Диссертация (1149979), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Внутри55области нагружения  rc (r,0)   c (r,0) , вне ее эти компоненты напряженияравны по величине и противоположны по знаку.В монографии [26] выражения для компонент напряжений  r ,   приr  a не приведены. Для компонент напряжений и перемещений в граничнойплоскости, соотношения (2.57)-(2.59) при r  (0; ) , а также (2.60)-(2.61) приr  a совпадают с формулами С.П.Тимошенко, Дж.Гудьера, полученнымиметодомсуперпозициирешенийзадачиБуссинескаодействиисосредоточенной силы на полупространство.2.6. Равномерно распределенная нагрузка.

Решение в точкахупругого полупространства.В случае нагрузки, равномерно распределенной по круговой области,интегральная форма решения (2.49), (2.51) в произвольных точкахполупространства такжеможетбытьпреобразована квыражениям,содержащим элементарные и специальные функции координат r, z .Для радиальных и вертикальных перемещений из соотношений (2.49),(2.51) с учетом (2.53) получаемau c (r , z )  q0  Guc (r , z ,  )d 0(1  v)q0 adt{(1  2v)  e tz J1 (at ) J1 (rt )  z  e tz J1 (at ) J1 (rt )dt} ,Et00(2.62)aw c (r , z )  q0  G wc (r , z ,  )d 0(1  v)q0 adt{2(1  v)  e tz J1 (at ) J 0 (rt )  z  e tz J1 (at ) J 0 (rt )dt} .Et00Вычислим интегралы [19,68](2.63)56e tzJ1 (at ) J1 (rt )dt 0e tz1k1 arJ1 (at ) J 0 (rt )dt  0 tz e J1 (at ) J1 (rt )0zk12 a r3[ K (k1 )  0  a  r 1 0 ( , )]   , ,2a1 a  a  r (2.64)(2.65)k z ( z 2  2a 2  2r 2 )dtzE (k1 )  1K (k1 ) 3t k1 ar4 (ar )[( 2  k12 ) K (k1 )  2 E (k1 )] ,a  r a2  r 21 a 0 ( , )  ( ) 1 , ,4ar2 ra  r (2.66)k1 (a 2  r 2 )dt2 r0 e J1 (at ) J 0 (rt ) t  k a E(k1 )  2 a 3 r K (k1 ) 1tz 0  a  r z 0 ( , )   , .2a z a  a  r (2.67)В формулах (2.64)-(2.67) использованы обозначенияk1  2 arz 2  (a  r ) 2 ,sin   k1 ,sin   z 0 ( , ) z 2  (a  r ) 2,2E (k1 ) F ( , 1  k12 )  K (k1 ) E ( , 1  k12 )  K (k1 ) F ( , 1  k12 ),гдеF ( , k1 )  0dt1  k12 sin 2 t– эллиптический интеграл первого родаE ( , k1 )   1  k12 sin 2 t dt - эллиптический интеграл второго рода0(2.68)57Подставим интегралы (2.64)-(2.67) в равенства (2.62), (2.63), получимu c (r , z )  (1  v)q0 a  z(3  2v) E (k1 ) Ek1 ar(3  2v) z 2  4(1  v)( a 2  r 2 )z 2  (a  r ) 2w c (r , z )  a2  r 2K (k1 )  (1  2v) 0 ( , ) 4ar1  2v a 1  a  r ( ) , ,2r a  r (2.69) 2 r(1  v)q0 a E (k1 ) (2v  2) E k1 a 0  k (a 2  r 2 )zk1z 1K (k1 )  0 ( , )     z [ K (k1 ) 33za2a2 a r  2 a r 0   a  r   0 ( , )    ,  .1 a   a  r (2.70)Из формул (2.68) - (2.70) следует, что перемещения u c , w c при r  aнепрерывны.Формулы для компонент напряжений в точках полупространства могутбыть получены путем преобразований соответствующих соотношений (2.49),(2.51).

Другим способом определения напряжений является подстановкавыражений для перемещений (2.69), (2.70) в соотношения закона Гука.2.7. Выводы по главе 21. Впервые с помощью метода интегрального преобразования Ханкеляполученоаналитическоерешениесмешаннойзадачиобосесимметричной деформации изотропного полупространства при58упругомзакрепленииегограницывнеобластиприложенияраспределенной нагрузки.2. Построена вторая форма аналитического решения осесимметричнойзадачи о действии распределенной нагрузки на полупространство супруго закрепленной границей путем перехода от трансформанты коригиналувведеннойфункции,характеризующейнагрузкунаграничной поверхности.3. Показано, что в случае распределенной нагрузки, зависящей отрадиальнойкоординаты,аналитическогоинтегральнаярешенияформаосесимметричнойпостроенногозадачидляполупространства с незакрепленной поверхностью (k=0) совпадает срешением Тередзавы.4. Изпостроенногоаналитическогорешенияосесимметричнойсмешанной задачи получены известные формулы С.П.Тимошенко, Дж.Гудьера для компонент тензора напряжений и вектора перемещений награницеполупространства,деформируемогоравномернораспределенной нагрузкой.5.

