Диссертация (1149979), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

При исследовании егоаналитических и численных решений использованы основные положениятеории интегральных уравнений Фредгольма [44,47].Диссертация посвящена разработке аналитических методов решенияосесимметричных смешанных задач о действии нормально приложеннойнагрузки на изотропное полупространство с упруго закрепленной границей.Полученныевработерешениянаграницеивнутриупругогополупространства представлены аналитическими формулами для всехкомпонент напряжений и перемещений. Показано, что частными случаямиприведенных в диссертационнойработе решений являются известноерешение Тередзавы [59], формулы С.П.Тимошенко, Дж.Гудьера [73], а такжерешение задачи Буссинеска.

Разработаны алгоритмы численной реализацииполученных аналитических решений осесимметричных задач, изученызакономерности распределения напряжений и перемещений в изотропномполупространстве.351.4. Выводы по главе 11. В первой главе изложен обзор научных работ, посвященных решениюосесимметричных смешанных задач линейной теории упругости дляполупространства, приведены основные дифференциальные уравнениятрёхмерной теории упругости в цилиндрической системе координат.Система уравнений использована во второй главе при математическойпостановке исследуемой в диссертации осесимметричной задачи.2. Из обзора научной литературы следует, что в настоящее время прирешении сложных трёхмерных задач теории упругости в большинстверабот предпочтение отдаётся аналитическим методам с последующейчисленной реализацией решений задач на ПК.3.

Построение аналитических решений пространственных задач теорииупругости актуально, так как точные решения не только устанавливаютзакономерности деформирования упругих тел, но и являются тестамидля оценки численных и приближенных результатов исследований.4. Решения смешанных задач теории упругости имеют приложения вомногихотрасляхсовременнойпромышленности.Аналитическоерешение исследуемой в диссертационной работе осесимметричнойсмешанной задачи может быть использовано при выборе оптимальныхпараметровтехнологическихсхемразработкипластовыхместорождений полезных ископаемых, а также при оценке прочностиспециальнымобразоммашиностроении.нагруженныхдеталейконструкцийв36ГЛАВА 2ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ЗАДАЧА О ДЕФОРМАЦИИ ИЗОТРОПНОГОПОЛУПРОСТРАНСТВА ПРИ УПРУГОМ ЗАКРЕПЛЕНИИ ГРАНИЦЫВНЕ ОБЛАСТИ ПРИЛОЖЕНИЯ РАСПРЕДЕЛЕННОЙ НАГРУЗКИ2.1.Математическая постановка задачи.

Основныеуравнения и граничные условияПостроение аналитических решений фундаментальных задач теорииупругости для полупространства, в точках поверхности которого вне областиприложения распределенной нагрузки выполняется условие упругогозакрепления границы, представляет не только теоретический, но и большойпрактический интерес.Нижерассматриваетсясмешаннаязадачатеорииупругостиодеформации изотропного полупространства, к границе которого приложенараспределенная по круговой области нагрузка, удовлетворяющая условиямосевой симметрии; вне круговой области в точках границы нормальныенапряжения и перемещения пропорциональны; касательные напряжения навсейплоскости,ограничивающейполупространство,отсутствуют;напряжения на бесконечности обращаются в нуль.Совместим начало цилиндрической системы координат r ,  , z с центромкруговой области приложения нормальной нагрузки, ось zнаправимвертикально вверх (рис.2.1).

В случае осесимметричной деформацииперемещения u= ur, w вдоль осей r, z не зависят от угловой координаты  ,перемещение uθ , а также компоненты тензора напряжений r , zравны37Рис.2.1. Действие распределённой нагрузкина полупространство с упруго закреплённой границей.нулю. Уравнения равновесия (1.1) принимают вид r  rz  r    0,rzr rz  z  rz 0.rzrПеремещенияu (r , z ), w(r , z )(2.1)с компонентами тензора деформаций r (r , z ),   (r , z ),  z (r , z ),  rz (r , z ) связаны зависимостямиr uuwu w,  , z ,  rz ,rrzz rкоторые получаются из соотношений (1.2)Закон Гука (1.3) записывается следующим образом:r 1[ r   (    z )] ,E 1[    ( r   z )] ,Ez 1[ z   ( r    )] ,E(2.2)38 rz 1 rz .G1(2.3)К уравнениям (2.1)  (2.3) необходимо добавить условия совместностидеформаций.

Из соотношений (1.4) в случае осевой симметрии получаем r    z 1  2( r    )  0,1   r 2r222r2( r    ) 1 1  0,1   r r1  2 0,1   z 21  2  zr rz 0,1   rz r 2(2.4)здесь    r      z , оператор  имеет вид:1     2.r  r r  r  z 2Математическая постановка осесимметричной задачи для изотропногополупространства, поверхность которого упруго закреплена внеобластиприложенияобластивнешнихусилий,такова:найтив0  r  ,0    2 ,0  z   неизвестные компоненты тензора напряжений r (r , z ),   (r , z ),  z (r , z ), rz (r , z )ивектораперемещенийu (r , z ) ,w(r , z ) ,удовлетворяющие уравнениям (2.1) – (2.4) и следующим смешаннымусловиям на граничной плоскости z  0 :39 z (r,0)  q(r ), r  a ; z (r,0)  kw(r,0), rz (r,0)  0,r  a;r  .(2.5)Здесь q (r ) – распределенная по кругу радиуса a нормальная нагрузка,приложенная к границе полупространства, k – постоянный коэффициентпропорциональности напряжений и перемещений.В случае осесимметричной деформации изотропного тела [73] системауравнений (2.1) – (2.4) сводится к бигармоническому уравнению 2 2   0 ,(2.6)где (r , z ) – функция напряжения Лява, оператор  2 имеет вид2 2r 21  2r r z 2(2.7)Компоненты тензора напряжений и вектора перемещений черезфункцию (r , z ) при учете (2.7) выражаются следующими формулами:r  2 2  v   2  ,z r (2.8)   21   v  ,z r r (2.9)z   2  (2  v) 2  ,z z 2 (2.10)  2  (1  v) 2  ,r z 2 (2.11) rz 40uw1  v  2,E rz1  2  .2(1  v) 2  2G z 2 (2.12)(2.13)Таким образом, задача сводится к определению функции (r , z ) , длякоторой в плоскости z  0 выполняются граничные условия (2.5) приподстановке в них компонент напряжений и вертикального перемещенияw(r , z ) в соответствиис формулами (2.10), (2.11), (2.13).2.2.

