Диссертация (1150529), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Ïîêàçàíî, ÷òî â ñëó÷àå ðàñïðåäåëåíèé ðåçåðâíûõ öåí ñ îãðàíè÷åííîé ïëîòíîñòüþ ðàâíîâåñèå â êëàññå ïðîôèëåéñòðàòåãèé ñ îäíèì ïîðîãîì ñóùåñòâóåò ïðè áëèçêîì ê åäèíèöå êîýôôèöèåíòå äèñêîíòèðîâàíèÿ.3.  ìîäåëè ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïåðåãîâîðîâ î ìîìåíòå âñòðå÷è ñ áëèçêèìê åäèíèöå êîýôôèöèåíòîì äèñêîíòèðîâàíèÿ íàéäåí òî÷íûé âèä ñîâåð-15øåííîãî ïîäûãðîâîãî ðàâíîâåñèÿ äëÿ ñëó÷àÿ íåïðåðûâíûõ áåç ëîêàëüíûõìàêñèìóìîâ ôóíêöèé ïðåäïî÷òåíèé ó÷àñòíèêîâ.4. Ïðåäëîæåíû ïðîöåäóðû êîëëåêòèâíîãî ðàíæèðîâàíèÿ àëüòåðíàòèâ íà îñíîâå ìåòîäîâ êîîïåðàòèâíîé è íåêîîïåðàòèâíîé òåîðèè èãð. Äëÿ ýòîãîñïåöèàëüíûì îáðàçîì ñòðîèòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ íà ìíîæåñòâå àëüòåðíàòèâ, è äîêàçûâàåòñÿ åå ìîíîòîííîñòü è íåîòðèöàòåëüíîñòü. êà÷åñòâå êðèòåðèÿ ðàíæèðîâàíèÿ èñïîëüçóåòñÿ âåêòîð Øåïëè. Äîêàçàíî, ÷òî ïîñòðîåííûå ïðîöåäóðû óäîâëåòâîðÿþò ñâîéñòâàì ãîìîãåííîñòè,åäèíîãëàñèÿ, ìîíîòîííîñòè, Êîíäîðñå.Ñòðóêòóðà è îáúåì äèññåðòàöèè.
Äèññåðòàöèÿ ñîñòîèò èç ââåäåíèÿ, òðåõãëàâ, ðàçáèòûõ íà ðàçäåëû è ïîäðàçäåëû, çàêëþ÷åíèÿ è ñïèñêà ëèòåðàòóðû.Îáùèé îáúåì ðóêîïèñè ñîñòàâëÿåò 110 ñòðàíèö. Ðàáîòà ñîäåðæèò 13 ðèñóíêîâè 21 òàáëèö. Áèáëèîãðàôè÷åñêèé ñïèñîê âêëþ÷àåò 66 íàèìåíîâàíèé.16Ãëàâà 1Ìîäåëè ïåðåãîâîðîâ ïðè çàêëþ÷åíèèäâóõñòîðîííèõ ñäåëîê1.1Ìîäåëü îäíîøàãîâîãî äâóõñòîðîííåãîäâîéíîãî çàêðûòîãî àóêöèîíà ×àòòåðæè èÑàìþýëüñîíàÐàññìîòðèì èãðó äâóõ ãðóïï èãðîêîâ ñ íåïîëíîé èíôîðìàöèåé, êîòîðàÿ îòíîñèòñÿ ê ìîäåëè äâóõñòîðîííåãî äâîéíîãî çàêðûòîãî àóêöèîíà. Ó÷àñòíèêè ïåðåãîâîðîâ çäåñü ïðîäàâåö è ïîêóïàòåëü. Êàæäûé èç íèõ îáëàäàåò ëè÷íîé èíôîðìàöèåé î ñâîåé ðåçåðâíîé öåíå, êîòîðóþ íå çíàþò äðóãèå èãðîêè. Ðåçåðâíàÿöåíà ýòî öåíà, íèæå êîòîðîé ïðîäàâåö íå ñîãëàñåí ïðîäàâàòü ñâîé òîâàð, ëèáîìàêñèìàëüíàÿ öåíà, êîòîðóþ ãîòîâ çàïëàòèòü ïîêóïàòåëü. Äëÿ ïðîäàâöà ýòîìîãóò áûòü çàòðàòû íà ïðîèçâîäñòâî òîâàðà s, à äëÿ ïîêóïàòåëÿ åãî îöåíêàäàííîãî òîâàðà b. íàñòîÿùåé ðàáîòå ïîñòðîèì ðàâíîâåñèå ïî Íýøó äëÿ ñëó÷àÿ ïðîèçâîëüíûõ ðàñïðåäåëåíèé äëÿ ðåçåðâíûõ öåí.
