòåëåé è ïðîäàâöîâè âåðîÿòíîñòü ñäåëêè ïðè ðàâíîâåñèè ñ ôèêñèðîâàííîé öåíîé a:H2 (b, B(b)) = (b − a)F (a),H1 (s, S(s)) = (a − s)(1 − G(a)),( ∫1)EH2 = F (a) ydG(y) − a + aG(a) ,a(EH1 = (1 − G(a)) aF (a) −∫a)xdF (x) ,(1.33)0P{B(b) ≥ S(s)} = F (a)(1 − G(a)).Çàìåòèì, ÷òî åñëè F (x), G(x) èìåþò êóñî÷íî-íåïðåðûâíûå ïëîòíîñòè f (x)íà (a, 1) è g(x) íà (0, a), òî äëÿ ñïðàâåäëèâîñòè ïåðâîãî óñëîâèÿ òåîðåìû 1.3äîñòàòî÷íî âûïîëíåíèÿ â òî÷êàõ íåïðåðûâíîñòè1 − G(x) − 2xg(x) ≥ 0,x ∈ (0, a),(1.34)à âòîðîå óñëîâèå òåîðåìû 1.3 âåðíî, åñëè â òî÷êàõ íåïðåðûâíîñòè2(1 − x)f (x) − F (x) ≤ 0,x ∈ (a, 1).(1.35)Åñëè íåðàâåíñòâî (1.34) âûïîëíÿåòñÿ íà èíòåðâàëå (0, a1 ) è íåðàâåíñòâî(1.35) íà èíòåðâàëå (a2 , 1) è ïðè ýòîì a1 ≥ a2 , òî óñëîâèÿ òåîðåìû 1.3 áóäóò âûïîëíåíû äëÿ ëþáîãî a ∈ [a2 , a1 ], ò.
å. ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî áàéåñîâñêèõðàâíîâåñèé.Ïîðîãîâûå ñòðàòåãèè èçîáðàæåíû íà ðèñ. 1.5, à îáëàñòü ñäåëêè íà ðèñ. 1.6.Òàêèì îáðàçîì, ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé òåîðåìû 1.3 ñäåëêà âñåãäà ïðîèñõîäèòïî ôèêñèðîâàííîé öåíå a. Ïî òåîðåìå 1.3 ìîæíî íàéòè âñå ðàâíîâåñèÿ ñðåäèïîðîãîâûõ ñòðàòåãèé äëÿ ëþáûõ (íåîáÿçàòåëüíî íåïðåðûâíûõ) ðàñïðåäåëåíèéäëÿ ðåçåðâíûõ öåí. Çàìåòèì, íàïðèìåð, äëÿ ñëó÷àÿ ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ðåçåðâíûõ öåí ó÷àñòíèêîâ íà [0, 1] ðàâíîâåñèÿ ñ îäíèì ïîðîãîì íå ñóùåñòâóåò.341.3.2Ðàâíîâåñèå â êëàññå 2-ïîðîãîâûõ ïðîôèëåéñòðàòåãèéÂûøå ìû ïîäðîáíî èññëåäîâàëè ðàâíîâåñèå, êîãäà èãðîêè èñïîëüçóþò ñòðàòåãèè ïîðîãîâîãî òèïà, ïðè ýòîì ñäåëêà âñåãäà ïðîèñõîäèò ïî ôèêñèðîâàííîéðûíî÷íîé öåíå.
Òåïåðü ðàññìîòðèì ñèòóàöèþ íà ðûíêå, êîãäà èãðîêè âûáèðàþòìåæäó äâóìÿ óðîâíÿìè öåí, âûñîêîé c è íèçêîé a.Îïðåäåëåíèå 1.3. Íàçîâåì äâóõïîðîãîâûìè ïðîôèëÿìè ñòðàòåãèé ñ ìàð-ãèíàëüíûìè öåíàìè a, c ∈ (0, 1) è ïîðîãàìè σ, β ∈ (0, 1) ïðîôèëü ÷èñòûõ ñòðàòåãèé èãðîêîâ âèäà a, 0 ≤ s < σ,S(s) =c, σ ≤ s < c,s, c ≤ s ≤ 1, b, 0 ≤ b ≤ a,B(b) =a, a < b ≤ β,c, β < b ≤ 1,(1.36)ãäå 0 < σ ≤ a < c ≤ β < 1.Äâóõïîðîãîâûå ñòðàòåãèè ïðîäàâöîâ è ïîêóïàòåëåé è îáëàñòü ñäåëêè èçîáðàæåíû íà ðèñ. 1.7 è ðèñ. 1.8.Ðèñ.
