Диссертация (1150529), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Êàæäûé èç íèõ îáëàäàåò ïðèâàòíîé èíôîðìàöèåé î ñâîåé ðåçåðâíîé öåíå, êîòîðóþ íå çíàåò äðóãîéèãðîê. Ðåçåðâíàÿ öåíà ýòî öåíà, íèæå êîòîðîé ïðîäàâåö íå ñîãëàñåí ïðîäàâàòüñâîé òîâàð, ëèáî ìàêñèìàëüíàÿ öåíà, êîòîðóþ ãîòîâ çàïëàòèòü ïîêóïàòåëü. Äëÿïðîäàâöà ýòî ìîãóò áûòü çàòðàòû íà ïðîèçâîäñòâî òîâàðà s, à äëÿ ïîêóïàòåëÿ åãî îöåíêà äàííîãî òîâàðà b.Ââåäåì êîýôôèöèåíò äèñêîíòèðîâàíèÿ δ è ðàññìîòðèì èãðó ñ áåñêîíå÷íûìãîðèçîíòîì ïëàíèðîâàíèÿ.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íà ðûíêå ðåçåðâíûå öåíû ïðîäàâöîâ è ïîêóïàòåëåé s è b èìåþò ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F (x) è G(x) íàèíòåðâàëå x ∈ [0, 1] (ïëîòíîñòÿìè f (x) è g(x), åñëè ñóùåñòâóþò). Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ðàñïðåäåëåíèÿ ðåçåðâíûõ öåí íå ìåíÿþòñÿ îò øàãà ê øàãó, ò. å. óõîäèãðîêîâ, çàêëþ÷èâøèõ ñäåëêó, êîìïåíñèðóåòñÿ ïðèõîäîì íîâûõ ïðîäàâöîâ èïîêóïàòåëåé. Íà êàæäîì øàãå i = 1, 2, . . . äëÿ ïåðåãîâîðîâ ôîðìèðóþòñÿ ñëó÷àéíûì îáðàçîì ïàðû ïðîäàâåö-ïîêóïàòåëü. Ïîñëå ýòîãî èãðîêè îäíîâðåìåííîîáúÿâëÿþò öåíó íà òîâàð (íå îáÿçàòåëüíî ñîâïàäàþùóþ ñ ðåçåðâíûìè öåíàìè).58Ïðîäàâåö çàïðàøèâàåò öåíó S , ïîêóïàòåëü ïðåäëàãàåò öåíó B .
Åñëè B ≥ S , òîðåçóëüòàòîì ïåðåãîâîðîâ ÿâëÿåòñÿ çàêëþ÷åíèå ñäåëêè ïî öåíå kS + (1 − k)B .Ïîêóïàòåëü è ïðîäàâåö, çàêëþ÷èâøèå ñäåëêó, ïîêèäàþò ðûíîê. Ïàðàìåòð k îòðàæàåò ðûíî÷íóþ ñèëó ó÷àñòíèêîâ. Áóäåì äàëåå ïîëàãàòü, ÷òî ðûíî÷íàÿ ñèëàïîêóïàòåëåé è ïðîäàâöîâ îäèíàêîâàÿ, òî åñòü k = 1/2. Åñëè ïðåäëîæåííàÿ ïîêóïàòåëåì öåíà B ìåíüøå, ÷åì çàïðàøèâàåìàÿ ïðîäàâöîì öåíà S , òî ñäåëêà íåçàêëþ÷àåòñÿ, èãðîêè ïåðåõîäÿò íà ñëåäóþùèé øàã i+1, íà êîòîðîì ïîêóïàòåëü(ïðîäàâåö) âñòóïàåò â ïåðåãîâîðû äëÿ çàêëþ÷åíèÿ ñäåëêè ñ äðóãèì ïðîäàâöîì(ïîêóïàòåëåì).Ó÷àñòíèêè ïåðåãîâîðîâ ñòðåìÿòñÿ ìàêñèìèçèðîâàòü ñâîé äîõîä îò ñäåëêè.Äîõîäîì ó÷àñòíèêîâ ÿâëÿåòñÿ ðàçíèöà ìåæäó ðåçåðâíûìè öåíàìè è öåíîé ñäåëêè, ò.