Аналитическое решение осесимметричной смешанной задачитеории упругости для изотропного полупространстваБудем искать решение уравнения (2.6) с помощью интегральногопреобразования Ханкеля. Обозначим трансформанту функции (r , z ) черезQ ( z , t ) . ИмеемQ( z , t )    (r , z )rJ 0 (rt )dr ,(2.14)0где J 0 (rt)– функция Бесселя первого рода нулевого порядка.Согласно формуле обращения, запишем функцию (r , z ) в виде (r , z )   Q( z , t )tJ 0 (rt )dt .(2.15)0Уравнение (2.6) умножим на rJ 0 (rt ) , затем проинтегрируем по r отнуля до бесконечности, получим дифференциальное уравнение41d 4Qdz4 2t 2d 2Qdz2 t 4Q  0 .(2.16)Учитывая, что корни его характеристического уравнения равныk1,2  t , k 3,4  t , записываем решениеуравнения (2.16) в видеQ( z, t )  ( A  Bz )e tz  ( A1  B1 z )e tz .(2.17)Для выполнения условия ограниченности решения на бесконечностинеобходимо постоянные A1 , B1 приравнять нулю.

Тогда из формулы (2.17)следуетQ( z, t )  ( A  Bz )e tz .(2.18)Используя формулы (2.11), (2.15), (2.18), вычисляем касательное напряжение.Приравнивая его нулю на границе полупространства, находим связь междукоэффициентами A и B :B1At .2v(2.19)Введем функциюq(r )  kw(r ,0), r  a;r  a, 0, (2.20)с помощью которой первые два условия (2.5) запишем следующим образом: z (r,0)   (r )  kw(r,0), r   .(2.21)Применим к равенству (2.21) интегральное преобразование Ханкеля,получим42 z    k w .(2.22)В формуле (2.22) и ниже черта над величинами обозначаеттрансформанту соответствующей функции.Принимая во внимание соотношения (2.10), (2.13), (2.15), вычисляемтрансформанты функций z  2(2  v)t 2Q '  (1  v)Q ' 'w1 2(1  v)t 2 Q  (1  2v)Q ' ' .2G(2.23)Подставим (2.23), (2.18), (2.19) в равенство (2.22), в результате найдемA2v ,(2.24)2k (1  v 2 ).E(2.25)t 2 (t   )гдеУчитывая формулы (2.18), (2.19), (2.24), функцию Q ( z , t ) записываем в видеQ (2v  tz)t (t   )2e tz .(2.26)Из равенств (2.15), (2.26) находим функцию напряжений  ( 2v  tz)(r , z )   0 t (t )e tz J 0 (rt )dt .(2.27)43Подставив выражение (2.27) для функции  (r , z ) в формулы (2.8) –(2.13), определим компоненты тензора напряжений и вектора перемещений вупругом полупространстве1 v tdtu (r , z )   (t )(1  2v  zt )e  tz J1 (rt ),E 0t(2.28)1 v tdt (t )( 2v  2  zt )e  tz J 0 (rt ),E 0t(2.29)w(r , z )   z (r , z )     (t )t 2 (1  zt )e  tz J 0 (rt )0 r (r , z )     (t )(1  zt )e tz J 0 (rt )0dt,tt 2 dtt1tdt (t )(1  2v  zt )e  tz J1 (rt ),r0t  (r , z )  2v   (t )e tz J 0 (rt )00(2.31)t 2 dtt1tdt (t )(1  2v  zt )e  tz J1 (rt ),r0t rz (r , z )   z   (t )t 3e  tz J1 (rt )(2.30)dtt(2.32)(2.33)442.3.Распределение напряжений и перемещений на границеупругого полупространстваУстремив в формулах (2.28) – (2.33) координату z к нулю, вычислимперемещения и напряжения на границе полупространстваu (r ,0)  w(r ,0) (1  v)(1  2v) tdt (t ) J1 (rt ),Et0(2.34)2(1  v 2 ) tdt (t ) J 0 (rt ),Et0(2.35) z (r ,0)     (t ) J 0 (rt )0t 2 dt,t(2.36)t 2 dt 1  2v tdt r (r ,0)     (t ) J 0 (rt ) (t ) J1 (rt ),tr 0t0  (r ,0)  2v   (t ) J 0 (rt )0t 2 dt 1  2v tdt (t ) J1 (rt ),tr 0t rz (r, z)  0.(2.37)(2.38)(2.39)Как следует из равенства (2.39), касательные напряжения на границеобращаются в нуль.

Характеристики

Список файлов диссертации