Диссертация (1149979), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Позжеими из условия равновесия упругого полупространства было получено28интегральное уравнение в случае осесимметричной задачи [41]. В работах[78,79]рассмотренадругаяпостановкаосесимметричнойзадачи,развивающая подход, предложенный А.М.Михайловым, М.В.Кавлаканом длятрехмерной задачи [42]. Исследуемая в статье [42] постановка трехмернойстатической задачи для полупространства z  0 такова: на всей границеполупространства касательные напряжения отсутствуют; в области S ,представляющей собой сумму конечных областей S k , задано нормальноенапряжение  z , а вне области S выполняется условие пропорциональностинормальных напряжений и вертикальных перемещений  z  k w .При исследовании этой трёхмерной задачи в работе [42] полученаинтегральная формула для расчета нормального напряжения  z на границеполупространства.Онасодержитнеизвестнуюфункцию,котораяопределяется из построенного авторами интегрального уравнения.В работе [78] на основе решений пространственных задач вкоординатной плоскостиz0численно исследованы закономерностираспределения напряжения  z на границе полупространства в случаелинейной внешней нагрузки.Пространственная смешанная задача, рассматриваемая в работе [42],трансформируется в первую основную задачу теории упругости, если вусловии упругого основания коэффициент пропорциональности напряженийи перемещений приравнять нулю.Среди трехмерных задач теории упругости для полупространстваособое место занимает задача Буссинеска [91] о распределении напряженийи перемещений в изотропном полупространстве, к границе которогоприложена нормальная сосредоточенная сила.

Аналитическое решение этойзадачи используется при исследовании многих прикладных задач вмашиностроении, в строительной механике, геомеханике, биофизике,инженерной медицине и других областях науки. Этим объясняетсярегулярное появление в печати научных работ, посвященных тем или иным29обобщениям задачи Буссинеска. Например, A.P.S. Selvadurai[134, 135]обобщил классическое решение задачи Буссинеска на случай, когданормально нагруженное упругое полупространство подкреплено диском илимембраной. В статье [146] изучено действие нормальной силы на свободнойповерхности тела с покрытием.

Во многих работах решение задачиБуссинеска обобщается на случай распределённой нагрузки, приложенной кгранице полупространства. Так, J.Li, E. Berger [121] рассмотрели линейноераспределение нормальных и тангенциальных нагрузок по треугольнойобласти.J.G. Simmonds и P.G. Warne [138] исследовали задачу о деформацииизотропного полупространства под действием сосредоточенной силой наоснове точных уравнений теории упругости для несжимаемых и сжимаемыхматериалов.

Полученные в статье [138] результаты обобщены на случайтрансверсально-изотропного полупространства в работе [95]. H.G.Georgiadis,D.S.Anagnostou [106] для исследования напряженно-деформированногосостояния полупространства построили соотношения классической теорииупругости, предположив, что функция «деформация-плотность энергии»зависит не только от деформационных членов, но и от градиентовдеформаций.Встроительнойсосредоточенной силымеханикезадачаБуссинескана упругое полупространствоодействииимеет важныеприложения при расчётах на прочность жёстких и гибких фундаментов.Современные методы расчёта гибких фундаментов обычно базируются либона гипотезе Винклера-Циммермана о прямой пропорциональности междудавлением и местной осадкой, либо на гипотезе сплошного упругогополупространства.

Деформация упругого основания определяется с помощьюизвестных решений задач теории упругости: решения Фламана в случаеплоской деформации и решения Буссинеска в случае пространственных иосесимметричных деформаций.30Широкое применение в прикладных задачах механики нашли формулыС.П.Тимошенко, Дж.Гудьера [73] для напряжений и упругих перемещений награницеполупространства,деформируемогонагрузкой,равномернораспределенной по кругу.

Следует отметить, что эти формулы построеныавторами с помощью метода суперпозиции решений для сосредоточенныхсил, а не на основе аналитического решения краевой задачи теорииупругости.В работах [32,42,78] в прямоугольной декартовой системе координатметодом суперпозиции решений задачи Буссинеска построено решениетрехмерной смешанной задачи о распределении напряжений и перемещенийв изотропном полупространстве, при действии на него нормальной нагрузки,распределенной по произвольной конечной области, вне которой граничнаяповерхность упруго закреплена.Вместе с тем, в настоящее время класс осесимметричных смешанныхзадачодеформацииизотропногополупространстваподдействиемраспределенной нагрузки при упругом закреплении границы остаетсяпрактическиполностьюосесимметричнойизотропногонезадачиоисследованным.Аналитическоенапряженно-деформированномрешениесостоянииполупространства при смешанных граничных условияхисследуемого типа отсутствует.

