Диссертация (1149186), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Для этого сначала исследуем знаки функций gi (s). Заметим, чтоg1 (s) = −g3 (s) =1(s + ∆)2 (2s − ∆) > 0,3∆1s(s + ∆)2 6 0,2∆g4 (s) =g2 (s) =1 2s (2s + 3∆) > 0,∆31 2s (s + ∆) > 0,∆2s ∈ [−∆, 0].Действуя по аналогии с кусочно-линейным случаем (см. с. 57), оценим отдельнокаждую из групп слагаемых, входящих в выражения Υq2 и Υq3 (всего шесть группслагаемых). При этом воспользуемся оценкой (3.15), а также первыми двумя изнеравенств (3.13) — ограничениями на саму функцию ϕ и ее первую производную:|ϕ0 (θN −k )| 6 (|a| + |b|)|ϕ(0)|,|ϕ(θN −k )| 6 |ϕ(0)|,k = 0, N .Далее, тот факт, чтоg1 (s) + g2 (s) = 1,sg4 (s) − g3 (s) = − (s + ∆) > 0,∆s ∈ [−∆, 0],позволяет упростить окончательную оценку, сгруппировав оценки второй и третьей, четвертой и пятой групп слагаемых в выражении для Υq = Υq2 + Υq3 .

Про41делав все преобразования и введя для удобства обозначения ec=|a| + |b| ,24K = |a| + |b|, получимΥq > −δq ϕ2 (0),0δq = 2|b|ecN ZX|u(s + j∆)|f (s)ds + 2b2ecj=1 −∆2+2b ecKгдеN XN Z0 Z0X|eukj (s1 , s2 )|f (s2 )ds1 ds2 +j=1 k=1 −∆ −∆N XN Z0 Z0Xj=1 k=1 −∆ −∆N Z0N+b2ec2XX s21|eukj (s1 , s2 )| − − s1 f (s2 )ds1 ds2 +∆Z0j=1 k=1 −∆ −∆|eukj (s1 , s2 )|f (s1 )f (s2 )ds1 ds2 ,68δq — постоянная величина, причем δq > 0 при b 6= 0.Итак, как и в предыдущем параграфе, для функционала (3.2) полученаквадратичная оценка снизу:v0 (ϕ) > Λq − δq ϕ2 (0),ϕ ∈ S4 .(3.16)Эта оценка вновь представляет собой квадратичную форму, однако уже отноb Поскольку кусочно-кубическое приближение (3.14)сительно другого вектора ξ.определяется не только значениями самой функции ϕ в узлах разбиения промежутка [−h, 0], но и значениями ее производной, вектор ξb теперь имеет размерность 2N + 2 и задается следующим образом: Tp000bξ=, где p = ϕ(0), ϕb = ϕ(θ1 ), .

. . , ϕ(θN ), ϕ (0), ϕ (θ1 ), . . . , ϕ (θN ) .ϕbВведем обозначения для компонент вектора ϕb:ϕbj = ϕ(θj ), j = 1, N ;ϕbN +j+1 = ϕ0 (θj ), j = 0, N .Для того чтобы сформулировать достаточное условие экспоненциальнойустойчивости — аналог теоремы 3.1, как и в предыдущем параграфе, выделимb Послев выражении для Λq слагаемые, содержащие компоненту p вектора ξ.несложных преобразований получим:"N −1N hhiXX111121112L2j + RNbN −j+1 +Λq = u(0) + 2LN + RN N p + 2pLj + RN j ϕbN −j +j ϕj=1+L3j+13RNjϕb2N −j+1 +L4j+14RNjj=1ϕb2N −j+2i#+N−1 N−1XX11RkjϕbN −k ϕbN −j +j=1 k=1+2N N−1hXX12RkjϕbN −k ϕbN −j+1+13RkjϕbN −k ϕb2N −j+1+14RkjϕbN −k ϕb2N −j+2i+(3.17)j=1 k=1N XN hX222324+RkjϕbN −k+1 ϕbN −j+1 + 2RkjϕbN −k+1 ϕb2N −j+1 + 2RkjϕbN −k+1 ϕb2N −j+2 +j=1 k=133ϕb2N −k+1 ϕb2N −j+1+Rkj+342Rkjϕb2N −k+1 ϕb2N −j+2+44Rkjϕb2N −k+2 ϕb2N −j+2i.69Таким образом, оценка (3.16) имеет точно такую же структуру, как и оценка(3.7), и может быть записана в видеv0 (ϕ) > (λq1 − δq )p2 + 2pΛq2 ϕb+ϕbT Λq3 ϕ,bϕ ∈ S4 ,qq11где λq1 = u(0) + 2L1N + RNN — число, Λ2 — строка размерности 2N + 1, Λ3 —матрица размерности (2N + 1) × (2N + 1); элементы строки Λq2 и матрицы Λq3могут быть найдены из представления (3.17).