1.7. 2-ïîðîãîâûå ïðîôèëè ñòðàòåãèé.Ðèñ. 1.8. Îáëàñòü ñäåëêè ñ 2 ïîðîãàìè.35Ëåììà 1.5. Äâóõïîðîãîâûå ñòðàòåãèè (1.36) îáðàçóþò áàéåñîâñêîå ðàâíîâåñèåâ îäíîøàãîâîé çàäà÷å î ñäåëêàõ ñ íåïðåðûâíûìè è âîçðàñòàþùèìè ôóíêöèÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ ðåçåðâíûõ öåí, òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âûïîëíÿþòñÿóñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè â êðàéíèõ òî÷êàõ(a) H1 (0, x) èìååò íà [0, a] íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ïðè x = a,(b) H2 (1, x) íà [c, 1] ïðèíèìàåò íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ïðè x = c, èσ =a−c−a1 − G(β)·,2G(β) − G(a)β =c+c−aF (σ)·.2F (c) − F (σ)Äîêàçàòåëüñòâî.Äîêàæåì äîñòàòî÷íîñòü.
Ïðåäïîëîæèì, ïîêóïàòåëè èñïîëüçóþò äâóõïîðîãîâóþ ñòðàòåãèþ (1.36). Òîãäà âûèãðûø ïðîäàâöîâ ïðè x ≤ a ìîæíî âû÷èñëèòüïî ôîðìóëå∫1 (H1 (s, x) =)B(y) + x− s dG(y) =2x∫β (a12∫a)a+x− s dG(y) +2∫a (x∫1()y+x− s dG(y)+2)c+x− s dG(y) =2βacxydG(y) + (G(β) − G(a)) + (1 − G(β)) + ( − s)(1 − G(x)).
(1.37)222xÇàìåòèì, ÷òîH1 (s, x) = H1 (0, x) + sG(x) − s,îòêóäà, ó÷èòûâàÿ ìîíîòîííîå âîçðàñòàíèå G(x) è óñëîâèå (a), ñëåäóåò, ÷òîH1 (s, x) ïðèíèìàåò íà [s, a] íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ïðè x = a. Çíà÷èò îïòèìàëüíûì ïðåäëîæåíèåì ëþáîãî ïðîäàâöà áóäåò öåíà a èëè c.36Íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òîH1 (s, c) = (c − s)(1 − G(β)),H1 (s, a) = (a − s)(G(β) − G(a)) + (H1 (s, c) − H1 (s, a) =a+c− s)(1 − G(β)),2c−a(1 − G(β)) + (s − a)(G(β) − G(a)) =2(s − σ)(G(β) − G(a)),îòêóäà âûòåêàåò, ÷òî ïðîäàâöû s ∈ [0, σ) äîëæíû íàçâàòü öåíó S = a, à ïðîäàâöû s ∈ (σ, c] äîëæíû îáúÿâèòü öåíó S = c.Àíàëîãè÷íûå ðàññóæäåíèÿ ïðîâåäåì äëÿ ïîêóïàòåëåé.
Ïóñòü ïðîäàâöû ñëåäóþò äâóõïîðîãîâîé ñòðàòåãèè. Òîãäà âûèãðûø ïîêóïàòåëåé ïðè y ≥ c∫y (H2 (b, y) =0S(x) + yb−2∫c(σ−12c+yb−2∫y)∫σ (dF (x) =0∫y)(dF (x) +a+yb−2x+yb−2)dF (x)+)dF (x) =cacyxdF (x) − F (σ) − (F (c) − F (σ)) + (b − )F (y).
