Диссертация (1149186), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Функционал v0 (ϕ), задаваемый формулой (1.5), для уравнения (3.1) имеет видv0 (ϕ) = u(0)ϕ2 (0) + 2b ϕ(0)Z0u(h + θ)ϕ(θ)dθ+−hZ0+ b2(3.2)Z0u(θ1 − θ2 )ϕ(θ1 )ϕ(θ2 )dθ1 dθ2 .−h −h3.1Кусочно-линейное приближениеРассмотрим произвольную функцию ϕ ∈ S2 и построим квадратичнуюоценку снизу для функционала v0 (ϕ). Согласно теореме 2.4, положительная определенность этой оценки будет означать экспоненциальную устойчивость уравнения (3.1). Из трех ограничений, которые накладывает принадлежность множеству S2 на функцию ϕ, нам понадобятся следующие два:|ϕ(θ)| 6 |ϕ(0)|,|ϕ00 (θ)| 6 (|a| + |b|)2 |ϕ(0)|,θ ∈ [−h, 0].(3.3)53Приблизим функцию ϕ кусочно-линейной функцией.
Для этого разобьемhотрезок [−h, 0] на N равных частей длины ∆ =точкамиN−h = θN < θN −1 < . . . < θ1 < θ0 = 0,θj = −j∆,j = 0, N ,и построим функцию l(θ), θ ∈ [−h, 0], — линейную функцию на каждом из промежутков [θj+1 , θj ], при этом такую, чтоl(θj ) = ϕ(θj ),j = 0, N .Ясно, что такая функция l может быть кусочно задана следующим соотношением:ssl(s + θj ) = ϕ(θj ) 1 +− ϕ(θj+1 ) ,∆∆s ∈ [−∆, 0],j = 0, N − 1.Пусть η(θ), θ ∈ [−h, 0], — погрешность приближения функции ϕ(θ) кусочнолинейной функцией l(θ), т.
е.ϕ(θ) = l(θ) + η(θ),θ ∈ [−h, 0].(3.4)Оценка погрешности приближения. Запишем выражение для функцииη(θ) на каждом из промежутков разбиения:ssiη(s + θj ) = ϕ(s + θj ) − ϕ(θj ) 1 +− ϕ(θj+1 ) , s ∈ [−∆, 0], j = 0, N − 1.∆∆hЧтобы оценить погрешность, воспользуемся формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:s2 00ϕ(s + θj ) = ϕ(θj ) + sϕ (θj ) + ϕ (θj + τj s), τj ∈ (0, 1),2∆2 000ϕ(θj+1 ) = ϕ(θj ) − ∆ϕ (θj ) +ϕ (θj − ξj ∆), ξj ∈ (0, 1).20Подставляя эти выражения в формулу для погрешности, получимη(s + θj ) =s2 00s∆ 00ϕ (θj + τj s) +ϕ (θj − ξj ∆),22τj , ξj ∈ (0, 1),s ∈ [−∆, 0],j = 0, N − 1.54Таким образом, погрешность кусочно-линейного приближения на каждом промежутке определяется значениями второй производной функции ϕ на этом промежутке.
Пользуясь вторым из неравенств (3.3) — ограничением на вторую производную ϕ — получим следующую оценку погрешности приближения:|η(s + θj )| 621|a| + |b| |ϕ(0)|(s2 − s∆),2s ∈ [−∆, 0],j = 0, N − 1.(3.5)Отметим, что оценка погрешности одинакова для всех промежутков разбиения,т. е. не зависит от j.Оценка функционала. Подставим приближение (3.4) в функционал (3.2).Для этого сначала преобразуем второе и третье слагаемые функционала.Начнем со второго слагаемого, обозначим его через I2 . Функция l заданакусочно, поэтому разобьем интеграл во втором слагаемом на сумму интеграловсогласно разбиению отрезка [−h, 0]. ПолучимZ0u(h + θ)ϕ(θ)dθ = 2b ϕ(0)I2 = 2b ϕ(0)NXj=1−h−(NZ −j)∆u(h + θ)ϕ(θ)dθ.−(N −j+1)∆В каждом из интегралов, стоящих под знаком суммы, сделаем замену переменнойпо формуле s = θ + (N − j)∆.
