Диссертация (1149979), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Погрешность расчетов оценивалась авторами путем сравнениячисленных и аналитических результатов, полученных для этой задачи.В последние десятилетия уточняются и создаются новые методычисленного исследования контактных задач [10,90,96,115,119,148]. В работе[17] предложена итерационная процедура решения контактных задачметодом фиктивных канонических областей. Для исследования задач оштампах с учётом шероховатости F.
Bucher, K. Knothe, F. Lunenschlob [92]разработали численный метод, основанный на использовании комбинацийразличных методов сеток. Oliveira M.F.F., Dumont N.A., Selvadurai A.P.S.[127] адаптировали метод граничных элементов для численной реализацииосесимметричного фундаментального решения, представленного в случаеполупространства интегралами типа Липшица-Ханкеля. Предложеннаяпостановка, как отмечают авторы, легко обобщается на случай упругогопространства.Развитие современной вычислительной техники привело к созданиюстандартных пакетов, основанных на методе конечных элементов.
В работах[93,126] приведены результаты конечно-элементного анализа контактныхзадач для тел с усложненными свойствами. Исследования выполнены спомощью разработанного авторами пакета.В последние пятьдесят лет активно развивается фундаментальноенаправление механики, связанное с разработкой математических теорийдеформирования и разрушения сложных сред, к которым, прежде всего,относятся анизотропные и неоднородные среды, а также тела, содержащиетрещины, включения и другие структурные особенности.
При этомисследованиянеограничиваютсяфеноменологическимописанием23наблюдаемых явлений, а ставится задача анализа процесса деформированияна микроструктурном уровне [38,116].Теоретическое обоснование способов определения механическихсвойств упругих тел базируется на исследовании обратных и полуобратныхзадач теории упругости. Метод решения одной из задач этого типапредложен в работе [ 39].Первенство в математическом моделировании механических свойстванизотропных тел принадлежит Эллиоту [99]. Большой вклад в развитиеметодоврешениязадачтеорииупругостидляанизотропногополупространства внес С.Г. Лехницкий [50].
В монографии [74] исследованадвумернаятеорияанизотропныхоболочеквращения,армированныхнелинейно упругими нитями, предложен метод оценки устойчивостиоболочекипластин,лежащихнаупругомосновании.Изработ,опубликованных в последние годы, отметим также статьи [66, 101], вкоторых изучаются контактные задачи для трансверсально - изотропногополупространства.Учет слоистости полупространства при решении контактных задачособенно важен в строительной механике. Современные подходы к решениюконтактных задач этого класса могут быть проиллюстрированы на примереработы [43], в которой осесимметричная контактная задача для трехслойногоупругого полупространства сведена к интегральному уравнению Фредгольмавторого рода, его приближенное решение получено методом коллокаций поузлам полинома Лежандра.Оригинальным аналитическим решениям контактных задач и методамих численной реализации посвящены работы [9,67,94,107,136].C 60-х годов прошлого века интенсивно развиваются и исследования,связанные с разработкой аналитических методов решения задач о трещинах.Еще ранее было отмечено, что смешанные задачи теории потенциала дляполупространства могут быть использованы не только для решения24контактных задач, но и задач о плоской трещине в неограниченном упругомтеле.
A. Green, Y. Sneddon [109] исследовали распределение напряжений вокрестности эллиптической трещины. Задача о круговой щели на границедвухразличныхсредрешенаВ.И.МоссаковскимиМ.Т.Рыбкой.Исследованию задач о деформации упругих тел со щелями посвященыработы В.Т.Гринченко, А.Ф.Улитко, В.М.Александрова, Б.И.Сметанина.Lowengrub M., Sneddon I.N.
в работах [120,139] смешанную задачу дляполупространства с внешней трещиной свели к парным интегральнымуравнениям, предложив метод построения их элементарных решений.Teong, D. Clements [143], Han Jtanping [111] для решения задачи отрещинеиспользовалиметодграничныхинтегральныхуравнений.Н.Ф.Морозов в монографии [54] исследовал влияние способов учетаструктуры среды с помощью моментной теории упругости и дискретныхмоделей на описание процесса хрупкого разрушения. Известно, чтоопределяющим фактором при математическом моделированиихрупкогоразрушения является учет поверхностной энергии.
В случае пластическогоразрушения наряду с поверхностной энергией необходимо учитывать иработу, затраченную на пластическую деформацию в окрестности трещины.Врезультатетеоретическогоисследованияпроцессапластическогоразрушения твердых тел в агрессивных газах автором [24] предложеныформулы для определения предельных коэффициентов интенсивностинапряжений.В работе [46] граничные задачи для тел с трещинами с помощьюметодовтеориипотенциаласведеныкдвумерныминтегральнымуравнениям.Поскольку математический аппарат, используемый в теории трещин ипри решении контактных задач, основан на одних и тех же классическихпредставлениях теории потенциалов, многие авторы в своих работахпроводят рассмотрение указанных задач одновременно, например [22,23],25[55,56], [101,102].