Ïðîäàâöîâ è ïîêóïàòåëåé êîíòèíóóì, è èõ ðåçåðâíûå öåíû ðàñïðåäåëåíû íà èíòåðâàëå [0, 1]. Êàæäûé ïîêóïàòåëü(ïðîäàâåö) çíàåò ñâîþ ðåçåðâíóþ öåíó, äëÿ íåãî ýòî íåñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïðè ñëó÷àéíîì âûáîðå îäíîãî ïðîäàâöà è îäíîãî ïîêóïàòåëÿèõ ðåçåðâíûå öåíû ïðîäàâöîâ s è ïîêóïàòåëåé b åñòü íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûåâåëè÷èíû íà èíòåðâàëå [0, 1] ñ ôóíêöèÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ F (x) è G(x) ñîîòâåòñòâåííî (ïëîòíîñòÿìè f (x) è g(x), åñëè îíè ñóùåñòâóþò).Èãðîêè ïîÿâëÿþòñÿ íà ðûíêå, ñëó÷àéíûì îáðàçîì ôîðìèðóþòñÿ ïàðûïðîäàâåö-ïîêóïàòåëü äëÿ ïåðåãîâîðîâ.
Çàòåì ó÷àñòíèêè îäíîâðåìåííî îáüÿâëÿþò öåíó íà òîâàð (íå îáÿçàòåëüíî ñîâïàäàþùóþ ñ ðåçåðâíûìè öåíàìè). Ïðî-17äàâåö çàïðàøèâàåò öåíó S , à ïîêóïàòåëü ïðåäëàãàåò öåíó B . Åñëè B ≥ S , òîðåçóëüòàòîì ïåðåãîâîðîâ ÿâëÿåòñÿ çàêëþ÷åíèå ñäåëêè ïî öåíå kS + (1 − k)B ,ãäå ïàðàìåòð k îòðàæàåò ðûíî÷íóþ ñèëó ó÷àñòíèêîâ. Áóäåì äàëåå ïîëàãàòü,÷òî ðûíî÷íàÿ ñèëà ïîêóïàòåëåé è ïðîäàâöîâ îäèíàêîâàÿ, òî åñòü k = 1/2. Åñëè ïðåäëîæåííàÿ ïîêóïàòåëåì öåíà B ìåíüøå, ÷åì çàïðàøèâàåìàÿ ïðîäàâöîìöåíà S , òî ñäåëêà íå ñîñòîèòñÿ.Ó÷àñòíèêè ïåðåãîâîðîâ ñòðåìÿòñÿ ìàêñèìèçèðîâàòü ñâîé äîõîä îò ñäåëêè.Äîõîäîì ó÷àñòíèêîâ ÿâëÿåòñÿ ðàçíèöà ìåæäó ðåçåðâíûìè öåíàìè è öåíîé ñäåëêè, ò. å.