Поскольку θ ∈ [−(N − j + 1)∆, −(N − j)∆], тоs ∈ [−∆, 0]. Тогда0I2 = 2b ϕ(0)N ZXu(s + j∆)ϕ(s + θN −j )ds.j=1 −∆Подставляя в последнее выражение кусочно-линейное приближение (3.4), получимI2 = 2ϕ(0)N hXiLj ϕ(θN −j ) + Mj ϕ(θN −j+1 ) + Υl2 ,гдеj=1Z0Lj = b−∆su(s + j∆) 1 +ds,∆Z0Mj = −b−∆su(s + j∆) ds,∆55a группа слагаемых, зависящих от погрешности приближения, имеет вид0Υl2 = 2b ϕ(0)N ZXu(s + j∆)η(s + θN −j )ds.j=1 −∆Обозначим третье слагаемое функционала (3.2) через I3 и произведем надним аналогичные преобразования.
ИмеемI3 = b2Z0 Z0u(θ1 − θ2 )ϕ(θ1 )ϕ(θ2 )dθ1 dθ2 =−h −h= b2N XNXj=1 k=1−(NZ −j)∆−(NZ−k)∆u(θ1 − θ2 )ϕ(θ1 )ϕ(θ2 )dθ1 dθ2 .−(N −j+1)∆ −(N −k+1)∆Далее во внутреннем и внешнем интегралах сделаем замену переменной по формулам s1 = θ1 + (N − k)∆ и s2 = θ2 + (N − j)∆ соответственно, а затем подставимкусочно-линейное приближение:I3 = b2N Z0 Z0N XXu s1 − s2 + (k − j)∆ ϕ(s1 + θN −k )ϕ(s2 + θN −j )ds1 ds2 =j=1 k=1 −∆ −∆N Z0 Z0Nhis1 s1uekj (s1 , s2 ) ϕ(θN −k ) 1 +=b− ϕ(θN −k+1 ) + η(s1 + θN −k ) ×∆∆j=1 k=1 −∆ −∆his2 s2× ϕ(θN −j ) 1 +− ϕ(θN −j+1 ) + η(s2 + θN −j ) ds1 ds2 .∆∆Здесь для краткости введено обозначение uekj (s1 , s2 ) = u s1 − s2 + (k − j)∆ .2XXРаскроем скобки в последнем выражении.
При этом заметим, что, в силу свойствасимметрии матрицы Ляпунова, uekj (s1 , s2 ) = uejk (s2 , s1 ), а значит, имеют месторавенстваN XN Z0 Z0Xs1 s2uekj (s1 , s2 ) 1 +ds1 ds2 ϕ(θN −k )ϕ(θN −j+1 ) =∆ ∆j=1 k=1 −∆ −∆N Z0 Z0N=XXj=1 k=1 −∆ −∆s1 s2 uekj (s1 , s2 )1+ds1 ds2 ϕ(θN −k+1 )ϕ(θN −j ),∆∆56N XN Z0 Z0Xhs1 is1 − ϕ(θN −k+1 ) η(s2 + θN −j )ds1 ds2 =uekj (s1 , s2 ) ϕ(θN −k ) 1 +∆∆j=1 k=1 −∆ −∆NN Z0 Z0=XXj=1 k=1 −∆ −∆hs2 is2 uekj (s1 , s2 )η(s1 + θN −k ) ϕ(θN −j ) 1 +− ϕ(θN −j+1 ) ds1 ds2 .∆∆Учитывая эти равенства, получим следующее представление для третьего слагаемого функционала:N XN hXPkj ϕ(θN −k )ϕ(θN −j ) + 2Qkj ϕ(θN −k )ϕ(θN −j+1 )+I3 =j=1 k=1i+ Rkj ϕ(θN −k+1 )ϕ(θN −j+1 ) + Υl3 .Здесь выражения для коэффициентов имеют видPkj = b2Z0 Z0s1 s2 uekj (s1 , s2 ) 1 +1+ds1 ds2 ,∆∆−∆ −∆Z0 Z0Qkj = −bRkj = b2s1 s2ds1 ds2 ,uekj (s1 , s2 ) 1 +∆ ∆2−∆ −∆Z0 Z0uekj (s1 , s2 )s1 s2ds1 ds2 ,∆2−∆ −∆а группа слагаемых, зависящих от погрешности, обозначена через Υl3 :Υl3= 2b2N XNXZ0 Z0ϕ(θN −k )j=1 k=12− 2bN XNX−∆ −∆Z0 Z0ϕ(θN −k+1 )j=1 k=1+ b2s1 uekj (s1 , s2 ) 1 +η(s2 + θN −j )ds1 ds2 −∆N XN Z0 Z0Xuekj (s1 , s2 )s1η(s2 + θN −j )ds1 ds2 +∆−∆ −∆uekj (s1 , s2 )η(s1 + θN −k )η(s2 + θN −j )ds1 ds2 .j=1 k=1 −∆ −∆Таким образом, функционал (3.2) представлен в виде суммы двух большихгрупп слагаемых.