å. äëÿ ïðîäàâöà ýòî δ i−1 ((S +B)/2−s), äëÿ ïîêóïàòåëÿ δ i−1 (b−(S +B)/2).Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïðîôèëü ÷èñòûõ ñòðàòåãèé ó÷àñòíèêîâ åñòü ôóíêöèè îò ðåçåðâíûõ öåí S(s), B(b). Èãðîêè èñïîëüçóþò ÷èñòûå ñòðàòåãèè, íî ïîñêîëüêóïàðà ïðîäàâåö-ïîêóïàòåëü ôîðìèðóåòñÿ ñëó÷àéíî, òî â êà÷åñòâå âûèãðûøåéðàññìîòðèì ñóììàðíûé îæèäàåìûé äîõîä ïðè çàêëþ÷åíèÿ ñäåëêè íà òåêóùåìøàãå è ïðè ïðîäîëæåíèè èãðû.Âûèãðûø ïðîäàâöà ñ ðåçåðâíîé öåíîé s è çàïðàøèâàåìîé S ðàâåí∫(H1 (s, S, S(s), B(b))=H1 (s, S)=)B(y)+S−s dG(y)+δP{B(b)<S}H1 (s, S),2y:B(y)≥S∫1H1 (s, S)=1 − δP{B(b) < S}()B(y) + S− s dG(y).2y:B(y)≥SÂûèãðûø ïîêóïàòåëÿ ñ ðåçåðâíîé öåíîé b è ïðåäëàãàåìîé B ðàâåí∫H2 (b, B, S(s), B(b))=H2 (b, B)=(S(x)+Bb−2)dF (x)+δP{S(s)>B}H2 (b, B),x:S(x)≤B1H2 (b, B) =1 − δP{S(s) > B}∫(S(x) + Bb−2)dF (x).x:S(x)≤BÊàæäûé èãðîê çíàåò ñâîþ ëè÷íóþ ðåçåðâíóþ öåíó, ðàñïðåäåëåíèÿF (x), G(x) ðåçåðâíûõ öåí ñðåäè ãðóïï ïðîäàâöîâ è ïîêóïàòåëåé, íî íå çíàåò òî÷íîå çíà÷åíèå ðåçåðâíîé öåíû âòîðîãî ó÷àñòíèêà ïåðåãîâîðîâ íà êàæäîì59øàãå.
Ðàâíîâåñèå ïî Íýøó â äàííîé ìíîãîøàãîâîé èãðå íàçûâàåòñÿ áàéåñîâñêèì ðàâíîâåñèåì. Íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî ïðè îïòèìàëüíîì ïîâåäåíèè èãðîêîâS(s) ≥ s è B(b) ≤ b, ò. å. ïðîäàâåö çàâûøàåò, à ïîêóïàòåëü çàíèæàåò èñòèííóþöåíó íà ïðîäóêò, ÷òîáû ïîëó÷èòü äîïîëíèòåëüíûé äîõîä îò ñäåëêè. Ëîãè÷íîïðåäïîëîæèòü, ÷òî ýòî íåóáûâàþùèå ôóíêöèè, ïîñêîëüêó ÷åì áîëüøå çàòðàòûó ïðîäàâöà èëè îöåíêà ñòîèìîñòè ïðåäìåòà ó ïîêóïàòåëÿ, òî è ïðåäëîæåíèÿèãðîêîâ äîëæíû áûòü áîëüøå.Îïðåäåëåíèå 2.1. Ïðîôèëü ÷èñòûõ ñòðàòåãèé S(s), B(b) îáðàçóåò áàéåñîâñêîå ðàâíîâåñèå, åñëè äëÿ ëþáîãî ïðîäàâöà ñ ðåçåðâíîé öåíîé s ∈ [0, 1]åãî îæèäàåìûé äîõîä êàê ôóíêöèÿ çàïðàøèâàåìîé öåíû x ∈ [s, 1]1H1 (s, x) =1 − δP{B(b) < x}∫()B(y) + x− s dG(y)2(2.1)y:B(y)≥xäîñòèãàåò íàèáîëüøåãî çíà÷åíèÿ ïðè x = S(s).
