Автореферат (1149185)
Текст из файла
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙУНИВЕРСИТЕТНа правах рукописиМедведева Ирина ВасильевнаКОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗАЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХСИСТЕМ ЗАПАЗДЫВАЮЩЕГО ТИПА05.13.01 — системный анализ, управление и обработка информации(по прикладной математике и процессам управления)АВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукСанкт-Петербург2014Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет»Научный руководитель:заслуженный работник высшей школы РФ,заведующий кафедрой теории управления,доктор физико-математических наук, профессорЖабко Алексей ПетровичОфициальные оппоненты:доктор технических наук, профессорБобцов Алексей Алексеевич,заведующий кафедрой систем управления и информатики Федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий,механики и оптики»доктор физико-математических наук, доцентПровоторов Вячеслав Васильевич,профессор кафедры уравнений в частных производных и теории вероятностей Федерального государственного бюджетного образовательного учреждениявысшего профессионального образования «Воронежский государственный университет»Ведущая организация:Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт прикладных математических исследований Карельского научного центра РАНЗащита состоится 25 марта 2015 г.
в 15 часов на заседании диссертационного советаД 212.232.50 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук, на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университетепо адресу: 198504, Санкт-Петербург, Петродворец, Университетский пр., д. 35, ауд. 327.Отзывы на автореферат в двух экземплярах просим направлять по адресу: 198504, СанктПетербург, Петродворец, Университетский пр., д. 35, ученому секретарю диссертационногосовета Д 212.232.50 Г.
И. Курбатовой.С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького СанктПетербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., д. 7/9. Автореферат и диссертация размещены на сайте www.spbu.ru.Автореферат разослан «» февраля 2015 г.Ученый секретарь диссертационного совета,доктор физ.-мат. наук, профессорГ.
И. КурбатоваОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫАктуальность темы исследования. Системы с запаздыванием естественно возникают при построении математических моделей в технике, биологии, химии, медицине, экономике, экологии и других областях знания: дляполучения адекватной модели часто необходимо учитывать тот факт, что скорость процесса зависит не только от текущего, но и от прошлых состояний системы. В системах автоматического регулирования запаздывание появляется вканале обратной связи. Иногда оно намеренно вводится в управление с цельюстабилизировать систему или создать более простой с точки зрения конструирования регулятор. Так или иначе, анализ устойчивости систем с запаздыванием является одной из важнейших задач современной теории управления.Диссертационная работа посвящена анализу экспоненциальной устойчивости линейных стационарных дифференциально-разностных систем запаздывающего типа.
Два основных подхода к анализу устойчивости — применительнок системам обыкновенных дифференциальных уравнений — были разработаны еще А. М. Ляпуновым в конце XIX века и известны как первый и второй(прямой) методы Ляпунова. Обобщения этих подходов применяются к исследованию устойчивости систем с запаздыванием.Первый метод Ляпунова для линейных систем с запаздыванием развивается в работах В. И. Зубова, R. Bellman. Второй метод Ляпунова допускаетдва обобщения на системы с запаздыванием.
Первое из них было предложено Н. Н. Красовским в 1956 году. В нем в качестве аналога классическихфункций Ляпунова используются функционалы, называемые функционаламиЛяпунова – Красовского. Их аргументом является состояние системы с запаздыванием — сегмент ее решения на отрезке, равном по длине наибольшемузапаздыванию. Метод функционалов Ляпунова – Красовского дает критерийэкспоненциальной устойчивости линейных стационарных систем — существование положительно-определенного функционала, имеющего отрицательноопределенную производную вдоль решений системы. Второе обобщение прямого метода Ляпунова на системы с запаздыванием, также предложенное в 1956году, принадлежит Б. С.
Разумихину. В нем для анализа устойчивости используются функции Ляпунова, а отрицательная определенность их производныхпроверяется только на множестве функций, удовлетворяющих специальномуограничению — условию Разумихина.3Структура и явный вид функционалов, пригодных для анализа устойчивости в рамках метода функционалов Ляпунова – Красовского, а также вопросы их существования исследовались в работах Н. Н. Красовского, Ю. М.
Репина, R. Datko, E. F. Infante, W. B. Castellan, W. Huang, В. Л. Харитонова иА. П. Жабко. В результате сформировалась теория функционалов с заданной производной: построены положительно-определенные — в случае экспоненциальной устойчивости системы — квадратичные функционалы, имеющиеотрицательно-определенную производную вдоль решений системы. Ключевымэлементом, определяющим эти функционалы, является специальная функциональная матрица, называемая матрицей Ляпунова. Проблема применения построенных функционалов на практике заключается в отсутствии конструктивных способов проверки их положительной определенности.Более того, эффективное использование функционалов в приложенияхпредполагает существование для них квадратичных оценок снизу.