Необходимые для практики численныерасчеты, как правило,базируются на трудоёмкой реализации принципасуперпозиции решений задач о сосредоточенной силе. В то же время следуетотметить, что осесимметричные задачи этого класса имеют важныепрактическиеприложенияивтехнике,ивразличныхотрасляхпромышленности (горнодобывающей, машиностроительной, строительной).Диссертационнаяработапосвященапостроениюаналитическихрешений осесимметричных смешанных задач для полупространства, награнице которого касательные напряжения отсутствуют, в конечной областидействует нормально приложенная нагрузка, вне этой области нормальныенапряжения и перемещения пропорциональны, напряжения на бесконечности31обращаются в нуль.

Аналитические решения осесимметричных задачполучены в случаях, когда к полупространству приложена распределеннаянагрузка либо сосредоточенная сила. На основе аналитических решенийчисленно исследованы закономерности распределения напряжений иперемещений в изотропном полупространстве при варьировании входящих врешенияпараметров.Результатыдиссертационныхисследованийопубликованы в работах [28-31, 33-36,80-86,117,149].1.3. Основные уравнения статики трехмерного упругого телаВдиссертационнойработепредполагаетсяисследоватьклассосесимметричных задач, поэтому уравнения линейной теории упругостизапишем в цилиндрической системе координат r,θ,z.

Система основныхуравнений теории упругости [5] включает:уравнения равновесия (при отсутствии массовых сил) r 1  r  rz  r    0,rr zr r 1    z 2 r 0,rr zr(1.1) rz 1  z  z  rz 0,rr zrгде  r ,   ,  z , r , rz , z – компоненты тензора напряжений;соотношения Коши, выражающие компоненты тензора деформаций r ,   ,  z ,  r ,  rz ,  z через компоненты вектора перемещений u r , u , w ,32r wu r1 u u r,  , z  ,zr rr(1.2) z u 1 wuw1 u r u  u ,  rz  r  ,  r  ;zr zrr rrобобщённый закон Гука, связывающий компоненты тензора напряженийи тензора деформацийr 1[ r  v(    z )] ,E 1[   v( r   z )] ,Ez 1[ z  v( r    )] ,E r (1.3)111 r ,  z   z ,  zr   zr ,G1G1G1здесь E – модуль упругости,  – коэффициент Пуассона, модуль сдвигаG1  E 21  ;условия совместности деформаций r 4  r1  2( r    )  0,1   r 2r2r 2 24  r1 1  1  2  ( r    ) ()  0,1   r r r  2r2r 2 2 z 1  2 0,1   z 233 r 1  1 2 4()( r    )   r  0 ,21   r r r r2 z 1  22  zr  z 0,1   z r 2 r2 rz 1  22  z  rz 0,1   rz r 2 r2(1.4)где    r      z , оператор  в цилиндрической системе координат имеетвид:1     1 22.r   2r r  r  r  2 z 2Одним из способов решения краевых задач для дифференциальныхуравненийсчастнымипроизводнымиявляетсяприменениеметодаинтегральных преобразований.

Этот метод широко используется прирешении задач теории упругости для бесконечных и полубесконечныхдеформируемых тел [77]. В частности, интегральное преобразование Ханкеляпредставляетсобойэффективныйметодрешенияосесимметричныхсмешанных задач теории упругости для полупространства и бесконечногослоя с различными типами заданных граничных условий.В диссертационной работе при решении смешанной задачи дляполупространства с помощью интегрального преобразования Ханкеля ианалитическихисследованияхполученныхрешенийиспользованыприведенные в приложении формулы (А.11).Построенные в диссертации решения осесимметричных задач дляполупространства преобразовывались к более компактному виду путемвычисления несобственных интегралов через элементарные и специальныефункции.

Математические свойства содержащихся в решениях задач34специальных функций (гамма-функции, функций Неймана, функций Струве,эллиптических интегралов первого и второго рода, полных эллиптическихинтегралов) указываются непосредственно в тексте работы со ссылкой насправочные источники. В приложении кратко перечислены свойствафункций Бесселя, соотношения (А.12) – (А.19) использованы во всехпоследующихглавахработыприпостроенииианалитическихпреобразованиях решений осесимметричных задач о действии нормальнойнагрузкинаполупространствосупругозакрепленнойграничнойповерхностью.В случае распределенной нагрузки приведенные в диссертацииформулы для компонент тензора напряжений и вектора перемещенийсодержат неизвестную функцию, для определения которойпостроеноинтегральное уравнение Фредгольма второго рода.

Характеристики

Список файлов диссертации