Окончательно, получим следующее утверждение — аналог теоремы 3.1 для кусочно-кубического приближенияфункции ϕ.Теорема 3.5. Если существует значение N такое, чтоmin (λq1 − δq ) + 2Λq2 ϕb+ϕbT Λq3 ϕb > 0,(q)гдеϕ∈b SbN(q)SbN = ϕb ∈ R2N +1 |ϕbj | 6 1, j = 1, N ;|ϕbN +1+j | 6 |a| + |b|, j = 0, N ,то уравнение (3.1) экспоненциально устойчиво.Утверждение 3.2, содержащее необходимые условия экспоненциальнойустойчивости, может быть перенесено на рассматриваемый случай практически дословно, с заменой всех индексов «l» на «q».

Как и в кусочно-линейномслучае, это утверждение можно применять для того, чтобы сократить объемвычислений, возникающий при проверке теоремы 3.5.Приведем аналоги утверждения 3.3 и следствия 3.4.Утверждение 3.6. Пусть уравнение (3.1) экспоненциально устойчиво. Введемследующие постоянные:L = 1 + |b|h,K = |a| + |b|,1 4K ,24M = max |u(τ )|,τ ∈[0,h] 23131 231 231567ν1 = |b|ec M h , ν2 = b ec M h , ν3 = b ecKM h , ν4 =b2 ec 2 M h10 .15159030ec=Вычислим величину α > 0 как решение уравненияKLeαK =12α70и зададим µ =α. Тогда для любого натурального N, удовлетворяющего нера4венствуµN 8 − (ν1 + ν2 )N 4 − ν3 N 3 − ν4 > 0,(3.18)выполнено условие теоремы 3.5.Д о к а з а т е л ь с т в о.

По аналогии с доказательством утверждения 3.3 заключаем, что для любого N справедлива оценкаmin λq1 + 2Λq2 ϕb+ϕbT Λq3 ϕb > µ.(q)ϕ∈b SbNВычислим интегралыZ031f (s)ds = ∆5 ,30−∆Z0 s2∆2− − s ds =∆6−∆и, как и в доказательстве утверждения 3.3, оценим величину δq (см. с. 67):δq 6ν1 + ν2ν3ν4++.N4N5 N8Тогда q µN 8 − (ν1 + ν2 )N 4 − ν3 N 3 − ν4qT qmin (λ1 − δq ) + 2Λ2 ϕb+ϕb Λ3 ϕb >> 0.(q)N8ϕ∈b SbNУтверждение доказано. Отметим, что значение N, удовлетворяющее неравенству(3.18), всегда существует, поскольку µ > 0.Следствие 3.7. Если при некотором значении N неравенство (3.18) выполнено,а минимум, введенный в теореме 3.5, не положителен, то уравнение (3.1) неявляется экспоненциально устойчивым.Все утверждения, полученные в этом параграфе, полностью аналогичнысоответствующим утверждениям предыдущего параграфа. Основное различиемежду двумя методами заключается в векторе ϕ,b который определяется структурой приближения (3.4) или (3.14). Можно ожидать, что метод, основанный71на кусочно-кубической аппроксимации, будет гарантировать экспоненциальнуюустойчивость уравнения (3.1) при меньших значениях N, чем метод, основанныйна кусочно-линейной, — за счет гладкости кусочно-кубического приближения.Это подтверждается примерами параграфа 3.5.3.3Анализ неустойчивостиВ этом параграфе мы покажем, что методы, разработанные в параграфах 3.1 и 3.2 для анализа экспоненциальной устойчивости уравнения (3.1), могутбыть, с небольшими изменениями, использованы для анализа неустойчивости.Метод анализа неустойчивости опирается на теоремы 2.5 и 2.6 и основан на следующей теореме.