(1.38)222cÇàìåòèì, ÷òîH2 (b, y) = H2 (b, y) − (1 − b)F (y),îòêóäà, ó÷èòûâàÿ ìîíîòîííîå âîçðàñòàíèå F (y) è óñëîâèå (b), ñëåäóåò, ÷òî âûèãðûø ïîêóïàòåëÿ ïðèíèìàåò íà [c, b] íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ïðè y = c. Çíà÷èòîïòèìàëüíûì ïðåäëîæåíèåì ëþáîãî ïîêóïàòåëÿ áóäåò öåíà a èëè c.Ëåãêî íàõîäèì, ÷òîH2 (b, a) = (b − a)F (σ),H2 (b, c) = (b − c)(F (c) − F (σ)) + (b −H2 (b, c) − H2 (b, a) = (b − c)(F (c) − F (σ)) −a+c)F (σ),2c−aF (σ) = (b − β)(F (c) − F (σ)),237îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî ïîêóïàòåëè b ∈ [a, β) äîëæíû íàçâàòü öåíó B = a, à ïîêóïàòåëè b ∈ (β, 1] äîëæíû îáúÿâèòü öåíó B = c.Íåîáõîäèìîñòü âûïîëíåíèÿ óñëîâèé (a) è (b) ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ áàéåñîâñêîãî ðàâíîâåñèÿ.
 ñèëó íåïðåðûâíîñòè è ìîíîòîííîñòè H1 (s, c) − H1 (s, a)è H2 (b, c) − H2 (b, a) ïî s è b, è òîãî ôàêòà, ÷òî ïðîäàâöû ñ ðåçåðâíîé öåíîé σè ïîêóïàòåëè ñ ðåçåðâíîé öåíîé β ïîëó÷àþò îäèíàêîâûå âûèãðûøè ïðè ïðåäëàãàåìûõ öåíàõ a è c, ñëåäóþò óðàâíåíèÿ äëÿ ïîðîãîâ σ è β . Ëåììà äîêàçàíà.Óñëîâèÿ (a) è (∗∗) ëåììû 1.5 ìîæíî çàìåíèòü íà ðàâíîñèëüíûå èì, ó÷èòûâàÿ (1.37) è (1.38), ÷òî ïðèâîäèò íàñ ê íåîáõîäèìîìó è äîñòàòî÷íîìó óñëîâèþðàâíîâåñèÿ ñðåäè äâóõïîðîãîâûõ ñòðàòåãèé.Òåîðåìà 1.4. Äâóõïîðîãîâûå ïðîôèëè ñòðàòåãèé S(s), B(b) ñ ìàðãèíàëüíûìèöåíàìè a, c ∈ (0, 1) è ïîðîãàìè σ, β ∈ (0, 1) îáðàçóþò áàéåñîâñêîå ðàâíîâåñèå âìîäåëè îäíîøàãîâîãî äâóõñòîðîííåãî çàêðûòîãî àóêöèîíà ñ íåïðåðûâíûìè èâîçðàñòàþùèìè ðàñïðåäåëåíèÿìè F (x) è G(x) ðåçåðâíûõ öåí, åñëè âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè â êðàéíèõ òî÷êàõ∫x{arg max x(1 − G(x)) −}ydG(y) = a,x∈[0,a]0{∫1arg max (2 − x)F (x) +}ydF (y) = c,x∈[c,1]xà çíà÷åíèÿ ïîðîãîâ óäîâëåòâîðÿþò ñèñòåìå óðàâíåíèéσ =a−c−a1 − G(β)·,2G(β) − G(a)β =c+F (σ)c−a·.2F (c) − F (σ)Ïî òåîðåìå 1.4 ìîæíî íàéòè âñå ðàâíîâåñèÿ ñðåäè äâóõïîðîãîâûõ ñòðàòåãèéäëÿ ëþáûõ íåïðåðûâíûõ è âîçðàñòàþùèõ ðàñïðåäåëåíèé äëÿ ðåçåðâíûõ öåí.Çàìåòèì, ÷òî ïðè ïðîèçâîëüíûõ (íåîáÿçàòåëüíî íåïðåðûâíûõ) ðàñïðåäåëåíèÿõðåçåðâíûõ öåí óñëîâèÿ òåîðåìû 1.4 îñòàþòñÿ äîñòàòî÷íûìè äëÿ ðàâíîâåñèÿ.381.3.3Ðàâíîâåñèå â êëàññån-ïîðîãîâûõïðîôèëåéñòðàòåãèéÐàñïðîñòðàíèì îïèñàííóþ ðàíåå ñõåìó íà ñëó÷àé n-ïîðîãîâûõ ñòðàòåãèé.Îïðåäåëåíèå 1.4.