При этомдля функционала, полученного в работе W. Huang, существует только локальная кубическая оценка снизу. В работе В. Л. Харитонова и А. П. Жабко построен так называемый функционал полного типа, допускающий квадратичнуюоценку снизу в случае экспоненциальной устойчивости системы. Этот функционал может быть эффективно использован для построения экспоненциальныхоценок решений, для анализа робастной устойчивости, т. е. анализа устойчивости систем, матрицы которых содержат неопределенные параметры, а такжедля нахождения критических параметров систем. Тем не менее, разработкаконструктивных способов построения квадратичных оценок снизу остается актуальной задачей даже для функционалов полного типа.Кроме того, по-прежнему актуальна проблема вычисления матрицы Ляпунова, определяющей функционалы с заданной производной. По определениюматрица Ляпунова является решением специальной системы уравнений, состоящей из дифференциально-разностного уравнения, некоторого условия симметрии и граничного условия.
Однако алгоритм решения этой системы известен только в частном случае — для систем с кратными запаздываниями. Азначит, в общем случае любые условия устойчивости, основанные на функционалах с заданной производной, не конструктивны.Целью диссертации является развитие методов анализа экспоненциальной устойчивости и неустойчивости линейных стационарных дифференци4ально-разностных систем запаздывающего типа. В работе предлагаются новыеконструктивные способы построения квадратичных оценок снизу для функционалов Ляпунова – Красовского. В ходе исследования ставятся и решаютсяследующие задачи:• разработка системного подхода к анализу динамических систем, описываемых линейными стационарными дифференциально-разностными уравнениями;• формулировка и доказательство конструктивных критериев экспоненциальной устойчивости и неустойчивости линейных стационарных систем снесколькими, быть может, несоизмеримыми запаздываниями;• разработка конструктивных методов анализа экспоненциальной устойчивости и неустойчивости систем рассматриваемого класса и их программнаяреализация;• построение конструктивных алгоритмов оценки критических параметров(в том числе критических запаздываний, запаса устойчивости) линейныхстационарных дифференциально-разностных систем с неопределеннымипараметрами.Методы исследования.
Для решения поставленных задач в работе используются классические и современные методы теории устойчивости систем сзапаздыванием, теории управления, алгебры и математического анализа. Основные результаты работы основаны на комбинации метода функционалов Ляпунова – Красовского и метода Разумихина: квадратичные оценки снизу дляфункционалов Ляпунова – Красовского строятся на специальном множествефункций вместо множества решений системы.Научная новизна. Критерии экспоненциальной устойчивости и неустойчивости линейных стационарных систем с запаздыванием, выраженные в терминах существования для функционалов Ляпунова – Красовского квадратичных оценок на множестве функций, удовлетворяющих аналогу условия Разумихина, а также все полученные в ходе решения поставленных в диссертациизадач методы и алгоритмы являются новыми.Теоретическая значимость работы состоит в развитии конструктивных методов анализа положительной определенности квадратичных функционалов Ляпунова – Красовского.Практическая значимость.
Разработанные в диссертации методы мо5гут быть применены в теории автоматического регулирования — к оценке областей экспоненциальной устойчивости и неустойчивости линейных стационарных дифференциально-разностных систем в пространстве параметров, к оценке критических параметров таких систем, а также в задачах анализа и синтезасистем управления.Апробация результатов исследования. Результаты работы докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры теории управленияфакультета прикладной математики – процессов управления СПбГУ, а такжена девяти научных конференциях: XLI, XLII, XLIII, XLV международные научные конференции аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость» факультета ПМ–ПУ СПбГУ (Санкт-Петербург, 2010–2012, 2014), Всероссийская конференция «Устойчивость и процессы управления», посвященная 80-летию со дня рождения В.
И. Зубова (Санкт-Петербург, 2010), “11thIFAC Workshop on Time-Delay Systems” (Grenoble, France, 2013), «Всероссийское совещание по проблемам управления (ВСПУ-2014)» (Москва, ИПУ РАН,2014), “2014 International Conference on Computer Technologies in Physical andEngineering Applications (ICCTPEA)” (Санкт-Петербург, 2014), VII международная конференция «Современные методы прикладной математики, теорииуправления и компьютерных технологий (ПМТУКТ-2014)» (Воронеж, 2014).Публикации. Материалы диссертации опубликованы в одиннадцати печатных работах, три из которых являются статьями в изданиях, рекомендованных ВАК РФ. Перечень публикаций приведен в конце автореферата.Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоитиз введения, пяти глав, заключения, списка литературы, включающего 81 наименование, и трех приложений.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
