Диссертация (1149979), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

3.4. Распределение напряжения  z в плоскости z  0.177Рис. 3.5. Распределение напряжения  z в плоскости z  1Рис. 3.6. Распределение напряжения  z в плоскости z  278Из рисунков 3.3-3.6 видно, что максимальные сжимающие напряженияв исследуемых плоскостях достигаются в точках r  0 , принадлежащих оси z.При увеличении r монотонно убывающие кривые  z   z (r ) пересекают осьrи напряжения становятся растягивающими. Графики показывают, что приприближении плоскости z  const к границе полупространства координатыточек пересечения уменьшаются, а максимум растягивающих напряженийувеличивается, перемещаясь к осиz.В граничной плоскостиz 0напряжения  z положительны и монотонно уменьшаются с ростом r .При удалении от плоскости z  0 в глубь полупространства напряжение z достаточно быстро уменьшается.

Так, в плоскости z  1 напряжения напорядок меньше, чем в плоскости z  0.1. Из сравнения рисунков 3.5, 3.6следует, что при переходе от плоскости z  1 к плоскости z  2 интенсивностьзатухания напряжений уменьшается. Приведенные рисунки позволяютполучить количественную оценку изменения напряжения  z при удалении отграницы полупространства.Для наглядного представления о распределении напряжения  z вупругом полупространстве на рисунках 3.7 – 3.10 построены изолинии дляразличных значений параметра  в области   r, z  [0.05,1]. Рисункипоказывают, что изолинии сгущаются при приближении к началу координат,подтверждая наличие концентрации напряжений в окрестности точкиприложения сосредоточенной силы. В случае задачи Буссинеска напряжения z в упругом полупространстве отрицательны (рис.3.7).

При закрепленииграницы, когда   0 , в нижнем правом углу на рис.3.8-3.10 появляетсяобласть растягивающих напряжений. Из расчетов следует, что с ростом кривая  z (r, z)  0 , разделяющая области сжимающих и растягивающихнапряжений в плоскости r, z , перемещается по направлению к оси z . Изанализа рисунков следует, что с ростом параметра  область сжимающихнапряжений  z , а также их величины уменьшаются, область растягивающихнапряжений в полупространстве увеличивается.79Рис.3.7. Изолинии  z (r, z)  const ,   0 .Рис. 3.8.

Изолинии  z (r, z)  const ,   0.1 .80Рис. 3.9. Изолинии  z (r, z)  const ,   1 .Рис. 3.10. Изолинии  z (r, z)  const ,   10 .81Распределение напряжений  r ,   в упругом полупространствеРис.3.11. Изолинии  r (r, z)  const ,   0 .Рис.3.12. Изолинии  r (r, z)  const ,   0.1 .82Рис.3.13.

Изолинии  r (r, z)  const ,   1 .Рис.3.14. Изолинии  r (r, z)  const ,   10 .83Из формул (3.23) следует, что напряжения  r ,  зависят не только отпараметра  , но и от коэффициента Пуассона, который при расчетахполагался равным 0.25. Изолинии  r (r, z)  const приведены на рис.3.11-3.14.Графики показывают, что область сжимающих напряжений  rрасполагается между областями растягивающих напряжений, прилегающимик осям r, z .

С ростом  размеры областей растягивающих напряженийувеличиваются.Рис.3.15-3.18 иллюстрируют влияние упругого закрепления границы нараспределение напряжения   (r , z ) в изотропном полупространстве. Из нихРис.3.15. Изолинии   (r, z)  const ,   0 .84Рис.3.16. Изолинии   (r, z)  const ,   0.1 .Рис.3.17. Изолинии   (r, z)  const ,   1 .85Рис.3.18. Изолинии   (r, z)  const ,   10 .следует, что с ростом  область растягивающих напряжений   в упругомполупространстве уменьшается.Распределение касательных напряжений в упругом полупространствеИзолинии касательных напряжений в упругом полупространствепредставлены на рисунках 3.19-3.22. Из них видно, что картиныраспределения напряжений  rz (r, z) при выбранных значениях параметра качественно совпадают, с ростом  величины касательных напряжений  rzуменьшаются.Численный анализ распределения напряжений и перемещений вупругом полупространстве и на его границе при   0 и   0.8 м 1 выполнен вработе [34].

Следует отметить, что с ростом параметра  увеличивается86Рис.3.19. Изолинии  rz (r, z)  const ,   0 .Рис.3.20. Изолинии  rz (r, z)  const ,   0.1 .87Рис.3.21. Изолинии  rz (r, z)  const ,   1 .Рис.3.22. Изолинии  rz (r, z)  const ,   10 .88время расчета на компьютере компонент напряжений и перемещений.Поэтому расширение диапазона изменения  на порядок потребовалооптимизации алгоритма численной реализации решения смешанной задачи одействии сосредоточенной силы на изотропное полупространство с упругозакрепленной границей.В заключение главы отметим некоторые общие закономерности,вытекающие из анализа рисунков 3.2-3.22.1. С увеличением параметра  область влияния сосредоточенной силыуменьшается, её контур, сжимаясь, приближается к началу системыкоординат, то есть происходит локализация концентрации напряжений вокрестности точки приложения сосредоточенной силы.