äëÿ ïðîäàâöà ýòî (S + B)/2 − s, äëÿ ïîêóïàòåëÿ b − (S + B)/2. Áóäåìñ÷èòàòü, ÷òî ïðîôèëü ÷èñòûõ ñòðàòåãèé èãðîêîâ åñòü ôóíêöèè îò ðåçåðâíûõ öåíS(s), B(b), ò. å. ó÷àñòíèêè ñ îäèíàêîâîé ðåçåðâíîé öåíîé ïðåäëàãàþò îäèíàêîâûå öåíû. Èãðîêè èñïîëüçóþò ÷èñòûå ñòðàòåãèè, íî ïîñêîëüêó ïàðà ïðîäàâåöïîêóïàòåëü ôîðìèðóåòñÿ ñëó÷àéíî, òî â êà÷åñòâå âûèãðûøåé ðàññìîòðèì îæèäàåìûé äîõîä ïðîäàâöà ñ ðåçåðâíîé öåíîé s è çàïðàøèâàåìîé öåíîé S∫H1 (s, S, S(s), B(b)) = H1 (s, S) =()B(y) + S− s dG(y),2(1.1)y:B(y)≥Sè ïîêóïàòåëÿ∫H2 (b, B, S(s), B(b)) = H2 (b, B) =(S(x) + Bb−2)dF (x).(1.2)x:S(x)≤BÊàæäûé èãðîê çíàåò ñâîþ ëè÷íóþ ðåçåðâíóþ öåíó, ðàñïðåäåëåíèÿF (x), G(x) ðåçåðâíûõ öåí ñðåäè ãðóïï ïðîäàâöîâ è ïîêóïàòåëåé, íî íå çíàåòòî÷íîå çíà÷åíèå ðåçåðâíîé öåíû âòîðîãî ó÷àñòíèêà ïåðåãîâîðîâ. Ðàâíîâåñèå ïîÍýøó â äàííîé èãðå ñ ïðîôèëåì ÷èñòûõ ñòðàòåãèé èãðîêîâ S(s), B(b) è âûèãðûøàìè (1.1), (1.2) íàçûâàåòñÿ áàéåñîâñêèì ðàâíîâåñèåì.
Ïðè îïòèìàëüíîìïîâåäåíèè èãðîêîâ î÷åâèäíî, ÷òî S(s) ≥ s è B(b) ≤ b, ò. å. ïðîäàâåö çàâûøàåò, àïîêóïàòåëü çàíèæàåò èñòèííóþ öåíó íà ïðîäóêò, ÷òîáû ïîëó÷èòü äîïîëíèòåëüíûé äîõîä îò ñäåëêè.  ðàáîòå [1] ïîêàçàíî, ÷òî â ðàâíîâåñèè ñòðàòåãèè âñåãäàáóäóò íåóáûâàþùèå. Äàëåå ìû óâèäèì, ÷òî ñóùåñòâóþò áàéåñîâñêèå ðàâíîâåñèÿ, ãäå ôóíêöèè S(s) è B(b) èìåþò ïîðîãîâûé èëè íåëèíåéíûé âèä.
Âíà÷àëåìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü ðàâíîâåñèÿ, â êîòîðûõ ôóíêöèè S(s) è B(b) äèôôå-18ðåíöèðóåìûå. Åñëè òàêèõ ðàâíîâåñèé íåñêîëüêî, òî ìîæíî ïðåäëîæèòü òî èçíèõ, êîòîðîå ìàêñèìèçèðóåò ñóììàðíûé îæèäàåìûé äîõîä ïðîäàâöîâ)S(s) + B(b)EH1 = E− s I{B(b)≥S(s)}2(è ïîêóïàòåëåé)S(s) + B(b)EH2 = E b −I{B(b)≥S(s)} .2(1.3)((1.4)Òàêîå ðàâíîâåñèå íàçûâàåòñÿ ñòèìóëèðóþùèì.