Вслучаенезакрепленнойграничнойприложенараспределеннаянагрузкаповерхности,постояннойккоторойинтенсивности,вычислены несобственные интегралы, содержащиеся в аналитическомрешении осесимметричной задачи, в результате компоненты вектораперемещений в точках упругого полупространства записаны черезспециальные функции. Представление решений в такой формезначительно упрощает численную реализацию задачи, посколькусовременное математическое обеспечение компьютеров, как правило,содержитфункций.программыдлявычисленияизвестныхспециальных59ГЛАВА 3ДЕЙСТВИЕ СОСРЕДОТОЧЕННОЙ СИЛЫ НА ИЗОТРОПНОЕПОЛУПРОСТРАНСТВО С УПРУГО ЗАКРЕПЛЕННОЙ ГРАНИЦЕЙ3.1.

Аналитическое решение осесимметричной смешаннойзадачи о сосредоточенной силеДля исследования решения смешанной задачи (2.5) в случае, когданормальнаянагрузка,сосредоточеннойсилой,действующаяприложеннойнакполупространство,упругомутелуявляетсявначалецилиндрической системы координат (рис. 3.1), используем формулы (2.28)(2.38). Они менее громоздки, чем равенства (2.41)-(2.44), и потому болееудобны при аналитических преобразованиях, когда трансформанта функции() вычисляется в явном виде.Рис.3.1. Полупространство с упруго закрепленной границейпод действием сосредоточенной силыДля перехода в решении (2.28)-(2.33) от распределенной нагрузки ксосредоточенной силе Р рассмотрим задачу в случае, когда к упругому60полупространству приложена нагрузка постоянной интенсивности q(r )  q0 вкруговой области радиуса  .

Тогда, согласно (2.20), имеем: q0  kw(r ,0), r   ,r  .0, (r )  Здесьq 0  limP  0  2и для трансформанты  (t ) получаем P kw(r ,0) rJ 0 (rt )dr .  0 0   2 (t )  lim  (3.1)Подставим выражение (2.35) для перемещения w(r ,0) на границеполупространства в равенство (3.1), учитывая формулу (2.25), находимP trJ(rt)drlim (t1 ) 10t1    0  2 0 0 0 (t )  lim  rJ 0 (rt ) J 0 (rt1 )dr  dt1.0(3.2)Приравнивая в равенстве (2.53) параметр а радиусу ε, вычисляемпервый предел в правой части соотношения (3.2)limP PJ1 (t )P.2  0 t rJ 0 (rt )dr   lim  0  2 0Для решения интегрального уравнения (3.2) используем методпоследовательных приближений.

В качестве нулевого приближения полагаем[ 0](t ) P.2Вычислим первое приближение61[1](t )   tP Plim    1 J 0 (rt1 )dt1 rJ 0 (rt )dr 2 2   0 0  0 t1   1 P P 0 (r )  Y0 (r )rJ 0 (rt )dr.lim   2 2   0 0  r2Здесь H0(rχ) – функция Струве нулевого порядка, Y0(rχ) – функция Неймананулевого порядка. Используя представления специальных функций в форместепенных рядов [1], вычисляем интеграл во втором слагаемом, затемнаходим, что предел полученного выражения равен нулю, следовательно,[1](t ) P. Так как интегральный оператор при вычислении последующих2приближений не изменяется, то решение интегрального уравнения (3.2)записывается в виде (t ) P.2(3.3)Итак, если на упругое полупространство действует сосредоточеннаясила, то трансформанты функции  (r ) при   0 и   0 равны величинеP.2Подставив выражение (3.3) в формулы (2.28)-(2.38), получим аналитическоерешение задачи о сосредоточенной силе, приложенной к изотропномуполупространству с упруго закрепленной границей.3.2.

Задача БуссинескаРассмотрим случай   0 , который соответствует задаче Буссинеска одействиисосредоточеннойсилыPнаупругоеполупространство.Приравняем в решении (2.28)-(2.38) параметр  нулю, трансформанту  (t )62величинеP, получим распределение напряжений и перемещений в2полупространстве1  P u (r , z )  (1  2  zt )e  tz J1 (rt )dt ,E 2 0w  (r , z )  1  P  tz (2  2  zt )e J 0 (rt )dt ,E 2 0 z (r , z )   r (r , z )  P2 t (1  zt )e tz t (1  zt )e J 0 (rt )dt 0  (r , z )  J 0 (rt )dt ,0P2 tzP  tz (1  2  zt )e J1 (rt )dt ,2r 0P   tzP teJ(rt)dt(1  2  zt )e  tz J1 (rt )dt ,0 02r 0 rz(r , z )  Pz  2  tz t e J1 (rt )dt2 0и на его границеu  (r ,0)  (1   )(1  2 ) P  J1 (rt )dt ,2E0w  (r ,0) (1   2 ) P  J 0 (rt )dt ,E 0 z (r ,0)   r (r ,0)  P2 tJ 0 (rt )dt ,0P (1  2 ) P tJ 0 (rt )dt  J1 (rt )dt ,2 02r0(3.4)63  (r ,0)  P (1  2 ) P tJ 0 (rt )dt  J1 (rt )dt , 02r 0 rz(r ,0)  0 .(3.5)Вычислим интегралы [68], входящие в формулы для напряжений иперемещений (3.4)-(3.5):Jm0etz1(rt )dt  , m  0;1;rJ 0 (rt )dt 0 te tzr02 tz t e J 0 (rt )dt  0etzrJ1 (rt )dt 0 tetz2zt2z212 32 3,r1z1 rr2  z2J 1 (rt )dt 0r z,2zJ 0 (rt )dt 12e tz J 1 (rt )dt 0rr2 z23rz2z2 5,,,3zr23z 22 5.(3.6)Введем обозначение  r2  z2 .(3.7)Подставим выражения для определенных интегралов (3.6) в равенства (3.4)(3.5).

