Диссертация (1150529), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Ñëåäîâàòåëüíî, íåïðåðûâíàÿ ñòðàòåãèÿ S(s) â óñëîâèÿõ òåîðåìû ÿâëÿåòñÿîïòèìàëüíîé äëÿ ïðîäàâöîâ.Àíàëîãè÷íûå ðàññóæäåíèÿ ïðîâîäÿòñÿ äëÿ ïîêóïàòåëåé.Îñîáîå ìåñòî ñðåäè âñåõ íåïðåðûâíûõ ðàâíîâåñèé çàíèìàþò òàêèå, ÷òî ñòðàòåãèè ó÷àñòíèêîâ ÿâëÿþòñÿ ñòðîãî âîçðàñòàþùèìè. Ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèåäàåò íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ðàâíîâåñèÿ ñðåäè ñòðîãî âîçðàñòàþùèõ (ò.÷. ïðîèçâîäíàÿ êîíå÷íà è áîëüøå íóëÿ âî âñåõ òî÷êàõ) è äèôôåðåíöèðóåìûõ ñòðàòåãèé.Òåîðåìà 2.2. Ïóñòü ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F (x) è G(x) èìåþò ïëîòíîñòèf (x) è g(x), íåïðåðûâíûå íà [0, 1], f (x) ïîëîæèòåëüíàÿ íà [0, 1), g(x) ïîëîæèòåëüíàÿ íà (0, 1].Ôóíêöèè U (t), V (t) äèôôåðåíöèðóåìûå è âîçðàñòàþùèå íà [a, c], ïðèíèìàþùèå çíà÷åíèÿ t < U (t) < 1, 0 < V (t) < t íà (a, c), ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèåìêðàåâîé çàäà÷è∂U=∂t(1−G(U ))(1−δG(U ))[],∫1δ2g(U ) (1−δ)(t−V )− 2 (U −1 (y)−t)dG(y)a < t < c,U∂V=∂tF (V )(1−δ+δF (V ))[],V∫2f (V ) (1−δ)(U −t)− 2δ (t−V −1 (x))dF (x)a < t < c,0U (a) = a, V (c) = c,ïðè÷åì V (a) = 0, U (c) = 1,U ′ (a) =(1 − G(a))(1 − δG(a))3=,]1∫22g(a) (1 − δ)a − 2δ (U −1 (y) − a)dG(y)[aV ′ (c)=F (c)(1−δ+δF (c))3][=.∫c2δ−12f (c) (1 − δ)(1 − c)− 2 (c − V (x))dF (x)065Ìàðãèíàëüíûå öåíû 0 < a < c < 1 óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì îïòèìàëüíîñòè â êðàéíèõ òî÷êàõarg max{x∈[0,a]1[x(1 − G(x)) +1 − δG(x){∫a∫1ydG(y) +x1arg max[(2 − x)F (x) −x∈[c,1] 1 − δ + δF (x)}U −1 (y)dG(y)] = a,a∫cV −1 (y)dF (y) −∫x}ydF (y)] = c.c0Òîãäà ñòðîãî âîçðàñòàþùèå è äèôôåðåíöèðóåìûå íà [0, c] è [a, 1] ïðîôèëèñòðàòåãèé ïðîäàâöîâ è ïîêóïàòåëåé{S(s) ={−1V (s), 0 ≤ s ≤ c,s,c ≤ s ≤ 1,B(b) =b,0 ≤ b ≤ a,U −1 (b), a ≤ b ≤ 1,îáðàçóþò áàéåñîâñêîå ðàâíîâåñèå â ìîäåëè ìíîãîøàãîâîãî äâóõñòîðîííåãîäâîéíîãî çàêðûòîãî àóêöèîíà ñ ðàñïðåäåëåíèÿìè F (x) è G(x) ðåçåðâíûõ öåí.Äîêàçàòåëüñòâî.Òàêæå êàê è â ïåðâîé ãëàâå äëÿ îäíîøàãîâîé çàäà÷è, äëÿ íàõîæäåíèÿ ìàðãèíàëüíûõ öåí a è c âîñïîëüçóåìñÿ çäåñü ñëåäóþùèìè ñîîáðàæåíèÿìè.