À äëÿ ëþáîãî ïîêóïàòåëÿ ñðåçåðâíîé öåíîé b ∈ [0, 1] åãî îæèäàåìûé äîõîä êàê ôóíêöèÿ ïðåäëàãàåìîéöåíû y ∈ [0, b]1H2 (b, y) =1 − δP{S(s) > y}∫(S(x) + yb−2)dF (x)(2.2)x:S(x)≤yäîñòèãàåò íàèáîëüøåãî çíà÷åíèÿ ïðè y = B(b).2.1.1Ðàâíîâåñèå â êëàññå äèôôåðåíöèðóåìûõ ïðîôèëåéñòðàòåãèéÏðåäïîëîæèì, ÷òî ðåçåðâíûå öåíû ïðîäàâöîâ è ïîêóïàòåëåé s è b ðàñïðåäåëåíû íà èíòåðâàëå [0, 1] ñ íåïðåðûâíûìè ïëîòíîñòÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ ñîîòâåòñòâåííî f (x), x ∈ [0, 1], è g(x), x ∈ [0, 1].Äëÿ íàõîæäåíèÿ îïòèìàëüíûõ ñòðàòåãèé èãðîêîâ âîñïîëüçóåìñÿ ñëåäóþùèìè ñîîáðàæåíèÿìè.
Áóäåì ñ÷èòàòü èõ ôóíêöèÿìè îò ðåçåðâíûõ öåí, ñîîòâåòñòâåííî S = S(s) è B = B(b). Äîïóñòèì, ÷òî ýòî äèôôåðåíöèðóåìûå è ñòðîãî60âîçðàñòàþùèå ôóíêöèè ñîîòâåòñòâåííî íà (σ, c) è (a, β) âèäà0 ≤ s ≤ σ, a,S(s) =V −1 (s), σ ≤ s ≤ c,s,c ≤ s ≤ 1,0 ≤ b ≤ a, b,B(b) =U −1 (b), a ≤ b ≤ β,c,β ≤ b ≤ 1,(2.3)ãäå 0 ≤ σ < a < c < β ≤ 1 . Îáðàòíûå ê íèì ôóíêöèè U = B −1 è V = S −1ÿâëÿþòñÿ äèôôåðåíöèðóåìûìè è ñòðîãî âîçðàñòàþùèìè íà (a, c), ò. å. ñîîòâåòñòâåííî s = V (S) è b = U (B). Ñäåëêà ïðîèñõîäèò ïî öåíå (S(s) + B(b))/2, åñëèB ≥ S . Ôóíêöèè âûèãðûøà èãðîêîâ èìåþò âèä (2.4) è (2.6), ãäå ìàòåìàòè÷åñêîåîæèäàíèå áåðåòñÿ ïî ñîîòâåòñòâóþùèì ðàñïðåäåëåíèÿì.
Çàôèêñèðóåì ñòðàòåãèþ ïîêóïàòåëÿ B(b) è óñòàíîâèì íàèëó÷øèé îòâåò ïðîäàâöà äëÿ ðàçëè÷íûõçíà÷åíèé ïàðàìåòðà s.Ïðè x ∈ [a, c] óñëîâèå B(b) ≥ x ýêâèâàëåíòíî b ≥ U (x). Âûèãðûø ïðîäàâöàðàâåí)∫1 (B(y) + x1H1 (s, x) =− s dG(y).(2.4)1 − δG(U (x))2U (x)Äèôôåðåíöèðóÿ (2.4) ïî x, óñòàíîâèì íàèëó÷øèé îòâåò ïðîäàâöà èç (íåîáõîäèìîãî) óñëîâèÿ ðàâåíñòâà íóëþ ïðîèçâîäíîé âûèãðûøà[( 1 − G(U (x)))∂H1 (s, x)1′=− (x − s)g(U (x))U (x) ·∂x(1 − δG(U (x)))22)∫1 (]B(y) + x′· (1 − δG(U (x))) +− s dG(y) · δ · g(U (x))U (x) , (2.5)2U (x)îòêóäà ïîëó÷àåì èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ îïòèìàëüíûõ ñòðàòåãèé (òî÷íåå îáðàòíûõ ôóíöèé) U (t), V (t)( 1 − G(U (t))2)− (t − V (t))g(U (t))U (t) (1 − δG(U (t)))+′∫1(( t))1′δ · g(U (t))U (t)− V (t) (1 − G(U (t))) +B(y)dG(y) = 0.22U (t)61Àíàëîãè÷íî, ïóñòü S(s) ñòðàòåãèÿ ïðîäàâöà.