Учитывая формулу (3.7), после несложных преобразований получаем64известноерешениезадачиБуссинескавпроизвольныхu  (r , z )  1  P   z rz (1  2 ) 3 ,E 2 r точкахполупространства1   P  2(1   ) z 2 w (r , z )  3 ,E 2    z (r , z )   r (r , z ) 3Pz 32 5,P  (1  2 )z3zr 2 (1),2  r 2 5   (r , z )  1Pzz (1  2 )  ,2 r 2 r 2  3  rz (r , z )  3Pz 2 r2 5(3.8)и в точках граничной плоскостиu  (r ,0)  (1   )(1  2 ) P,E2rw  (r ,0) 1  2 P,E r z (r ,0)  0, r (r ,0) (1  2 ) P,2r 2  (r ,0)  (1  2 ) P,2r 2 rz(r ,0)  0 .(3.9)65Таким образом, показано, что формулы Буссинеска действительноявляются частным случаем решения смешанной задачи (2.5), котороеполучено во второй главе с помощью метода интегрального преобразованияХанкеля.Этотрезультатслужитподтверждениемдостоверностипостроенного решения смешанной задачи.3.3.

Компактная форма точного решения задачи о сосредоточеннойсиле, приложенной к упруго закрепленной поверхностиполупространстваИсследуем решение задачи в случае, когда   0 . Если нагрузка,приложенная к полупространству, является сосредоточенной силой, торешение задачи дается формулами (2.28)-(2.38) при подстановке в нихтрансформанты  t,tP.

Заменим в равенствах (2.28)-(2.38) дробную функцию2содержащуюся в подынтегральных выражениях, суммой двухслагаемыхt. 1tt(3.10)Из преобразованных таким образом соотношений (2.28)-(2.38) следует,что первые слагаемые совпадают с интегральной формой решения задачиБуссинеска (3.4)-(3.5), а вторые зависят от параметра  , характеризующеговлияние упругого закрепления границы на напряженно-деформированноесостояние полупространства.Итак, из формул (2.28)-(2.38), (3.10), (3.4), (3.5) имеемu  u   u  , w  w   w  ,  r   r   r ,…,  rz   rz,  rz(3.11)66где u  , w  ,…,  rz определяются соотношениями (3.8), (3.9), а u  , w  ,…, rzравенствамиu  (r , z ) w  (r , z ) (1   ) P2EP2  (r , z ) dt tz (1  2  zt )e J1 (rt ) t   ,0(1   ) P dt(2  2  zt )e  tz J 0 (rt ),2E 0t z (r , z )  r (r , z ) P2 t (1  zt )e tzJ 0 (rt )0 tz t (1  zt )e J 0 (rt )0dt,tdtP dt(1  2  zt )e  tz J1 (rt ),t   2r 0tP   tzdtP dtteJ(rt)(1  2  zt )e  tz J1 (rt ),0 0t   2r 0t rz(r , z ) zP2dt2  tz t e J1 (rt ) t  (3.12)0в произвольных точках (r , z ) полупространства и выражениямиu  (r ,0) (1   )(1  2 ) P2Ew  (r ,0)  (1   2 ) PE z (r ,0)  r (r ,0) P2dt J1 (rt ) t   ,0dt J 0 (rt ) t   ,0tdt J 0 (rt ) t   ,0P tdtP (1  2 ) dtJ 0 (rt )J1 (rt ),2 0t2rt067P tdtP (1  2 ) dtJ 0 (rt )J1 (rt ), 0t2rt0  (r ,0)  rz(r ,0)  0(3.13)в точках граничной поверхности упругого тела.Решениезадачиососредоточеннойсиле,приложеннойкполупространству с упруго закрепленной границей, в форме (3.11), (3.8)(3.10), (3.12)-(3.13) получено в работе [32] другим способом: путемнепосредственногопримененияметодаинтегральногопреобразованияХанкеля для решения задачи с граничными условиями z (r )  P, r  0; z (r )  kw, 0  r  ; rz (r )  0, 0  r  .Преобразуем формулы (3.12)-(3.13) к более компактному виду,вычислив входящие в решение несобственные интегралы через специальныефункции.

Характеристики

Список файлов диссертации