Диссертация (1149979), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Для этого сначала найдем значения следующих интегралов [68]: J 0 (rt ) t    2  0 (r )  Y0 (r ) ,0dt J1 (rt ) t     2  1 (r )  Y1 (r ) .0dt(3.14)(3.15)Здесь  m (r ) – функции Струве, Ym (r ) – функции Неймана, m  0;1 .Если порядок функции Неймана есть целое число, то согласно [19]имеемY m (r )  (1) m Ym (  ) .Из рекуррентного соотношения [1]68 x 22  1 ( x)    1 ( x)   ( x) ,3x    2где   - гамма-функция, находим при   0 1 ( x)  1 ( x) 2.Следовательно, имеем2 1 (r )  Y1 (r )   1 (r )  Y1 (r )   .Сучетомсоотношений(3.14)-(3.16)вычислим(3.16)интегралы,содержащиеся в решении (3.13): J 0 (rt ) t     J 0 (rt )dt    J 0 (rt ) t    r  2  0 (r )  Y0 (r ),000tdtdt1 J1 (rt ) t    2 1 (r )  Y1 (r )   ,0tdt J1 (rt ) t    r  1  2 1 (r )  Y1 (r ).

.0dt1(3.17)Подставив равенства (3.14), (3.17) в формулы (3.13), найдемдополнительные компоненты вектора перемещений и тензора напряжений,обусловленные упругим закреплением границы полупространстваu  (r ,0) (1   )(1  2 ) P  11 (r )  Y1 (r ) , 2E2rw  (r ,0)  (1  2 ) P 0 (r )  Y0 (r ),2E69 z (r ,0) P2 1  0 (r )  Y0 (r ) , r 2 r (r ,0) P2 1  0 (r )  Y0 (r )  r 2(1  2 ) P2r  (r ,0) 1  1  1 (r )  Y1 (r ),2 rP  1  0 (r )  Y0 (r )   r 2(1  2 ) P2r1  1  1 (r )  Y1 (r ),2 r rz(r ,0)  0 .(3.18)Сложим соотношения (3.9) и (3.18), получим формулы для перемещений инапряжений в точках граничной плоскости z  0 :u (r ,0) (1   )(1  2 ) P2Ew(r ,0) (1   2 ) P  1  0 (r )  Y0 (r ) , E2r z (r ,0)  r (r ,0) P2  (r ,0) P 1  1 (r )  Y1 (r ) , 2P2 1  0 (r )  Y0 (r ) , r 2 1  0 (r )  Y0 (r )  (1  2 ) P 2rr 2 1  1 (r )  Y1 (r ) , 2 1  0 (r )  Y0 (r )  (1  2 ) P 1   1 (r )  Y1 (r ) , 22rr 2 rz (r,0)  0 .(3.19)70Сравнивая второе и третье соотношения (3.19) и учитывая формулу(2.25) для параметра  , убеждаемся в том, что в точках граничнойповерхности полупространства выполняется условие пропорциональностинапряжений и перемещений  z (r,0)  kw(r,0) .Покажем далее, что при   0 из соотношений (3.19) получаетсярешениезадачиБуссинескавточкахплоскости,ограничивающейполупространство.

При малых значениях аргумента имеем [1] xY0 ( x) ~ ln x, Ym ( x) ~  (m) 212m,m  0.Учитывая, что  0 (0)  1 (0)  0 , вычисляем пределы функций, стоящихв правых частях соотношений (3.19). В результате получаем дляперемещенийlim u (r ,0) (1   )(1  2 ) P lim Y1 (r )  u  (r ,0) ,2E2  0lim w(r ,0) (1   2 ) P  1   lim Y0 (r )  w (r ,0)E  r 2   0 0 0и напряженийP   2 0 (r )  Y0 (r )  0 ,lim  z (r ,0) lim  2   02 0rlim  r (r ,0)   0lim   (r ,0)  0(1  2 ) Plim   Y1 (r )   r (r ,0) ,2r  02(1  2 ) Plim   Y1 (r )    (r ,0) .2r   02Отметим, что, принимая во внимание равенства (3.11), мы можемполучить из решения задачи для полупространства с упруго закрепленнойграницей формулы Буссинеска в плоскости z  0 , если докажем, что правыечасти соотношений (3.18) при   0 обращаются в нуль.71Обратимся далее к формулам (3.12), которые в сумме с соотношениями(3.8) являются решением задачи о сосредоточенной силе для точек внутриупругого полупространства.