Первая из них является квадратичной формой относительно57значений функции ϕ в узлах разбиения промежутка и представляет собой функционал, вычисленный на кусочно-линейной функции l, без учета погрешностиприближения. Обозначим эту квадратичную форму через Λl . Вторая группа,Υl2 + Υl3 , включает все слагаемые, зависящие от погрешности, ее обозначим черезΥl . Другими словами, в таких обозначенияхv0 (ϕ) = Λl + Υl ,Λl = v0 (l),Υl = Υl2 + Υl3 .(3.6)1Пользуясь оценкой погрешности (3.5), в которой положим c = (|a| + |b|)2 ,2lоценим снизу группу слагаемых Υl . Начнем с величины Υ2 , полученной нами впроцессе преобразования второго слагаемого функционала.
Ясно, что0|Υl2 | 6 2|b| |ϕ(0)|N ZX|u(s + j∆)| |η(s + θN −j )|ds 6j=1 −∆06 2|b|c ϕ2 (0)N ZX|u(s + j∆)|(s2 − s∆)ds,j=1 −∆поэтому0Υl2 > −2|b|c ϕ2 (0)N ZX|u(s + j∆)|(s2 − s∆)ds.j=1 −∆Аналогично оценим снизу каждую из трех групп слагаемых, составляющих величину Υl3 . Окончательно, величина Υl допускает следующую оценку:Υl > −δl ϕ2 (0),где0δl = 2|b|cN ZX|u(s + j∆)|(s2 − s∆)ds+j=1 −∆+2b2 c2 2+b cN XN Z0 Z0Xj=1 k=1 −∆ −∆N Z0 Z0N XXj=1 k=1 −∆ −∆|eukj (s1 , s2 )|(s22 − s2 ∆)ds1 ds2 +|eukj (s1 , s2 )|(s21 − s1 ∆)(s22 − s2 ∆)ds1 ds2 ,58δl — постоянная величина, причем δl > 0 при b 6= 0.
Поясним, что вторая группаслагаемых в выражении для δl соответствует сумме оценок первой и второй группслагаемых в выражении для Υl3 , а третья группа слагаемых в выражении для δl —оценке третьей группы слагаемых в Υl3 . При этом при оценке первой и второйгрупп слагаемых в выражении для Υl3 мы использовали тот факт, что ϕ ∈ S,т. е. |ϕ(θN −k )| 6 |ϕ(0)|, k = 0, N . Именно благодаря этому оценка величины Υlявляется квадратичной формой только относительно значения ϕ(0).Вернемся к представлению (3.6).
Величина Υl оценена, и квадратичнаяоценка снизу функционала v0 на функции ϕ ∈ S2 имеет видv0 (ϕ) > Λl − δl ϕ2 (0).(3.7)Запишем явное представление для группы слагаемых Λl :2Λl = u(0)ϕ (0) + 2ϕ(0)N hXiLj ϕ(θN −j ) + Mj ϕ(θN −j+1 ) +j=1+N hN XXiPkj ϕ(θN −k )ϕ(θN −j ) + 2Qkj ϕ(θN −k )ϕ(θN −j+1 ) + Rkj ϕ(θN −k+1 )ϕ(θN −j+1 ) .j=1 k=1Формулы для коэффициентов Lj , Mj приведены на с. 54, а для коэффициентовPkj , Qkj , Rkj — на с.