Çàìåòèì,÷òî ïðè σ > 0 áóäåò V ′ (a) = +∞, ïðè β < 1 áóäåò U ′ (c) = +∞ Ïðåäïîëîæèì,÷òî ñóùåñòâóþò, êîíå÷íû è ïîëîæèòåëüíû ïðîèçâîäíàÿ V ′ (a) è ïëîòíîñòü f (0).Òîãäà σ = 0, è ïî ïðàâèëó Ëîïèòàëÿ âûâîäèì, ÷òîf (V )V ′ (1 − δ + δF (V )) + δF (V )f (V )V ′t→a 2f (V )[(U ′ −1)(1−δ+δF (V ))+(U −t)δf (V )V ′ −δ(U ′ − 1 )F (V )2′f (0)V (a)(1 − δ)V ′ (a)==,−δ(U − 2t )f (V )V ′ + 12 δtf (V )V ′ ] 2f (0)(U ′ (a) − 1)(1 − δ) 2(U ′ (a) − 1)V ′ (a)= limîòêóäà ñëåäóåò, ÷òî U ′ (a) = 1.5.66Àíàëîãè÷íî, ïóñòü ñóùåñòâóþò, êîíå÷íû è ïîëîæèòåëüíû ïðîèçâîäíàÿ U ′ (c)è ïëîòíîñòü g(1). Òîãäà β = 1, è ïî ïðàâèëó Ëîïèòàëÿ ïîëó÷àåì, ÷òî−g(U )U ′ (1 − δG(U )) − δ(1 − G(U ))g(U )U ′U (c)= limt→c 2g(U )[(1−V ′ )(1−δG(U ))−(t−V )δg(U )U ′ −δ( 1 −V ′ )(1−G(U ))2′−g(1)U (c)(1 − δ)−U ′ (c)==,+δ( 2t − V )g(U )U ′ + 12 δtg(U )U ′ ] 2g(1)(1 − V ′ (c))(1 − δ) 2(1 − V ′ (c))′îòêóäà âûòåêàåò, ÷òî V ′ (c) = 1.5.2.1.2Ðàâíîâåñèå â êëàññå ïîðîãîâûõ ïðîôèëåéñòðàòåãèéÒåîðåìà 2.3.
Ïîðîãîâûå ïðîôèëè ñòðàòåãèé S(s), B(b) ñ ìàðãèíàëüíîé öåíîéa ∈ (0, 1) îáðàçóþò áàéåñîâñêîå ðàâíîâåñèå â ìîäåëè ìíîãîøàãîâîãî äâóõñòîðîííåãî äâîéíîãî çàêðûòîãî àóêöèîíà ñ ðàñïðåäåëåíèÿìè F (x) è G(x) ðåçåðâíûõ öåí, åñëè âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè â êðàéíèõ òî÷êàõ{1arg max[x(1 − G(x)) +x∈[0,a] 1 − δG(x)∫a}ydG(y) + a(1 − G(a))] = a,x{1[(2 − x)F (x) − aF (a) −arg maxx∈[a,1] 1 − δ + δF (x)∫x}ydF (y)] = a.aÄîêàçàòåëüñòâî.Ñäåëêà ïðîèñõîäèò, åñëè ðåçåðâíàÿ öåíà ïðîäàâöà s ∈ [0, a], à ïðåäëàãàåìàÿèì öåíà S ∈ [s, a] è S ≤ B(b). Âûèãðûø ïðîäàâöà (2.4) ðàâåí a))∫1 (∫ (1a+xy+xH1 (s, x) =− s dG(y) +− s dG(y) =1 − δG(x)22a xa∫)(1 x − s (1 − G(x)) + 1 ydG(y) + a (1 − G(a)) .