При удалении от этойобласти величины напряжений в упругом полупространстве быстроуменьшаются.2. Графики изолиний нормальных напряжений  z ,  r показывают, чтопри   0 вблизи оси r появляются области растягивающих напряжений,которые с ростом  увеличиваются.3. В случае решения смешанной задачи, когда   0 , напряжения z , r ,  , rz меньше в областях сжимающих напряжений и больше в областяхрастягивающих напряжений, чем их значения, получающиеся при решениизадачи Буссинеска, когда   0 .4.

В исследованной области  максимальные значения нормальногонапряжения  z в несколько раз больше касательного напряжения и напорядок больше абсолютных значений напряжений   , r .3.5. Выводы по главе 31.Даноматематическоенагрузкикобоснованиесосредоточеннойсилепереходавотраспределеннойаналитическомрешении89осесимметричной смешанной задачи о действии нормальной нагрузкина изотропное полупространство с упруго закрепленной границей.2.Показано, что в случае, когда параметр  обращается в нуль, формулыдлякомпоненттензоранапряженийивектораперемещения,полученные при решении осесимметричной смешанной задачи ососредоточенной силе, приложенной к полупространству с упругозакрепленной границей, совпадают с известным решением задачиБуссинеска.3.Построена новая компактная форма точного решения осесимметричнойсмешанной задачи о действии сосредоточенной силы на изотропноеполупространство с упруго закрепленной границей путем вычислениявходящих в решение несобственных интегралов и их представлениячерез специальные функции.4.Предложен способ аналитического преобразования несобственныхинтегралов, содержащихся в решении осесимметричной смешаннойзадачи,реализациякоторогосущественноуменьшаетвремякомпьютерных расчетов компонент тензора напряжений и вектораперемещений в упругом полупространстве.5.На основе аналитических формул построены изолинии компоненттензоранапряженийипроанализированызакономерностираспределения напряжений в полупространстве.

Изучено влияниеупругогозакреплениясостояниеупругогограничнойповерхностиполупространствапараметра  от 0 до 10( м 1 ) .внадиапазоненапряженноеизменения90ГЛАВА 4ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ПОЛУПРОСТРАНСТВА СУПРУГО ЗАКРЕПЛЕННОЙ ГРАНИЦЕЙ ПОД ДЕЙСТВИЕМРАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ НАГРУЗКИ4.1. Решение интегрального уравнения в случае равномернораспределенной нагрузкиФормулы для перемещений и напряжений на границеи внутриполупространства, полученные в результате решения смешанной задачи (2.5)методом интегрального преобразования Ханкеля, содержат неизвестнуювспомогательную функцию  (r ) , для определения которой во второй главепостроеноинтегральноеуравнение(2.45).Численнаяреализацияаналитического решения осесимметричной задачи с граничными условиями(2.5) при известном законе распределения нагрузки q (r ) в заданной круговойобласти начинается с исследования интегрального уравнения (2.45).

Онопредставляет собой неоднородное уравнение Фредгольма второго рода. Еслимодуль интегрального оператора уравнения (2.45) меньше единицы, то,согласно [44], [47], оно имеет единственное решение, которое может бытьзаписано в виде сходящегося ряда Неймана (r )   K n q(r ) , r V1 .n0Здесь K −интегральныйоператоруравнения, V1–круговаяобластьприложения внешних усилий. При этом численное решение интегральногоуравнения (2.45) может быть осуществлено методом последовательныхприближений с помощью равенств91a [0] (r )  q(r ) ,  [ j 1] (r )  q(r )   g1w (r ,  )  [ j ] ( )d , j  0 .(4.1)0Покажем, что модуль интегрального оператора уравнения (2.45)меньше единицы.

Используя первую формулу (2.53), преобразуем интегралatdt K    J 0 t   J 0 rt dt  d  a   J1 at J 0 rt tt000dt  a   J1 at1 J 0 rt1  1  ,t1  1 0Здесь t1=t/χ. Учитывая, что r<a,1/(1+t1)<1, получаемK   a  J1 at1 J 0 rt1 dt1  a011aНиже рассмотрим осесимметричную задачу теории упругости одеформации изотропного полупространства при следующих граничныхРис.4.1.Действие равномерно распределенной нагрузки наполупространство с упруго закрепленной границей92условиях: в круговой области V на полупространство действует равномернораспределенная нагрузка, вне V - нормальные напряжения и перемещенияпропорциональны, касательные напряжения на всей граничной плоскостиотсутствуют, на бесконечности напряжения обращаются в нуль (рис.4.1).Обозначим интенсивность равномерно распределенной по круговойобласти нагрузки через q0  const .

Характеристики

Список файлов диссертации