Диссертация (1149979), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

В частном случае сформулированнойзадачи, когда поверхность полупространства не закреплена ( k = 0), функция (r ) равна заданной нагрузке в круговой области, а формулы для компоненттензора напряжений и вектора перемещений на границе совпадают срезультатами С.П.Тимошенко, Дж.Гудьера.Преобразуем интегральное уравнение (2.45), разделив левую и правую~части на q 0 . Введем безразмерную функцию  (r )   (r ) q0 , будем иметь~a~ (r )  1    ( ) g1w (r ,  )d .(4.2)0~В соотношениях (4.1) также перейдем к безразмерной функции  (r ) ,разделив правые и левые части на q 0 .При вычислении интеграла в правой части уравнения (4.2) областьинтегрирования [0, a ] разбивается на элементарные отрезки длиной h1. Прирешении уравнения (4.2) методом последовательных приближений всоотношениях(4.1)произведенийзначений~положим  [ 0]=заменим1,подынтегральнойинтегралфункциинасуммойвеличину~элементарного отрезка h1 и найдем значение  [1] в первом приближении.

Приреализации метода последовательных приближений на ПК расчет функции~вточке(r ,0) продолжается~~~(  [ N ]   [ N 1] )  [ N ]  домоментавыполненияусловия, где  – заданная точность вычисления.Изложенный метод решения интегрального уравнения позволяет найтизначение функции  (r ) в произвольной точке области 0  r  a . В таблице 4.193~приведены численные значения безразмерной функции  до четвертогоприближениявключительнопри   0.2 м 1 .Изтаблицывидно,чтоитерационный процесс быстро сходится: разница между численными~значениями функции  в третьем и четвертом приближениях меньше 0.0004.Численные исследования при   1;1.8 м 1 показывают, что с ростом сходимость замедляется и для достижения такой же точности требуетсябольшее количество итераций.Таблица 4.1.~Расчет функции  в круговой области~~r a [1]0.10.20.30.40.50.60.70.80.911.1523725571.1521908271.1504971131.1478956261.1443032841.1395884031.1335404871.1258017401.1156752641.1012705351.1734348651.1731689791.1711293511.1680025131.1637003131.1580820211.1509225731.1418394791.1300876461.113644499~~ [ 2] [ 3]1.1762427491.1759617941.1738695791.1706635431.1662555781.1605047691.1531854991.1439138651.1319409761.115230753 [ 4]1.1766121341.1763289941.1742295221.1710126031.1665901831.1608213901.1534806101.1441838511.1321818151.115436759~На рис.

4.2 построена зависимость  от безразмерной радиальнойкоординаты ~r  r a для значений параметра  , равных 0.2;1;1.8 м 1 . Из рисунка~4.2 видно, что с ростом параметра  значения функции  (r ) увеличиваются.~Плавное изменение функции  (r ) в области r  1 показывает, что причисленныхисследованияхнапряженно-деформированногосостояния~полупространства функция  (r ) в окрестности произвольной точки r можетбыть аппроксимирована линейным отрезком, проходящим через точки94~~rk ,  (rk ) и rk 1 ,  (rk 1 ) , где rk , rk 1 соседние узлы выбранной точки r , в которыхпредварительнорассчитываются~изложеннымвышеметодом~соответствующие значения  (rk ) ,  (rk 1 )~Рис.

4.2. Зависимость функции  (r ) от радиальной координаты1 –   0.2 м 1 ; 2 –   1м 1 ; 3 –   1.8 м 1Приизвестнойзависимости~ (r )расчеткомпоненттензоранапряжений и вектора перемещений в упругом полупространстве и на егогранице осуществляется в соответствии с формулами, приведенными вовторой главе.4.2. Расчет нормальных напряжений на упруго закрепленнойгранице полупространстваПри решении контактных задач теории упругости, а также задачстроительнойигорноймеханикибольшойпрактическийинтерес95представляетрасчетнормальногонапряжения z награницеполупространства. Исследуем распределение напряжения  z (r,0) на упругозакрепленнойчастиповерхностиполупространствавслучаеосесимметричной задачи с граничными условиями: z (r ,0)  q0 , r  a ; z (r,0)  kw(r,0) , r  a ; rz (r,0)  0 , r   .(4.3)Для идентификации варианта исследуемой осесимметричной задачи,когда поверхность полупространства упруго закреплена вне круговойобласти приложения равномерно распределенной нагрузки, то есть случаяq(r )  q0 , k  0 , отметим функции  (r ) ,  z (r,0) , u (r ,0) , w(r ,0) верхним индексомe« e ».

Таким образом, функция  (r ) задаётся равенством q0  kwe (r ,0), r  a,, r  a.0, e (r )  (4.4)Из формул (4.3), (4.4), (2.42) найдем ze (r ,0)  kwe (r ,0)     e (t ) J 0 (rt )0tdtta    e (1 )g w (1 , r )d1 , r  a .0где g w определяется формулой (2.44).(4.5)96Разделим обе части соотношения (4.5) на интенсивность нагрузки q 0~~ze (r ,0)   0a e (1 )g w (1 , r )d1 , r  a .(4.6)В формуле (4.6) положим a  1 , тогда 1  1 , координата r  1 , функция~ e (1 ) находится из решения интегрального уравнения~~ e (1 )  1  01  e ( )g1w (1 ,  )d , 1  1 .(4.7)Функция g1w сохраняет вид (2.46).Преобразуем несобственный интеграл, содержащийся в функции g w ,определяемой вторым соотношением в системе равенств (2.44): (1 , r )   J 0 (1t )J 0 (rt )0tdtt  J 0 (1t ) J 0 (rt )dt t 0t00  J 0 (1t )J 0 (rt )dt    J 0 (1t )J 0 (rt )dtt.(4.8)Вычислим [19] первый интеграл в правой части формулы (4.8) J 0 (1t )J 0 (rt )dt 02  1 K  ,r  r 0  1  r .(4.9) 1  – полный эллиптический интеграл первого рода.