(2.12)=1 − δG(x)222x67Çàìåòèì, ÷òî ïåðâîå óñëîâèå îïòèìàëüíîñòè â êðàéíèõ òî÷êàõ ðàâíîñèëüíîòîìó ÷òî äëÿ ïðîäàâöà ñ ðåçåðâíîé öåíîé s = 0 âûèãðûø H1 (0, x) äîñòèãàåòïðè x ∈ [0, a] íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ïðè x = a.Íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òîH1 (s, x) = H1 (0, x) +(1 − δ)ss− ,δ(1 − δG(x)) δîòêóäà, ó÷èòûâàÿ ìîíîòîííîñòü G(x), ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî s ∈ [0, a] âûèãðûø ïðîäàâöà äîñòèãàåò íàèáîëüøåãî çíà÷åíèÿ ïðè S = a.Àíàëîãè÷íûå ðàññóæäåíèÿ ìîæíî ïðîâåñòè äëÿ ïîêóïàòåëåé. Ñäåëêà ïðîèñõîäèò, åñëè ðåçåðâíàÿ öåíà ïîêóïàòåëÿ b ∈ [a, 1], à ïðåäëàãàåìàÿ èì öåíàB ∈ [a, b] è B ≥ S(s).
Ïî ôîðìóëå (2.6) íàéäåì âûèãðûø ïîêóïàòåëÿH2 (b, y) =(y)11 b−F (y) −1 − δ + δF (y)22∫yaxdF (x) − F (a) .2(2.13)aÂòîðîå óñëîâèå îïòèìàëüíîñòè â êðàéíèõ òî÷êàõ ðàâíîñèëüíî òîìó ÷òî äëÿïîêóïàòåëÿ ñ ðåçåðâíîé öåíîé b = 1 âûèãðûø H2 (1, y) äîñòèãàåò ïðè y ∈ [a, 1]íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ïðè y = a.Çàìåòèì, ÷òîH2 (b, y) = H2 (1, y) −(1 − b)(1 − b)(1 − δ)+,δδ(1 − δ + δF (y))îòêóäà, ó÷èòûâàÿ ìîíîòîííîñòü F (y), ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî b ∈ [a, 1] âûèãðûø ïîêóïàòåëÿ äîñòèãàåò íàèáîëüøåãî çíà÷åíèÿ ïðè B = a. Òåîðåìà äîêàçàíà.Ïîðîãîâûå ñòðàòåãèè è îáëàñòü ñäåëêè èçîáðàæåíû íà ðèñ. 1.5 è ðèñ. 1.6 âïåðâîé ãëàâå. Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé òåîðåìû 2.3 ñäåëêà âñåãäà ïðîèñõîäèòïî ôèêñèðîâàííîé öåíå a. Ïî òåîðåìå 2.3 ìîæíî íàéòè âñå ðàâíîâåñèÿ ñðåäèïîðîãîâûõ ñòðàòåãèé äëÿ ëþáûõ (íåîáÿçàòåëüíî íåïðåðûâíûõ) ðàñïðåäåëåíèéäëÿ ðåçåðâíûõ öåí.
Äàëåå áóäåò ïîêàçàíî, íàïðèìåð, äëÿ ñëó÷àÿ ðàâíîìåðíîãîðàñïðåäåëåíèÿ ðåçåðâíûõ öåí ó÷àñòíèêîâ íà [0, 1] ðàâíîâåñèå ñ îäíèì ïîðîãîìñóùåñòâóåò, åñëè êîýôôèöèåíò äèñêîíòèðîâàíèÿ δ ≥ 2/3.Òåîðåìà 2.4. Ïóñòü F (x), G(x) èìåþò êóñî÷íî-íåïðåðûâíûå è îãðàíè÷åííûåïëîòíîñòè f (x) ≤ L íà [a, 1] è g(x) ≤ M íà [0, a]. Êîýôôèöèåíò äèñêîíòèðî-68âàíèÿ äîñòàòî÷íî áëèçîê ê åäèíèöå, ò.÷.(1 − G(a))2,δ ≥1−2aMδ ≥1−F 2 (a).2(1 − a)L(2.14)(2.15)Òîãäà ïîðîãîâûå ïðîôèëè ñòðàòåãèé S(s), B(b) ñ öåíîé ñäåëêè a ∈ (0, 1) îáðàçóþò áàéåñîâñêîå ðàâíîâåñèå â ìîäåëè ìíîãîøàãîâîãî äâóõñòîðîííåãî äâîéíîãîçàêðûòîãî àóêöèîíà ñ ðàñïðåäåëåíèÿìè F (x) è G(x) ðåçåðâíûõ öåí.