Все используемые в ней величины определены в параграфах 3.1и 3.2.Теорема 3.8. Если существует значение N такое, чтоmin (λl1 + δl ) + 2Λl2 ϕb+ϕbT Λl3 ϕb < 0,(l)(3.19)ϕ∈b SbNили такое, чтоmin (λq1 + δq ) + 2Λq2 ϕb+ϕbT Λq3 ϕb < 0,(q)ϕ∈b SbNто уравнение (3.1) неустойчиво.Д о к а з а т е л ь с т в о. Первое условие теоремы соответствует кусочно-линейному, а второе — кусочно-кубическому приближению функции ϕ из множества S2 или S4 соответственно. Докажем теорему в том случае, когда выполненоусловие (3.19).В параграфе 3.1 получено, что функционал (3.2) допускает представление(3.6): v0 (ϕ) = Λl + Υl , при этом Υl > −δl ϕ2 (0), δl > 0. На самом деле, оценкаснизу для величины Υl построена таким образом, что−δl ϕ2 (0) 6 Υl 6 δl ϕ2 (0).72В совокупности с представлением (3.6) получимv0 (ϕ) 6 Λl + δl ϕ2 (0).Таким образом, функционал (3.2) допускает оценку сверху, аналогичную оценкеснизу (3.8):v0 (ϕ) 6 (λl1 + δl )p2 + 2pΛl2 ϕb+ϕbT Λl3 ϕ,bϕ ∈ S2 .Обозначимµ = − min (λl1 + δl ) + 2Λl2 ϕb+ϕbT Λl3 ϕb,(l)ϕ∈b SbN(l)µ > 0 по условию теоремы, и зафиксируем вектор ϕb ∈ SbN , на котором достига-ется этот минимум, т.

е. такой, чтоµ = − (λl1 + δl ) + 2Λl2 ϕb+ϕbT Λl3 ϕb.Выберем произвольное p > 0 и зададим вектор ψb = p ϕ.b Ясно, что |ψbj | 6 |p|,(l)j = 1, N , поскольку ϕb ∈ SbN . Построим функцию ϕ ∈ S2 такую, что ϕ(0) = p,ϕ(θj ) = ψbj , j = 1, N ; для этой функцииv0 (ϕ) 6 (λl1 + δl )p2 + 2pΛl2 ψb + ψb T Λl3 ψb = −µp2 = −µϕ2 (0),а значит, по теореме 2.6 (в совокупности с утверждением 2.8) уравнение (3.1)неустойчиво. Для кусочно-кубического приближения доказательство проводитсяполностью аналогично.Заметим, что проверка неравенства (3.19) не требует дополнительных вычислительных затрат, если вычислен минимум (3.9): чтобы ее осуществить, вминимуме (3.9) достаточно заменить соответствующий знак «минус» на «плюс».Если выполнено условие Ляпунова, то либо существует такое значение N, чтоминимум (3.9) положителен, либо такое значение N, что минимум (3.19) отрицателен.

Случай невыполнения условия Ляпунова теоремы 2.3–2.6 и основанные наних методы анализа экспоненциальной устойчивости и неустойчивости не охватывают.733.4Применение функционала полного типаПользуясь теоремами параграфа 2.5, применим функционал полного типа(1.9) к анализу устойчивости уравнения (3.1). В результате получим конструктивную процедуру анализа устойчивости, аналогичную изложенным в трех последних параграфах. Поскольку функционал полного типа v более отделен от нуля,чем функционал v0 , следует ожидать, что в этом случае предлагаемый методпозволит гарантировать устойчивость для большего класса систем.Для уравнения (3.1) функционал полного типа (1.9) имеет видZ0v(ϕ) = v0 (ϕ) +w1 + (h + θ)w2 ϕ2 (θ)dθ,(3.20)−hпри этом матрица Ляпунова u(τ ), определяющая функционал v0 , ассоциированас числом w = w0 +w1 +hw2 , где w0 , w1 , w2 > 0.

Характеристики

Список файлов диссертации