Ïðèíöèï ìàêñèìèçàöèè ñóììàðíîãî äîõîäà áûë ïðåäëîæåí Ìàéåðñîíîì.Îïðåäåëåíèå 1.1. Ïðîôèëü ñòðàòåãèé S(s), B(b) îáðàçóåò áàéåñîâñêîåðàâíîâåñèå, åñëè äëÿ ëþáîãî ïðîäàâöà ñ ðåçåðâíîé öåíîé s ∈ [0, 1] åãî îæèäà-åìûé äîõîä êàê ôóíêöèÿ çàïðàøèâàåìîé öåíû x ∈ [s, 1]∫(H1 (s, x) =)B(y) + x− s dG(y)2(1.5)y:B(y)≥xäîñòèãàåò íàèáîëüøåãî çíà÷åíèÿ ïðè x = S(s). À äëÿ ëþáîãî ïîêóïàòåëÿ ñðåçåðâíîé öåíîé b ∈ [0, 1] åãî îæèäàåìûé äîõîä êàê ôóíêöèÿ ïðåäëàãàåìîéöåíû y ∈ [0, b]∫H2 (b, y) =(S(x) + yb−2)dF (x)(1.6)x:S(x)≤yäîñòèãàåò íàèáîëüøåãî çíà÷åíèÿ ïðè y = B(b).Ó ýòîé çàäà÷è ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî òðèâèàëüíûõ ðåøåíèé.
Íàïðèìåð,ñòðàòåãèè S(s) = 1 äëÿ âñåõ s ∈ [0, 1], B(b) = 0 äëÿ âñåõ b ∈ [0, 1] ÿâëÿþòñÿ áàéåñîâêèì ðàâíîâåñèåì äëÿ ëþáûõ ðàñïðåäåëåíèé F (x) è G(x) ïðîäàâöîâè ïîêóïàòåëåé. Òàêîå ðàâíîâåñèå íèêîãî íå óñòðàèâàåò, òàê êàê ñäåëêà íèêîãäàíå ïðîèñõîäèò è âûèãðûøè âñåõ ïðîäàâöîâ è âñåõ ïîêóïàòåëåé â ýòîì ñëó÷àåðàâíû íóëþ.Ïóñòü a ∈ [0, 1] ëþáàÿ öåíà íà òîâàð, òîãäà ñòðàòåãèè{S(s) =a, 0 ≤ s ≤ a,1, a < s ≤ 1,{B(b) =0, 0 ≤ b < a,a, a ≤ b ≤ 1,19ÿâëÿþòñÿ áàéåñîâñêèì ðàâíîâåñèåì äëÿ ëþáûõ ðàñïðåäåëåíèé F (x) è G(x) ïðîäàâöîâ è ïîêóïàòåëåé.
Îáëàñòü ñäåëêè â ýòîì ñëó÷àå ïðÿìîóãîëüíàÿ è ñîñòîèòèç âñåõ ïðîäàâöîâ s ∈ [0, a] è âñåõ ïîêóïàòåëåé b ∈ [a, 1].1.2Ðàâíîâåñèå â êëàññå äèôôåðåíöèðóåìûõïðîôèëåé ñòðàòåãèéÏðåäïîëîæèì, ÷òî ðåçåðâíûå öåíû ïðîäàâöîâ è ïîêóïàòåëåé s è b ðàñïðåäåëåíû íà èíòåðâàëå [0, 1] ñ íåïðåðûâíûìè ïëîòíîñòÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ ñîîòâåòñòâåííî f (x), x ∈ (0, 1), è g(x), x ∈ (0, 1).Äëÿ íàõîæäåíèÿ îïòèìàëüíûõ ñòðàòåãèé èãðîêîâ âîñïîëüçóåìñÿ ñëåäóþùèìè ñîîáðàæåíèÿìè.
Áóäåì ñ÷èòàòü èõ ôóíêöèÿìè îò ðåçåðâíûõ öåí, ñîîòâåòñòâåííî S = S(s) è B = B(b). Äîïóñòèì, ÷òî ýòî äèôôåðåíöèðóåìûå è ñòðîãîâîçðàñòàþùèå ôóíêöèè ñîîòâåòñòâåííî íà (σ, c) è (a, β) âèäà0 ≤ s ≤ σ, a,S(s) =V −1 (s), σ ≤ s ≤ c,s,c ≤ s ≤ 1,0 ≤ b ≤ a, b,B(b) =U −1 (b), a ≤ b ≤ β,c,β ≤ b ≤ 1,(1.7)ãäå 0 ≤ σ < a < c < β ≤ 1 . Îáðàòíûå ê íèì ôóíêöèè U = B −1 è V = S −1ÿâëÿþòñÿ äèôôåðåíöèðóåìûìè è ñòðîãî âîçðàñòàþùèìè íà (a, c), ò. å. ñîîòâåòñòâåííî s = V (S) è b = U (B).