Äîêàçàòåëüñòâî. òî÷êàõ íåïðåðûâíîñòè g(x), äèôôåðåíöèðóÿ (2.12) ïî x, íàõîäèì[12=2 1 − G(x) − 2xg(x) − δG(x) + δG (x)+2(1 − δG(x))∫a]+ δxg(x)G(x) + δg(x) yg(y)dy + δag(x) − δaG(a)g(x) + δxg(x) . (2.16)H1′ (0, x)xÓ÷èòûâàÿ, ÷òî∫a∫axg(y)dy = xg(x)(G(a) − G(x)),yg(y)dy ≥ g(x)g(x)xxïðåäñòàâëÿÿ δ = 1 − (1 − δ), ëåãêî ïîëó÷àåì, ÷òî â (2.16) âûðàæåíèå â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ íå ìåíüøå(1 − G(x))2 + g(x)(a − x)(1 − G(a)) − (1 − δ)(−G(x) + G2 (x)++ (x − a)g(x)G(a) + (a + x)g(x)) ≥äàëåå, òàê êàê x ≤ a è âåðíî (2.14), ñëåäóåò≥ (1 − G(x))2 − (1 − δ)(a + x)g(x)) ≥ (1 − G(a))2 − (1 − δ)2aM ≥ 0.Òàêèì îáðàçîì ìû äîêàçàëè, ÷òî ïðîèçâîäíàÿ âûèãðûøà H1′ (0, x) íåîòðèöàòåëüíà íà [0, a], îòêóäà ñëåäóåò âûïîëíåíèå ïåðâîãî óñëîâèÿ òåîðåìû 2.3.69 òî÷êàõ íåïðåðûâíîñòè f (x), äèôôåðåíöèðóÿ (2.13), ïîëó÷àåì[12=2 − (1 − δ)F (y) + 2(1 − δ)f (y) − δF (y)+2(1 − δ + δF (y))∫y]− δyf (y)F (y) + δf (y) xf (x)dx + δaF (a)f (y) − 2(1 − δ)yf (y) .
(2.17)H2′ (1, y)aÇàìå÷àÿ, ÷òî∫y∫yxf (x)dx ≤ f (y)f (y)ayf (x)dx = yf (y)(F (y) − F (a)),aïîäñòàâëÿÿ δ = 1−(1−δ), ëåãêî âûâîäèì, ÷òî â (2.17) âûðàæåíèå â êâàäðàòíûõñêîáêàõ íå ìåíüøå, ÷åì2(1 − δ)(1 − y)f (y) − (1 − δ)(F (y) − F 2 (y)) − F 2 (y) − δ(y − a)f (y)F (a) ≤äàëåå, òàê êàê y ≥ a è âåðíî (2.15), ñëåäóåò≤ 2(1 − δ)(1 − y)f (y) − F 2 (y) ≤ 2(1 − δ)(1 − a)L − F 2 (a) ≤ 0.Ò.å.
ìû äîêàçàëè, ÷òî ïðîèçâîäíàÿ âûèãðûøà H2′ (1, y) íåïîëîæèòåëüíà íà [a, 1],çíà÷èò, âûïîëíåíî âòîðîå óñëîâèå òåîðåìû 2.3. Äîêàçàòåëüñòâî çàâåðøåíî.Òåîðåìà 2.4 ïîêàçûâàåò, ÷òî äëÿ ëþáîé öåíû ñäåëêè a ∈ (0, 1) ïðè îãðàíè÷åííûõ ïëîòíîñòÿõ ðàñïðåäåëåíèÿ èãðîêîâ f (x), g(x) è ïðè äèñêîíòèðîâàíèè δäîñòàòî÷íî áëèçêîì ê åäèíèöå áóäåò èìåòü ìåñòî ðàâíîâåñèå ñ îäíèì ïîðîãîì. ìîäåëè ìû ïðåäïîëîæèëè, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå ðåçåðâíûõ öåí ïðîäàâöîâè ïîêóïàòåëåé îñòàåòñÿ ïîñòîÿííûì íà êàæäîì øàãå. Ýòî áóäåò ïðîèñõîäèòü,åñëè âìåñòî çàêëþ÷èâøèõ ñäåëêó ó÷àñòíèêîâ íà êàæäîì øàãå â èãðó áóäóòâñòóïàòü íîâûå ó÷àñòíèêè ñ òåì æå ðàñïðåäåëåíèåì ðåçåðâíûõ öåí.
