Диссертация (1149979), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Преобразовав соотношение (2.36) к виду z (r ,0)     (t ) J 0 (rt )0t (t     )dtt4500  (t )tJ 0 (rt )dt   (t ) J 0 (rt )tdt  (r )  kw(r ,0) ,t (2.40)убеждаемся в том, что граничные условия (2.21) для нормальногонапряжения  z тождественно удовлетворяются.Итак, решение осесимметричной задачи (2.5) определяется формулами(2.28) -(2.39).Построим интегральное уравнение для неизвестной функции  (t ) ,входящей в решение.

Из равенства (2.20) имеемaa000 (t )    (r )rJ 0 (rt )dr   q(r )rJ 0 (rt )dr  k  w(r ,0)rJ 0 (rt )dr.Подставиввыражение для перемещения w(r ,0) изсоотношения (2.35),получим (t )  q1 (t )    (t1 )K (t , t1 )dt1 ,0гдеaq1 (t )   q(r )rJ 0 (rt )dr ,0K (t , t1 ) t1 arJ 0 (rt ) J 0 (rt1 )dr .t1   02.4. Преобразование аналитического решенияосесимметричной задачиПри заданной конкретной нагрузке q (r ) вычисление трансформантыфункции  (r ) может оказаться сложным. Поэтому в построенном решении,используя формулу обращения, осуществим переход от трансформанты коригиналуфункции (r ) ,характеризующейнагрузкунаграничной46поверхности полупространства. Например, для радиального перемещения вточках полупространства из соотношений (2.28), (1.6), (2.20) найдемu (r , z )  1 v  tdt[   ( )J 0 (t )d ](1  2v  zt )e  tz J1 (rt )E 0 0t1 vtdt ( ) [ (1  2v  zt )e tz J 0 (t ) J 1 (rt )]dE 0t0aВыполнив аналогичные преобразования, представим решение (2.28)-(2.39) вследующем виде:в точках упругого полупространства z  0au (r , z )    ( )Gu (r , z ,  )d ,aw(r , z )    ( )G w (r , z ,  )d ,00a r (r , z )    ( )Gr (r , z ,  )d ,a  (r , z )    ( )G (r , z ,  )d ,0a z (r , z )    ( )G z (r , z,  )d ,0a rz (r , z )    ( )Grz (r , z,  )d(2.41)00и в точках граничной плоскости z  0au(r ,0)    ( ) g u (r ,  )d ,0aw(r ,0)    ( ) g w (r ,  )d ,0a r (r ,0)    ( ) g r (r ,  )d ,0a z (r ,0)    ( ) g z (r ,  )d ,a  (r ,0)    ( ) g (r ,  )d ,0 rz (r,0)  0 .0Здесь введены обозначения в соотношениях (2.41)(2.42)47Gu (r , z,  )  G w (r , z,  )  (1  v)E(1  v)EGr (r , z ,  )    t 2 (1  zt )e  zt J 0 (t ) J 0 (rt )0 (1  2v  zt )etdt,t ztJ 0 (t ) J1 (rt ) ztJ 0 (t ) J 0 (rt )0 (2v  2  zt )e0tdt,tdtdt  t (1  2v  zt )e  zt J 0 (t ) J1 (rt ),t r 0tG (r , z ,  )  2v  t 2 e  zt J 0 (t ) J 0 (rt )0dtdt  t (1  2v  zt )e  zt J 0 (t ) J1 (rt ),t r 0tG z (r , z ,  )    t 2 (1  zt )e  zt J 0 (t ) J 0 (rt )0Grz (r , z ,  )   z  t 3e  zt J 0 (t ) J1 (rt )0dt,tdtt(2.43)и, соответственно, в формулах (2.42)(1  v)(1  2v) tdtg u (r ,  )  J 0 (t ) J1 (rt ),Et0g w (r ,  ) 2(1  v 2 )Eg r (r ,  )    J 0 (t ) J 0 (rt )0tdt J 0 (t ) J 0 (rt ) t   ,0t 2 dt (1  2v)trg (r ,  )  2v  J 0 (t ) J 0 (rt )0tdt J 0 (t ) J1 (rt ) t   ,0t 2 dt (1  2v)trtdt J 0 (t ) J1 (rt ) t  048g z (r ,  )    J 0 (t ) J 0 (rt )0t 2 dt.t(2.44)Для определения неизвестной функции  (r ) в круге r  a используемравенство (2.20).