56.Итак, искомая оценка (3.7) получена. Поскольку эта оценка представляетсобой квадратичную форму, естественно воспользоваться критерием Сильвестра для анализа ее положительной определенности. В первых работах [5, 26] мытак и делали. Однако, на самом деле, нам не нужна положительная определенность этой квадратичной формы: достаточно ее положительности на ненулевыхфункциях, удовлетворяющих первому из неравенств (3.3).
Поэтому более плодотворной оказалась идея минимизировать квадратичную форму на таком множестве функций, а затем проверять положительность полученного минимума. Длястрогой формулировки задачи минимизации введем вектор Tpbξ=, где p = ϕ(0), ϕb = ϕ(θ1 ), . .
. , ϕ(θN ) .ϕb59В таких обозначениях Λl — квадратичная форма относительно вектора ξb размерbности N + 1, а первое из неравенств (3.3), связывающее компоненты вектора ξ,принимает вид |ϕbj | 6 |p|, j = 1, N . Здесь ϕbj = ϕ(θj ) — компоненты вектора ϕ.bb в выраженииВыделим слагаемые, содержащие компоненту p вектора ξ,для Λl . Простые преобразования приводят к следующему представлению:"N −1#NhiXXΛl = u(0) + 2LN + PN N p2 + 2pLj + PN j ϕbN −j +Mj + QN j ϕbN −j+1 +j=1+N−1 N−1XXPkj ϕbN −k ϕbN −j + 2N N−1XXQkj ϕbN −k ϕbN −j+1 +j=1 k=1j=1 k=1j=1N XNXRkj ϕbN −k+1 ϕbN −j+1 ,j=1 k=1здесь использован тот факт, что Pkj = Pjk . Оценка (3.7) теперь может бытьзаписана в видеv0 (ϕ) > (λl1 − δl )p2 + 2pΛl2 ϕb+ϕbT Λl3 ϕ,bϕ ∈ S2 .(3.8)Здесь λl1 = u(0) + 2LN + PN N — число, Λl2 — строка размерности N, Λl3 — матрицаразмерности N × N ; элементы строки Λl2 и матрицы Λl3 определяются последнимпредставлением для Λl .
Величины λl1 , δl , элементы Λl2 и Λl3 зависят от параметровa, b, h уравнения (3.1), а также от параметра N. Теорема 2.4 теперь может бытьпереформулирована в следующем виде:Теорема 3.1. Если существует значение N такое, чтоmin (λl1 − δl ) + 2Λl2 ϕb+ϕbT Λl3 ϕb > 0, где(l)(3.9)ϕ∈b SbN(l)SbN = ϕb ∈ RN | ϕbj | 6 1, j = 1, N ,то уравнение (3.1) экспоненциально устойчиво.Д о к а з а т е л ь с т в о. Для функционала v0 на множестве функций S2 спраTведлива оценка (3.8), в ней значение N фиксировано, а вектор ξb = p, ϕb T поопределению связан с функцией ϕ.
Значит, для любого фиксированного p 6= 0 идля любой функции ϕ ∈ S2 такой, что ϕ(0) = p, также верноb+ϕbT Λl3 ϕb,v0 (ϕ) > min (λl1 − δl )p2 + 2pΛl2 ϕ|ϕbj |6|p|,j=1,N60здесь минимум берется на множестве векторов ϕ,b соответствующих всевозможным функциям ϕ ∈ S2 , для которых ϕ(0) = p; этот минимум, очевидно, существует. Вынося фиксированное значение p2 за знак минимума, получимv0 (ϕ) > µp2 = µϕ2 (0),где µ = min (λl1 − δl ) + 2Λl2 ϕb+ϕbT Λl3 ϕb,|ϕbj |61,j=1,Nпричем µ > 0 по условию теоремы. Таким образом, функционал v0 допускаетквадратичную оценку снизу на множестве S2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