Подставимr Здесь K выражение (4.9) в формулу (4.8), получим97 (1 , r ) 2  1 dtK      J 0 (1t ) J 0 (rt )r  r t0.(4.10)Опустим «волну» над функциями в равенствах (4.6) – (4.7). Тогдаформула для безразмерного нормального напряжения (, 0) примет вид1 ze (r ,0)     e (1 )1 (1 , r )d1 , r  1 ,(4.11)0где функция  (1 , r) задается равенством (4.10), а  e (1 ) определяется изинтегрального уравнения (4.7).98Рис.4.3.

Распределение напряжения σz в областиупругого закрепления границыНарис.4.3представленыграфикираспределениянормальногонапряжения  z (r,0)/ q 0 при изменении радиальной координаты r/ a от 1 до 4для значений параметра  , равных 0.2;1;1.8 м 1 . В качестве материалаполупространства выбирались горные породы, лежащие на упругомосновании (угольном пласте), ослабленном выработкой. Интеграл в правойчасти формулы (4.11) вычислялся по формуле трапеций.В случае, когда параметр   0 , из формулы (4.5) следует, чтонапряжение  z вне области приложения нагрузки равно нулю.

Из рис. 4.3видно, что при упругом закреплении границы (   0) в областиr 1появляются напряжения, максимум которых достигается при r  1 , то есть на99контуре круговой области приложения нагрузки. С ростом параметра  от0.2 до 1.8 максимум  z увеличивается. При удалении от области приложениянагрузки абсолютные значения функции  z (r,0) монотонно убывают.Как показывает рис. 4.3, при меньших значениях параметра убывание кривых происходит медленнее.

Поэтому при увеличении r график z , соответствующий значению   1.8 , пересекает кривые, построенные для  1 (в точке r1  2.1 ) и для   0.2 (в точке r2  3.6 ). Обозначим через r3координату точки пересечения графиков, соответствующих значениямпараметра   0.2 и   1 . Из рисунка видно, что при r  r1 напряжения  zувеличиваются с ростом параметра  . Если же r  r3 , то закономерность озависимости напряжения от параметра  изменяется, а именно: величинанапряжения больше при меньших значениях  .Из расчетов следует, что при выбранных значениях  радиальнаякоордината r3  4.1 , а в области r  [r1 , r3 ] имеет место сложная зависимостьнормального напряжения от величины параметра  . При любых напряжение  z приr   обращается в нуль.

Если же    (случайжесткого закрепления), то напряжения на контуреr 1становятсябесконечно большими.4.3. Численное исследование распределения перемещений награнице изотропного полупространстваСогласноприведенномувовторойглаверешениюзадачиосимметричной деформации изотропного полупространства при смешанныхграничных условиях (4.3) распределение перемещений в граничнойплоскости z  0 имеет вид:100u e (r ,0)  (1   )(1  2 )  etdt, (t ) J1 (rt )Et0w e (r ,0)  2(1   2 )  etdt. (t ) J 0 (rt )Et0Трансформанта функцииeпри интегральном преобразованииХанкеля определяется формулой (t )    (r )rJ 0 (rt )dr0Введенная при решении задачи функция  e (r ) связана с внешней нагрузкойq 0 равенством (4.4).

Переходя от трансформанты к оригиналу функции  ,преобразуем соотношения для перемещений к видуu e (r ,0)  (1   )(1  2 ) a e  ( ) g u ( , r )d ,E0w e (r ,0)  2(1   2 ) a e  ( ) g w ( , r )d .E0(4.12)(4.13)В формулах (4.12), (4.13) функции g u , g w определяются равенствамиg u ( , r )    J 0 (t ) J1 (rt )0tdt,t(4.14)tdt,t(4.15)g w ( , r )    J 0 (t ) J 0 (rt )0а функция  e (r ) находится из решения интегрального уравненияa e (r )  q0    e ( ) g1w ( , r )d , r  a ,0(4.16)101ядро которого записывается следующим образом:g1w ( , r )  g w ( , r ) .(4.17)Расчёт перемещений по формулам (4.12), (4.13) связан с преодолениемзначительных вычислительных трудностей. Из равенств (4.14), (4.15) видно,что выражения для g u ( , r ) , g w ( , r ) содержат несобственные интегралы отзнакопеременных подынтегральных функций.

При расчетах функций g u ( , r ) ,g w ( , r ) предварительнобесконечнымиисследовалисьверхнимипределами,несобственныеаравенстваинтегралы(4.14),с(4.15)преобразовывались следующим образом.Несобственные интегралы в формулах (4.14)-(4.15) представим в виде0 2 ( , r )   J 0 (t ) J 0 (rt )0tdtdt,  J 0 (t ) J 1 (rt )dt   J 0 (t ) J 1 (rt )t 0t0(4.18)tdtdt,  J 0 (t ) J 0 (rt )dt   J 0 (t ) J 0 (rt )t 0t0(4.19)1 ( , r )   J 0 (t ) J 1 (rt )Вычислим первые интегралы в правых частях соотношений (4.18),(4.19), получим1 ( , r )     J 0 (t ) J1 (rt )0tdt1  1    r    , ,t   r  0    r  1   K  dt2  r  r     r  2 ( , r )     J 0 (t ) J 0 (rt ),. 1  r     r t0 K       (4.20)(4.21)102Здесь K   - полный эллиптический интеграл первого рода.

Характеристики

Список файлов диссертации