После подстановки в него вертикального перемещенияw(r ,0)из второго соотношения (2.42) получим интегральное уравнениеa (r )  q(r )  kw(r ,0)  q(r )  k   ( ) g w (r ,  )d , r  a .0Запишем его в видеa (r )  q(r )    ( ) g1w (r ,  )d , r  a ,(2.45)0гдеg1w (r ,  )  kgw (r ,  )    J 0 (t ) J 0 (rt )0Интегральноеуравнение(2.45)являетсяtdt.t(2.46)неоднороднымуравнениемФредгольма второго рода. Его аналитическое решение [44,47] может бытьпредставлено рядом Неймана.Таким образом, построена вторая форма аналитического решенияосесимметричной смешанной задачи для упругого полупространства сграничными условиями (2.5).

Согласно построенному решению компонентытензора напряжений и вектора перемещений определяются формулами(2.41)-(2.44), причем содержащаяся в них неизвестная функциянаходится из интегрального уравнения (r )(2.45), (2.46). В результатеэлементарных вычислений, которые здесь нецелесообразно приводить из-заихбольшогообъёма,можноубедиться,чтоуравнения(2.1)-(2.4)тождественно удовлетворяются при подстановке в них полученного решения(2.41), (2.43).49Решение (2.41)-(2.44) по сравнению с формулами (2.28)-(2.39) имеетследующиепреимущества:егореализациянетребуетвычислениятрансформанты функции, задающей нагрузку, кроме того, при численныхисследованиях значительно уменьшаются затраты компьютерного времени засчет улучшения сходимости несобственных интегралов, содержащихся врешениях.2.5. Частные случаи аналитического решенияосесимметричной смешанной задачиРешение Тередзавы.

Исследуем случай, когда параметр k , входящий вграничные условия (2.5), равен нулю. Из формулы (2.21) при k  0 дляраспределения нормального напряжения  z (r,0) на границе полупространстваимеем z (r,0)   (r ), 0  r   .(2.47)Из равенства (2.20) следует, что функция  (r ) в этом случае известна:она равна приложенной в круговой области нагрузке q (r ) при r  a иобращается в нуль, если r  a .

Таким образом, смешанная задача (2.5) приk  0 трансформируется в первую основную задачу теории упругости дляизотропного полупространства.Если k  0 , то согласно формуле (2.25) параметр  также обращается внуль. Приравняв в равенствах (2.28), (2.29), (2.30), (2.33) параметр  нулю,убедимся, что выражения для функций u (r , z ) , w(r , z ) ,  z (r, z) ,  rz (r, z) совпадаютс приведенным в монографии [59] решением первой основной задачи теорииупругостивслучаеосесимметричнойдеформацииупругогополупространства под действием распределенной нормальной нагрузкиp z (r ) , 0  r   .

Отметим, что в книге В. Новацкого [59] явные выражениядля компонент напряжений   ,  r отсутствуют. Кроме того, в ней указано,50что решение этой задачи было впервые полученоТередзавой другимспособом.Равномерно распределенная нагрузка. Исследуем случай, когда вкруговой области на границе полупространства приложена распределеннаянагрузка постоянной интенсивности q(r )  q0  const . Коэффициент k , попрежнему, считаем равным нулю, поэтому вне области приложения нагрузкиповерхность упругого тела свободна от внешних усилий, а граничныеусловия (2.5) принимают вид z (r ,0)  q0 , r  a;r  a; z (r ,0)  0, (r ,0)  0,r  . rz(2.48)Отметим верхним индексом “c” компоненты вектора перемещений,тензора напряжений, а также функции Gu Grz , g u  g rz , соответствующиерешению задачи для полупространства с граничными условиями (2.48).При   0 , q(r )  q0 из формул (2.41)-(2.44) имеемau (r , z )  q0  Guc (r , z ,  )d0caw (r , z )  q0  G wc (r , z ,  )d ,c,0aa rc (r , z )  q0  Grc (r , z ,  )d , c (r , z )  q0  Gc (r , z ,  )d ,00aacc rz(r , z )  q 0  Grz(r , z ,  )d zc (r , z )  q0  G zc (r , z ,  )d ,00в точках упругого полупространства иau (r ,0)  q0  g (r ,  )d ,ccuaw (r ,0)  q0  g wc (r ,  )d ,c00aa (r ,0)  q0  g (r ,  )d ,  (r ,0)  q0  gc (r ,  )d ,00crcrc(2.49)51a (r ,0)  q0  g zc (r ,  )d , rzc (r ,0)  0cz(2.50)0в точках плоскости, ограничивающей полупространство.В соотношениях (2.49), (2.50) введены обозначения:Guc (r , z,  )  (1  v)(1  2v  zt )e  zt J 0 (t ) J 1 (rt )dt ,E 0(1  v)G (r , z,  )  (2v  2  zt )e  zt J 0 (t ) J 0 (rt )dt ,E 0cwGrc (r , z,  )    t (1  zt )e  zt J 0 (t ) J 0 (rt )dt 0 (1  2v  zt )e ztr 0J 0 (t ) J1 (rt )dt ,Gc (r , z ,  )  2v  te  zt J 0 (t ) J 0 (rt )dt 0 (1  2v  zt )e ztr 0J 0 (t ) J1 (rt )dt ,G zc (r , z,  )    t (1  zt )e  zt J 0 (t ) J 0 (rt )dt ,0cGrz(r , z,  )   z  t 2 e  zt J 0 (t ) J1 (rt )dt ,0иg uc (r ,  )  (1  v)(1  2v)0 J 0 (t ) J1 (rt )dt ,E(2.51)52cgw(r ,  ) 2(1  v 2 )  J 0 (t ) J 0 (rt )dt ,E0g rc (r ,  )    J 0 (t ) J 0 (rt )tdt 0(1  2v)rgc (r ,  )  2v  J 0 (t ) J 0 (rt )tdt 0 J 0 (t ) J1 (rt )dt ,0(1  2v)  J 0 (t ) J1 (rt )dt ,r0g (r ,  )    J 0 (t ) J 0 (rt )tdt .(2.52)cz0Формулы С.П.