Ñäåëêà ïðîèñõîäèò ïî öåíå (S(s) + B(b))/2, åñëèB ≥ S . Ôóíêöèè âûèãðûøà èãðîêîâ èìåþò âèä (1.5) è (1.6), ãäå ìàòåìàòè÷åñêîåîæèäàíèå áåðåòñÿ ïî ñîîòâåòñòâóþùèì ðàñïðåäåëåíèÿì. Çàôèêñèðóåì ñòðàòåãèþ ïîêóïàòåëÿ B(b) è óñòàíîâèì íàèëó÷øèé îòâåò ïðîäàâöà äëÿ ðàçëè÷íûõçíà÷åíèé ïàðàìåòðà s.20Ïðè x ∈ [a, c] óñëîâèå B(b) ≥ x ýêâèâàëåíòíî b ≥ U (x). Âûèãðûø ïðîäàâöàðàâåí∫1 (H1 (s, x) =))∫β (B(y) + xB(y) + x− s dG(y) =− s dG(y)+22U (x)∫1 (+U (x))∫β(x )c+x1c(1−G(β))−s dG(y) =−s (1−G(U (x)))+B(y)dG(y)+.2222βU (x)(1.8)Äèôôåðåíöèðóÿ (1.8) ïî x, óñòàíîâèì íàèëó÷øèé îòâåò ïðîäàâöà èç (íåîáõîäèìîãî) óñëîâèÿ ðàâåíñòâà íóëþ ïðîèçâîäíîé âûèãðûøà∂H1 (s, x) 1 − G(U (x))=− (x − s)g(U (x))U ′ (x),∂x2(1.9)îòêóäà ïîëó÷àåì äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ îïòèìàëüíûõñòðàòåãèé (òî÷íåå îáðàòíûõ ôóíöèé) U (t), V (t)2U ′ (t)(t − V (t))g(U (t)) = 1 − G(U (t)).Àíàëîãè÷íî, ïóñòü S(s) ñòðàòåãèÿ ïðîäàâöà.
Íàéäåì íàèëó÷øèé îòâåò ïîêóïàòåëÿ äëÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðà b. Åãî âûèãðûø ïðè y ∈ [a, c]V∫(y)(H2 (b, y) =S(x) + yb−2)0V∫(y)(+∫σ (dF (x) =a+yb−2)dF (x)+0S(x)+yb−2)y)1dF (x) = b− F (V (y))−22σ(V∫(y)S(x)dF (x)−aF (σ). (1.10)2σÄèôôåðåíöèðóÿ (1.10) ïî y ,∂H2 (b, y)1= (b − y)f (V (y))V ′ (y) − F (V (y)),∂y2(1.11)21è ïðèðàâíèâàÿ ïðîèçâîäíóþ (1.11) ê íóëþ, âûâîäèì âòîðîå äèôôåðåíöèàëüíîåóðàâíåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ îïòèìàëüíûõ ñòðàòåãèé U (t), V (t)2V ′ (t)(U (t) − t)f (V (t)) = F (V (t)).Çàïèøåì ïîëó÷åííóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé â ðàçðåøåííîì îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîäíûõ âèäåU ′ (t) =1 − G(U (t)),2(t − V (t))g(U (t))(1.12)V ′ (t) =F (V (t)).2(U (t) − t)f (V (t))(1.13)Èòàê, ìû íàøëè íåîáõîäèìîå óñëîâèå îïòèìàëüíîñòè äëÿ äèôôåðåíöèðóåìûõ ñòðîãî âîçðàñòàþùèõ ñòðàòåãèé èãðîêîâ.Ëåììà 1.1. Ïóñòü ïëîòíîñòè g(x) è f (x) íåïðåðûâíûå ñîîòâåòñòâåííî íà(a, 1) è (0, c).