Ïóñòü íàêàæäîì øàãå n1 F (x) ýòî êîëè÷åñòâî íîâûõ ïðîäàâöîâ, êîòîðûå ãîòîâû âñòóïèòüâ èãðó, åñëè ðûíî÷íàÿ áóäåò íå ìåíüøå ÷åì x. Àíàëîãè÷íî, ïóñòü n2 (1 − G(x))ýòî êîëè÷åñòâî íîâûõ ïîêóïàòåëåé, ãîòîâûõ êóïèòü òîâàð, åñëè åãî öåíà íåïðåâîñõîäèò x.  íà÷àëå ãëàâû ìû ïðåäïîëàãàëè äëÿ ïðîñòîòû, ÷òî n1 = n2 .Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå óðàâíåíèå áàëàíñà äëÿ íàõîæäåíèÿ70ðûíî÷íîé öåíû a:n1 F (a) = n2 (1 − G(a)),a ∈ (0, 1).Åñëè ó÷àñòíèêè äîñòàòî÷íî òåðïåëèâû (êîýôôèöèåíò äèñêîíòèðîâàíèÿ äîñòàòî÷íî áëèçîê ê åäèíèöå), òî èõ ïîâåäåíèå ïðåäñêàçóåìî: îïòèìàëüíîé ñòðàòåãèåé êàæäîãî ó÷àñòíèêà ÿâëÿåòñÿ íàçâàòü ðûíî÷íóþ ðàâíîâåñíóþ öåíó, åñëèåãî ðåçåðâíàÿ öåíà ïîçâîëÿåò ýòî (òåîðåìû 2.3 è 2.4). Åñëè æå ó÷àñòíèêè íåòåðïåëèâû, òî îíè áóäóò ïðåäëàãàòü ðàçëè÷íûå öåíû íà òîâàð â çàâèñèìîñòè îòñâîåé ðåçåðâíîé öåíû (òåîðåìû 2.1 è 2.2).Ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå ðåçåðâíûõ öåí.
Ïóñòü F (x) = x, G(x) =x, x ∈ [0, 1]. Èç óñëîâèÿ U ′ (a) = 1.5, V ′ (c) = 1.5 òåîðåìû 2.2 ïîëó÷àåì, ÷òîìàðãèíàëüíûå öåíû a è c = 1 − a äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü óðàâíåíèþ∫1(8 − δ)a − 2 − 5δa2 − 3δB(y)dy = 0.aÒàê êàê B(y) ≥ a ïðè y ∈ [a, 1], òî ëåâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ ìåíüøå, ÷åì−2δa2 − 4δa + 8a − 2.Ïîäñòàâëÿÿ a = 1/2, ïîëó÷àåì, ÷òî ïðè δ ≥ 4/5 íå ñóùåñòâóåò ðàâíîâåñèÿ ïîòåîðåìå 2.2 ñ äèôôåðåíöèðóåìûìè è âîçðàñòàþùèìè ñòðàòåãèÿìè.Òàê êàê f (s) = 1, g(b) = 1, òî â òåîðåìå 2.4 ìîæíî ïîëîæèòü L = M = 1.Ïî (2.14), (2.15) íàõîäèì, ÷òî ïðè δ ≥ max{1 −(1−a)2a22a, 1 − 2(1−a)} ïîðîãîâûåñòðàòåãèè ñ öåíîé a ∈ (0, 1) îáðàçóþò ðàâíîâåñèå.