Тимошенко, Дж.Гудьера. Преобразуем соотношения(2.50), (2.52) для напряжений и перемещений на границе полупространствавнутри и вне круговой области приложения равномерно распределённойнагрузки q0 . Покажем, что получающиеся в результате преобразованиясоотношения для компонент напряжений и перемещений совпадают сизвестными формулами С.П.Тимошенко, Дж. Гудьера.Используясправочныепособия[19],вычисляемопределенныеинтегралыaa J 0 (t )d  t J1 (at ) ,0dt0 J 1 (at ) J 1 (rt ) tr , r  a,  2aa , r  a, 2r(2.53)(2.54)532 rE ( ), r  a,dt  a0 J 1 (at ) J 0 (rt ) t  2r  aa2a   E ( )  (1  2 ) K ( ), r  a,r ra  r(2.55)1 , r  a,J(rt)J(at)dta0 0 1 0, r  a.(2.56)rrЗдесь K  , E    полные эллиптические интегралы первого и второгоaaрода, соответственно.Подставляя функцию g uc из соотношения (2.52) в первое равенство(2.50) и учитывая формулы (2.53), (2.54), находим радиальное перемещениеu c (r ,0)  (1  v)(1  2v)q0Ea00  [  J 0 (t ) J1 (rt )dt ]d (1  v)(1  2v)aq0 dtJ1 (at ) J1 (rt ) Et0 (1  v)(1  2v)q 0r , r  a, E2 (1  v)(1  2v)a q 0 , r  a.Er(2.57)Используя соотношения (2.50), (2.52), (2.53), (2.55), вычисляемвертикальные перемещения на границе полупространстваwc (r ,0) 2(1  v 2 )q0 a dtJ1 (at ) J 0 (rt ) Et0 rE ( ),r  a,4(1  v 2 )q 0 a  ar2E ( E ( a )  (1  a ) K ( a )), r  a. arrr2(2.58)54Из равенств (2.57), (2.58) видно, что при r  a функции u c (r ,0) , w c (r ,0)непрерывны.Изформул(2.50),(2.52),сучетом(2.53),(2.56),получаемраспределение нормального напряжения в граничной плоскостиa00 zc (r ,0)  q0  g zc (r ,  )d  q0 a  J1 (at ) J 0 (rt )dt  q , r  a, 0r  a. 0,(2.59)Для напряжений  c (r,0),  rc (r,0) после подстановки (2.52), (2.53), (2.54),(2.56) в формулы (2.50), имеемa  rc (r ,0)  q0 a  J1 (at ) J 0 (rt )dt 01  2vdtq0 a  J1 (at ) J1 (rt ) rt0 1  2vq0 ,r  a,22 (1  2v)( q o a ) , r  a,2r 2a  c (r ,0)  2vq0 a  J1 (at ) J 0 (rt )dt 0(2.60)1  2vdtq0 a  J1 (at ) J1 (rt ) rt0 1  2vq0 ,r  a, 22 (1  2v)( q o a ) , r  a.2r 2(2.61)Из соотношений (2.59)-(2.61) следует, что на границе областинагружения при r  a компоненты напряжения терпят разрыв.

Характеристики

Список файлов диссертации