Íàçîâåì n-ïîðîãîâîé ñòðàòåãèåé ñ ìàðãèíàëüíûìè öå-íàìè 0 < a1 < . . . < an < 1, ïîðîãàìè 0 = σ0 < σ1 < . . . < σn < 1 = σn+1 è0 = β0 < β1 < . . . < βn < 1 = βn+1 ïðîôèëü ÷èñòûõ ñòðàòåãèé ïðîäàâöîâ âèäà{S(s) =ai åñëè σi−1 ≤ s < σi ,i = 1, ..., ns åñëè an = σn ≤ s ≤ 1,(1.39)ãäå σi ≤ ai , i = 1, ..., n, è ïðîôèëü ÷èñòûõ ñòðàòåãèé ïîêóïàòåëåé âèäà{B(b) =b åñëè 0 ≤ b ≤ β1 = a1 ,ai åñëè βi < b ≤ βi+1 ,i = 1, ..., n(1.40)ãäå βi ≥ ai , i = 1, ..., n.Ðèñ. 1.9. Ðàâíîâåñèå ñnïîðîãàìè.Ðèñ. 1.10. Îáëàñòü ñäåëêè ñnïîðîãàìè.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïðîäàâåö èñïîëüçóåò n-ïîðîãîâóþ ñòðàòåãèþ (1.39).
Òàêèì îáðàçîì, âñå ïðîäàâöû ðàçáèòû íà n + 1 ãðóïïó â çàâèñèìîñòè îò çíà÷åíèé ðåçåðâíûõ öåí, è åñëè ðåçåðâíàÿ öåíà s ïðèíàäëåæèò i-îé ãðóïïå, ò.å.39s ∈ [σi−1 , σi ), òî ïðîäàâåö íàçûâàåò öåíó ai , i = 1, ..., n. Åñëè æå ðåçåðâíàÿ öåíàäîñòàòî÷íî âûñîêà (s ≥ an ), ïðîäàâåö íàçûâàåò èñòèííóþ öåíó s.Íàéäåì íàèëó÷øèé îòâåò ïîêóïàòåëÿ äëÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðàb. Çàìåòèì, ÷òî ñäåëêà ïðîèñõîäèò òîëüêî åñëè ðåçåðâíàÿ öåíà ïîêóïàòåëÿ bíå ìåíüøå a1 . Åñëè æå b ≥ a1 , òî ñäåëêà ìîæåò ïðîèçîéòè ïðè óñëîâèè, ÷òîB ≥ S(s).Âû÷èñëèì âûèãðûø ïîêóïàòåëÿ, ðåçåðâíàÿ öåíà êîòîðîãî ðàâíà b.
Äëÿ y :an ≤ y ≤ b îí ðàâåí))∫ y(aj +yx+yb−b−H2 (b, y)=dF (x)+dF (x)=22σaj−1nj=1())∫ y(n∑x+yaj +yb−=(F (σj )−F (σj−1 )) +dF (x) =b−22anj=1∫ny1∑1 yxdF (x) + (b − )F (y). (1.41)=−aj (F (σj )−F (σj−1 )) −2 j=12 an2n ∫∑σj( ðàâíîâåñèè äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèå îïòèìàëüíîñòè äëÿ ïîêóïàòåëÿñ ðåçåðâíîé öåíîé b = 1:(b) H2 (1, x) íà [an , 1] ïðèíèìàåò íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ïðè x = an .Çàìåòèì, ÷òîH2 (b, y) = H2 (1, y) − (1 − b)F (y),îòêóäà, ó÷èòûâàÿ ìîíîòîííîå âîçðàñòàíèå F (y) è óñëîâèå (b), ñëåäóåò, ÷òî âûèãðûø ïîêóïàòåëÿ ïðèíèìàåò íà [an , b] íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ïðè y = an .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