Ïðè a = 12 ìû ïîëó÷àåìäîñòàòî÷íîå ïî òåîðåìå 2.4 óñëîâèå δ ≥ 43 .Íàéäåì òî÷íóþ ãðàíèöó äëÿ δ , ïðîâåðÿÿ óñëîâèÿ òåîðåìû 2.3. Ïðîèçâîäíàÿâûèãðûøà (2.16) â ýòîì ñëó÷àå ðàâíà][311113H1′ (0, x) =δx2 − x + − δa2 + δa ,222 42(1 − δx) 471îòêóäà, ðåøàÿ ñîîòâåòñòâóþùåå êâàäðàòíîå íåðàâåíñòâî, ëåãêî âûâîäèì, ÷òîïðè√9 − 6δ + 3δ 2 a2 − 6δ 2 ax≤3δïðîèçâîäíàÿ âûèãðûøà ïðîäàâöà ñ ðåçåðâíîé öåíîé s = 0 íåîòðèöàòåëüíà. Ñëåäîâàòåëüíî, ïîëó÷àåì íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå3−3−a≤√9 − 6δ + 3δ 2 a2 − 6δ 2 a,3δðåøàÿ êîòîðîå, íàõîäèì, ÷òî ïðîäàâöîâ óñòðîèò öåíà[a ∈ 0,3−δ−]√δ 2 − 10δ + 9.2δÀíàëîãè÷íî ïîëó÷àåì íèæíþþ ãðàíèöó öåíû ñäåëêè äëÿ ïîêóïàòåëåé[]√23δ − 3 + δ − 10δ + 9a∈,1 ,2δîòêóäà, ñëåäóåò, ÷òî ïðè δ ≥[a∈3δ − 3 +√23δ22δïîðîãîâûå ñòðàòåãèè ñ öåíîé ñäåëêè− 10δ + 9,3−δ−√δ2− 10δ + 92δ],îáðàçóþò áàéåñîâñêîå ðàâíîâåñèå â ìîäåëè ìíîãîøàãîâîãî äâóõñòîðîííåãîäâîéíîãî çàêðûòîãî àóêöèîíà ïðè ðàâíîìåðíîì ðàñïðåäåëåíèè ðåçåðâíûõ öåííà èíòåðâàëå [0, 1].2.2Ìîäåëü ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïåðåãîâîðîâ îìîìåíòå âñòðå÷è2.2.1Ïîñòàíîâêà çàäà÷è è îáùàÿ ñõåìà ðåøåíèÿÈãðîêè I1 , .
. . , In äîãîâàðèâàþòñÿ î âðåìåíè âñòðå÷è x èç èíòåðâàëà [0, 1].Ïðåäïîëîæèì, ÷òî èõ ïðåäïî÷òåíèÿ îïèñûâàþòñÿ íåîòðèöàòåëüíûìè íåïðåðûâíûìè ôóíêöèÿìè ïîëåçíîñòè uj (x) ñ îäíèì ìàêñèìóìîì cj íà èíòåðâàëå72[0, 1], òàê ÷òî uj (x) âîçðàñòàåò íà [0, cj ] è óáûâàåò íà [cj , 1]. Íå îãðàíè÷èâàÿîáùíîñòè, ìîæíî ñ÷èòàòü c1 = 1, c2 = 0. Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ïî êðàéíåé ìåðå äëÿ äâóõ èãðîêîâ ïðåäïî÷òåíèÿ èìåþò âèä u1 (x) = x, u2 (x) = 1 − x,à ôóíêöèè ïðåäïî÷òåíèé îñòàëüíûõ ó÷àñòíèêîâ Ij óäîâëåòâîðÿþò ñâîéñòâàìuj (δx) ≥ δuj (x) è uj (1 − δ + δx) ≥ δuj (x), äëÿ âñåõ x, δ ∈ [0, 1].