Для сходящихся несобственных интеграловвведем обозначения:Rm (r , z )   e tz J m (rt )0dt, m  0,1 .t(3.20)Используя формулы (3.6), (3.7), вычисляем интегралыetzJ 0 (rt )0tdt1  R0 (r , z ) ,t tz e J 0 (rt )0etzJ 1 (rt )0 tz e J1 (rt )0t 2 dtz 3    2 R0 (r , z ) ,t tdtz R1 (r , z ) ,trt 2 dtr   z   2 R1 (r , z ) .3t rС учетом (3.20), (3.21) преобразуем соотношения (3.12) к видуu  (r , z ) (1   ) P2Ew  (r , z ) (1   ) P2Ez(  z) (1  2  z ) R1 (r , z ) ,r (1   ) P2E(1   ) P2Ez(  z) zR1 (r , z ) (1  2 ) R1 (r , z ) rz(2  2) R0 (r , z )   zR0 (r , z ) z (2  2  z ) R0 (r , z )  ) , (3.21)72 z (r , z )  P2r 1222 3 (   z  z )   ( z  1) R0 (r , z ) ,P  1222 3 (   z  z )   ( z  1) R0 (r , z ) 2   r (r , z ) P2 z(  z) (1  2  z ) R1 (r , z ) ,r  (r , z )  P  z (   z )P  1 (1  2  z ) R1 (r , z ) ,  R0 (r , z )  r 2r  rz(r , z )  zP2 (  z) r  2 R1 (r , z ) . 3r(3.22)Сложим правые и левые части соотношений (3.22) и (3.8), получимформулы для компонент вектора перемещений в произвольных точкахизотропного полупространства с упруго закрепленной границейu (r , z )   z(1   ) P  rz R1 (r , z )  , 3  (1  2  z ) 2E  r(1   ) P  z2w(r , z )  2  z  2(1   )   ( z  2  2) R0 (r , z )2E P  3z 3 z (r , z )    z 2   2 (1  z )(1  R0 (r , z ))  3  22  , r (r , z ) P 1  2  z  3zr 2  P  1 221    (r  z ) 2  r 2     5  2   3z (  z )1 (z  1) R0 (r , z )  (1  2  z ) R1 (r , z )2rr ,,73  (r , z ) P(1  2 )  z1 z  P  z (   z ) 3  2 1    2 r    2  r 21 R0 (r , z )  (1  2  z ) R1 (r , z ) ,r rz (r , z )  rPz  (  z) 3rz  2 R1 (r , z )  . 5    3 2 r   (3.23)Решение (3.23) может быть получено другим способом, а именно,непосредственноизтрансформанты  формул(2.28)-(2.33)приподстановкевних1и учете равенств (3.20).

Выполнив преобразования2вторым способом, убеждаемся, что полученные результаты совпадают сформулами (3.23). Это может служить подтверждением их достоверности.Отметим, что при расчетах напряженно-деформированного состоянияупругого полупространства решение в форме (3.23) по сравнению сформулами (2.28)-(2.33) обладает рядом преимуществ, а именно: объемпредварительных исследований перед численной реализацией решениязначительно меньше, так как оно содержит только два интеграла.

Причемнесобственные интегралыдостаточнобыстроR0 (r , z ), R1 (r , z ) ,сходятся,чтовходящие в решение (3.23),существенноуменьшаетвремякомпьютерных расчетов.3.4. Численные исследования напряженного состоянияупругого полупространстваВ точном аналитическом решении (3.8), (3.9), (3.11)-(3.13) смешаннойзадачи формулы для компонент тензора напряжений и вектора перемещения,кромеслагаемых,соответствующихрешениюБуссинеска,содержатнесобственные интегралы, зависящие от параметра  , характеризующего74механические свойства полупространства и упругое закрепление егограницы.

Из формул (3.12) видно, что подынтегральные функции внесобственных интегралах являются произведениями трёх сомножителей:показательной функции, функций Бесселя и дробной рациональной функции.При разработке алгоритма численного исследования решения несобственныеинтегралы, содержащие предварительно выделенную целую часть дробнойфункции, вычислены и их выражения записаны в виде комбинацийспециальных и элементарных функций.

Расчеты показали, что сходимостьвходящих в аналитическое решение (3.23) несобственных интеграловR0 (r , z ), R1 (r , z ) ,содержащихостатокдробнойфункции,значительноулучшается. Уменьшение времени компьютерных расчетов позволяетосуществить на основе аналитических формул (3.19), (3.23) численныеисследования в объёме, достаточном для обоснования закономерностей ораспределении напряжений в изотропном полупространстве не только вблизиточки приложения сосредоточенной силы, но и на значительном удалении отнеё.

Отметимтакже, что предложенные алгоритмы позволяют численноизучить влияние параметра  на напряженно-деформированное состояниеупругого полупространства в любом диапазоне изменения параметра  отнуля до бесконечности.Распределение напряжения σz в упругом полупространствеНа рисунках 3.2-3.6 представлены графики распределения нормальныхнапряжений  z на координатных осях r, zи в плоскостях, параллельныхграничной поверхности полупространства.

Расчеты выполнены для значенийпараметра  , равных 0; 0.1; 1; 10(м-1) в плоскостях z = 0; 0.1; 1; 2. При численныхисследованиях все величины, имеющие размерность длины, задавались в75метрах.СосредоточеннаясилаполагаласьравнойP  1MH.Расчетнапряжения  z осуществлялся по третьей формуле в соотношениях (3.23).Рис. 3.2.

Распределение напряжения  z на оси zЧисленные исследования показали, что наоси z и в её окрестностидоминирующее влияние на распределение напряженияzоказываетсосредоточенная сила (рис.3.2). При удалении от оси z с ростом rусиливается влияние параметра  , характеризующего упругое закреплениеграницы.76Рис. 3.3. Распределение напряжения  z в плоскости z  0Рис.

Характеристики

Список файлов диссертации