Íàéäåì íàèëó÷øèé îòâåò ïîêóïàòåëÿ äëÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðà b. Åãî âûèãðûø ïðè y ∈ [a, c]1H2 (b, y) =1 − δ + δF (V (y))V∫(y)(S(x) + yb−2)dF (x).(2.6)0Äèôôåðåíöèðóÿ (2.6) ïî y , óñòàíîâèì íàèëó÷øèé îòâåò ïîêóïàòåëÿ èç (íåîáõîäèìîãî) óñëîâèÿ ðàâåíñòâà íóëþ ïðîèçâîäíîé âûèãðûøà[(∂H2 (b, y)F (V (y)) )1′=(b−y)f (V (y))V (y)−·∂y(1−δ+δF (V (y)))22V)∫(y)(]S(x)+y′· (1−δ+δF (V (y)))−b−dF (x) · δ · f (V (y))V (y) ,20îòêóäà ïîëó÷àåì âòîðîå èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ îïòèìàëüíûõ ñòðàòåãèé (òî÷íåå îáðàòíûõ ôóíöèé) U (t), V (t)(F (V (t)) )(U (t) − t)f (V (t))V (t) −· (1 − δ + δF (V (t)))−2V (t)∫)(1t′S(x)dF (x) = 0.δ · f (V (t))V (t) · (U (t) − )F (V (t)) −22′0Çàïèøåì ïîëó÷åííóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé â ðàçðåøåííîì îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîäíûõ âèäå∂U=∂t(1−G(U ))(1−δG(U ))],[1∫2g(U ) (1−δ)(t−V )− 2δ (B(y)−t)dG(y)(2.7)F (V )(1−δ+δF (V ))].[V∫2f (V ) (1−δ)(U −t)− 2δ (t−S(x))dF (x)(2.8)U∂V=∂t062Ôóíêöèè U è V äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì U (a) = a, U (c) =β , V (a) = σ , V (c) = c.
Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó â (2.7) è (2.8), ëåãêî íàõîäèì, ÷òîU ′ (a) =(1 − G(a))(1 − δG(a))[],1∫2g(a) (1 − δ)(a − σ) − 2δ (B(y) − a)dG(y)(2.9)aV ′ (c)=F (c)(1−δ+δF (c))[].c∫2f (c) (1 − δ)(β − c)− 2δ (c − S(x))dF (x)(2.10)0Òåïåðü äîêàæåì îñíîâíîé ðåçóëüòàò: íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿðàâíîâåñèÿ â êëàññå äèôôåðåíöèðóåìûõ ñòðàòåãèé.