В связи с многочисленностью опубликованных работ потрещинам, здесь отметим лишь некоторые из них [20,60,104,132].Интенсивному развитию аналитических и численных методов решенияпространственныхконтактныхспособствовала публикациязадачизадачмеханикиразрушениямногочисленных монографий, книг, учебныхпособий [37,48,61-64,70,75,89], а также статей [13,25,76,98,100,114,125, 129],излагающих и систематизирующихосновные результаты и методыисследований по механике деформируемого твердого тела и применяемым вней разделам математики.Изучение литературы показывает, что в настоящее время решениесложных пространственных задач теории упругости с помощью толькоаналитических либо только численных методов с достаточной для практикиточностью расчётов часто оказывается весьма затруднительным.
Поэтому висследованиях большинства современных авторов предпочтение отдаётсячисленно-аналитическимметодам,когдапостроенныеаналитическиерешения пространственных задач теории упругости численно исследуются ианализируются на компьютере.1.2. Приложения смешанных задач для упругого полупространствав механике горных пород и в строительной механикеСмешанные задачи для полупространства относятся к числу наиболееважных для приложений задач механики деформируемого твердого тела.
Так,основные задачи геомеханики, связанные с определением напряженнодеформированного состояния горного массива с подземными выработками,обычно сводятся к смешанной либо к первой основной задаче для упругогополупространства.При аналитических исследованиях задач геомеханики ненарушенныйгорный массив моделируется упругой средой с исходным напряженным26состоянием. Предложенные А.Н.Динником в тридцатых годах прошлого векаформулы для начальных напряжений, обусловленных весом пород и ихбоковым сжатием, положили начало математическому моделированиюфизических процессов в горном массиве. Для различного типа горныхвыработокрассмотрели(капитальных,большойкругподготовительныхзадачобиочистных)определенииученыедополнительныхнапряжений, появление которых связано с образованием полостей в массивегорных пород.Наиболее интенсивно в прошлом веке исследовались задачи дляподготовительныхвыработокбольшойпротяженности.Ониформулировались как задачи для упругой плоскости (полуплоскости) сотверстиями различной геометрической формы: круговой, эллиптической,арочной, прямоугольной.
Изложенный в монографии Н.И.Мусхелишвили[57]математическийаппарат решенияплоскихзадачтеорииупругости,включающий метод степенных рядов, теорию интегралов типа Коши, задачусопряжения Римана, позволил получить аналитические решения, которыечисленно реализовывались на ЭВМ. В монографии [7] предложеноэкспоненциальное условие текучести, с учетом которого разработаныметоды решения плоских упругопластических задач о концентрациинапряжений около отверстий, исследованы зоны неупругого деформированиягорныхпородвблизиподземныхвыработок.Работы,вкоторыхрассматривались задачи о концентрации напряжений в пространственнойпостановке, очень немногочисленны.
Здесь можно отметить монографиюЮ.Н.Подильчука [65], книгу Ж.С.Ержанова, А.А.Калыбаева, Т.Б.Мадалиева[27], статью Е.Стенберга [140].Большой практический интерес представляет задача о шахтном стволе(капитальнаявыработка).С.Г.Лехницкийвертикальнойцилиндрическойполости,[50]рассмотрелобразованнойсзадачуоповерхноститяжелого полупространства. В работах Н.З.Васильева [11] и его учениковисследованаосесимметричнаязадачадляполупространствас27цилиндрической выработкой, пробуренной с дневной поверхности, к которойприложена распределенная нормальная нагрузка. Трехмерная концентрациянапряжений вблизи цилиндрической полости в полубесконечном телеизучалась также в статье [147].В 1942г.
С.Г.Михлин [53] впервые сформулировал математическуюпостановку задачи о напряженно-деформированном состоянии массивагорных пород в окрестности очистной выработки при подземной добычеугля. С целью определения дополнительных напряжений он рассмотрелсмешанную задачу для упругой полуплоскости, граница которой совпадает сплоскостью контакта горных пород с угольным пластом, перфорированнымвыработкой.
Граничные условия смешанной задачи для полуплоскоститаковы: касательные напряжения на всей границе отсутствуют, в конечнойобластиS(свободнаякровлявыработки)задаётсяравномернораспределённая нагрузка n gH , где n – плотность породы, g – ускорениесилы тяжести, H – глубина залегания пласта, а вне области S , в точкахконтакта угля с породами, выполняется условие постоянства вертикальныхперемещений w . С помощью метода Г.В.Колосова – Н.И.Мусхелишвилиавтор работы [53] получил аналитическое решение задачи не только награнице, но и в произвольных точках упругой полуплоскости и на его основевпервые численно исследовал закономерности распределения напряжений вмассиве горных пород при разработке пластовых месторождений полезныхископаемых.Первая попытка обобщить задачу С.Г.
Михлинапутём заменыграничного условия w const более сложным условием пропорциональностинапряжений и перемещений в точках контакта угольного пласта с породамисделана в работе [58]. Уточнив эти исследования, А.М. Михайлов иМ.В.Кавлаканинтегрального[40]свелиуравнения,плоскуюсмешаннуюсодержащегозадачунеизвестнуюкрешениюфункциюраспределения нормального напряжения на границе полуплоскости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