Ãåîìåòðè÷åñêèýòî îçíà÷àåò, ÷òî ôóíêöèÿ ëåæèò íå íèæå ëþáîãî îòðåçêà, ñîåäèíÿþùåãî ëåæàùóþ íà ãðàôèêå òî÷êó è òî÷êè (0,0) è (1,0). Ýòî ñâîéñòâî î÷åâèäíûì îáðàçîìâûïîëíåíî äëÿ âîãíóòûõ ôóíêöèé.Ðèñ. 2.1. Ôóíêöèè ïðåäïî÷òåíèé ó÷àñòíèêîâ.Èãðîêè ïî î÷åðåäè I1 → I2 → . . . → In → I1 → . . . ïðåäëàãàþò ðàçëè÷íûåâàðèàíòû ðåøåíèÿ, äëÿ ïðèíÿòèÿ êîòîðîãî íóæíî ñîãëàñèå âñåõ ó÷àñòíèêîâ.Íà øàãå i = 1 èãðîê I1 ïðåäëàãàåò àëüòåðíàòèâó x1 ∈ [0, 1], è îñòàëüíûå èãðîêè ëèáî ïðèíèìàþò, ëèáî îòâåðãàþò åå. Åñëè âñå èãðîêè ñîãëàñíû, òî âðåìÿâñòðå÷è x = x1 âûáðàíî è ïåðåãîâîðû çàâåðøàþòñÿ. Èíà÷å, èãðà ïåðåõîäèò íàøàã i = 2, íà êîòîðîì I2 ïðåäëàãàåò ðåøåíèå x2 , à îñòàëüíûå ãîëîñóþò.
È òàêäàëåå, ïîêà èãðîêè íå ïðèäóò ê ñîãëàñèþ. Íà øàãå i áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî åñëèïðèíÿòà àëüòåðíàòèâà x, òî ïîëåçíîñòü èãðîêà Ij ðàâíà δ i−1 uj (x), ãäå δ ∈ (0, 1)åñòü êîýôèöèåíò äèñêîíòèðîâàíèÿ.Äëÿ íàõîæäåíèÿ ðàâíîâåñèÿ â çàäà÷å áóäåì èñïîëüçîâàòü ìåòîä îáðàòíîéèíäóêöèè. Äîïóñòèì, èãðîê Ij çíàåò, ÷òî íà ñëåäóþùåì øàãå áóäåò ïðåäëîæåíààëüòåðíàòèâà xj+1 = x. Íàéäåì ìíîæåñòâî ïðåäëîæåíèé y íà òåêóùåì øàãå,73óñòðàèâàþùåå âñåõ èãðîêîâ. Èãðîê I1 ñîãëàñèòñÿ, åñëè u1 (y) ≥ δu1 (x), ò. å. y ≥δx. Èãðîêà I2 óñòðîèò y ≤ 1 − δ + δx.
Òàêèì îáðàçîì, äîïóñòèìîå ïðåäëîæåíèåïðèíàäëåæèò èíòåðâàëó [δx, 1 − δ + δx]. Îñòàëüíûå èãðîêè ñ ïèêàìè ck ∈ [0, 1]ñîãëàñÿòñÿ íà ëþáîå òàêîå ïðåäëîæåíèå, òàê êàê uk (δx) ≥ δuk (x), uk (1−δ+δx) ≥δuk (x), äëÿ âñåõ x, δ ∈ [0, 1].Çíà÷èò, äîïóñòèìîå ïðåäëîæåíèå y åñòü èíòåðâàë [δx, 1 − δ + δx]. Äëÿ ìàêñèìèçàöèè ñîáñòâåííîãî âûèãðûøà èãðîê Ij äîëæåí ïðåäëîæèòüδx,åñëè cj < δx,xj (x) =cj ,åñëè δx ≤ cj ≤ 1 − δ + δx,1 − δ + δx, åñëè cj > 1 − δ + δx,(2.18)ãäå xj (x) ýòî ôóíêöèÿ íàèëó÷øåãî îòâåòà èãðîêà Ij .Áóäåì èñêàòü ñòàöèîíàðíûå ñîâåðøåííûå ïî ïîäûãðàì ðàâíîâåñèÿ ïî Íýøó.Ñëåäîâàòåëüíî, èãðîê Ij íà êàæäîì øàãå èñïîëüçóåò îäèíàêîâóþ ñòðàòåãèþ xj ,êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ åãî íàèëó÷øèì îòâåòîì (2.18) íà ñòðàòåãèþ xj+1 ñëåäóþùåãîâ î÷åðåäè èãðîêà Ij+1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