Çàìåòèì, ÷òî ñëó÷àé δ = 0ñîîòâåòñòâóåò îäíîøàãîâîé çàäà÷å, ïîäðîáíî èçó÷åííîé â ïåðâîé ãëàâå.Òåîðåìà 2.1. Ïóñòü ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F (x) è G(x) èìåþò ïëîòíîñòèf (x) è g(x), íåïðåðûâíûå íà [0, 1] è ïîëîæèòåëüíûå íà (0, 1).Ôóíêöèè U (t), V (t) íåïðåðûâíûå è âîçðàñòàþùèå íà [a, c], äèôôåðåíöèðóåìûå íà (a, c), ïðèíèìàþùèå çíà÷åíèÿ t < U (t) < 1, 0 < V (t) < t íà (a, c),ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèåì êðàåâîé çàäà÷è∂U=∂t[(1−G(U ))(1−δG(U ))∫β],a < t < c,g(U ) 2(1−δ)(t−V )−δ (U −1 (y)−t)dG(y)−δ(c−t)(1−G(β))U∂V=∂tF (V )(1−δ+δF (V ))[],∫Vf (V ) 2(1−δ)(U −t)−δ (t−V −1 (x))dF (x)−δ(t−a)F (σ)a < t < c,σU (a) = a, V (c) = c,ïðè÷åì σ = V (a) < a, β = U (c) > c.Ìàðãèíàëüíûå öåíû 0 < a < c < 1 óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì îïòèìàëüíîñòè â êðàéíèõ òî÷êàõ∫a∫β}1arg max[x(1−G(x))+ ydG(y)+ U −1 (y)dG(y)+c(1−G(β))] = a,x∈[0,a] 1 − δG(x){xa63{1arg max[(2−x)F (x)−aF (σ)−x∈[c,1] 1 − δ + δF (x)∫cV −1 (y)dF (y)−σ∫x}ydF (y)] = c.cÒîãäà äèôôåðåíöèðóåìûå íà [0, c] è [a, 1] ïðîôèëè ñòðàòåãèé ïðîäàâöîâ èïîêóïàòåëåé0 ≤ s ≤ σ, a,S(s) =V −1 (s), σ ≤ s ≤ c,s,c ≤ s ≤ 1,0 ≤ b ≤ a, b,B(b) =U −1 (b), a ≤ b ≤ β,c,β ≤ b ≤ 1,îáðàçóþò áàéåñîâñêîå ðàâíîâåñèå â ìîäåëè ìíîãîøàãîâîãî äâóõñòîðîííåãîäâîéíîãî çàêðûòîãî àóêöèîíà ñ ðàñïðåäåëåíèÿìè F (x) è G(x) ðåçåðâíûõ öåí.Äîêàçàòåëüñòâî.Âûèãðûø ïðîäàâöà s êàê ôóíêöèÿ ïðåäëàãàåìîé öåíû x ∈ [s, c] âû÷èñëÿåòñÿïî ôîðìóëå (2.4), à åå ïðîèçâîäíàÿ ñîãëàñíî (2.5).
Ïðè a < x < c, ó÷èòûâàÿ(2.7), ïîëó÷èì∂H1 (s, x)=∂x=[(1 − δ)(1 − G(U (x)))(s − V (x))(1 − δG(U (x))) 2(1−δ)(x−V (x))−δ∫β]=(U −1 (y)−x)dG(y)−δ(c−x)(1−G(β))U (x)=(1 − δ)U ′ (x)g(U (x))(s − V (x)), (2.11)[1 − δG(U (x))]2îòêóäà âèäíî, ÷òî íàèáîëüøåå çíà÷åíèå H1 (s, x) íà [a, c] äîñòèãàåòñÿ ïðè x =V −1 (s) = S(s) äëÿ s ∈ [σ, c], è ïðè x = a äëÿ s ∈ [0, σ].Çàìåòèì, ÷òî ïåðâîå óñëîâèå îïòèìàëüíîñòè â êðàéíèõ òî÷êàõ ðàâíîñèëüíîòîìó ÷òî äëÿ ïðîäàâöà ñ ðåçåðâíîé öåíîé s = 0 âûèãðûø H1 (0, x) äîñòèãàåòïðè x ∈ [0, a] íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ïðè x = a.Èç (2.4) íåòðóäíî âûâåñòè, ÷òî ïðè x ≤ aH1 (s, x) = H1 (0, x) +s(1 − δ)s− ,δ(1 − δG(x)) δîòêóäà, ó÷èòûâàÿ ìîíîòîííîå âîçðàñòàíèå G(x) è óñëîâèå îïòèìàëüíîñòè äëÿs = 0, ñëåäóåò, ÷òî H1 (s, x) ïðèíèìàåò íà [s, a] íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ïðè x =64a.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