Äèôôåðåíöèðóåìûå ñòðîãî âîçðàñòàþùèå ñòðàòåãèè S(s) íà(σ, c) è B(b) íà (a, β), îáðàçóþùèå áàéåñîâñêîå ðàâíîâåñèå â çàäà÷å î òîðãàõ,óäîâëåòâîðÿþò ñèñòåìå óðàâíåíèé (1.12),(1.13) íà èíòåðâàëå (a, c).Íèæå ìû ïðèâåäåì ñîîòâåòñòâóþùèé ïðèìåð, ïîêàçûâàþùèé, ÷òî óñëîâèÿëåììû 1.1 íå ÿâëÿþòñÿ äîñòàòî÷íûìè. Ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå äàåò äîñòàòî÷íîå óñëîâèå îïòèìàëüíîñòè.Ëåììà 1.2. Ïóñòü 0 ≤ σ < a < c < β ≤ 1,U (t), V (t) íåïðåðûâíûå íà[a, c], äèôôåðåíöèðóåìûå íà (a, c), ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû (1.12),(1.13),óäîâëåòâîðÿþò ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì U (a) = a, V (a) = σ , U (c) = β , V (c) = c,ïðèíèìàþò çíà÷åíèÿ t < U (t) < 1, 0 < V (t) < t íà (a, c).
Ïëîòíîñòè f (x),g(x) íåïðåðûâíûå è ïîëîæèòåëüíûå íà (0, 1). Âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè äëÿ ïðîäàâöà ñ ìèíèìàëüíîé ðåçåðâíîé öåíîé s = 0 è äëÿ ïîêóïàòåëÿ ñ ìàêñèìàëüíîé ðåçåðâíîé öåíîé b = 1:(a) Hs (0, x) èìååò íà [0, a] íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ïðè x = a,(b) Hb (1, x) íà [c, 1] ïðèíèìàåò íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ïðè x = c.Òîãäà ñòðàòåãèè ïðîäàâöîâ è ïîêóïàòåëåé (1.7) ÿâëÿþòñÿ áàéåñîâñêèì ðàâíîâåñèåì â çàäà÷å î ñäåëêàõ ñ ðàñïðåäåëåíèÿìè F (x), G(x) ðåçåðâíûõ öåí.Äîêàçàòåëüñòâî.Âûèãðûø ïðîäàâöà s êàê ôóíêöèÿ ïðåäëàãàåìîé öåíû x ∈ [s, c] âû÷èñëÿåòñÿïî ôîðìóëå (1.8), à åå ïðîèçâîäíàÿ ñîãëàñíî (1.9). Ïðè c > x > a, ó÷èòûâàÿ22(1.12), ïîëó÷èì∂H1 (s, x) 1 − G(U (x)) (x − s)g(U (x))(1 − G(U (x)))=−=∂x22(x − V (x))g(U (x))(1 − G(U (x)))(s − V (x))=, (1.14)2(x − V (x))îòêóäà âèäíî, ÷òî íàèáîëüøåå çíà÷åíèå H1 (s, x) íà [a, c] äîñòèãàåòñÿ ïðè x =V −1 (s) = S(s) äëÿ s ∈ [σ, c] è ïðè x = a äëÿ s ∈ [0, σ].Èç (1.8) íåòðóäíî âûâåñòè, ÷òî ïðè x ≤ aH1 (s, x) = H1 (0, x) + sG(x) − s,îòêóäà, ó÷èòûâàÿ ìîíîòîííîå âîçðàñòàíèå G(x) è óñëîâèå (a), ñëåäóåò, ÷òîH1 (s, x) ïðèíèìàåò íà [s, a] íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ïðè x = a.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
