Автореферат (1149185), страница 3
Текст из файла (страница 3)
, Nm → +∞.В параграфе 4.3 изложенные в параграфе 4.1 методы применяются коценке областей экспоненциальной устойчивости конкретных систем в пространстве параметров. Примеры подтверждают эффективность предложенныхалгоритмов и иллюстрируют сходимость методов. Рассмотрен пример применения методов в задаче управления — в задаче стабилизации перевернутогомаятника в вертикальном положении.В параграфе 4.4 исследована проблема оценки запаса устойчивостисистемы с одним запаздыванием.
Запасом устойчивости экспоненциальноустойчивой системы (1) называется величина σ̄ = − max Re λj > 0, где λj ,jj = 1, 2, . . . — собственные числа системы. Рассмотрим систему (1) при m = 1и наряду с ней системуẏ(t) = (A0 + σE)y(t) + eσh A1 y(t − h),12(6)полученную из системы (1) заменой y(t) = eσt x(t) при некотором σ > 0. Любое значение σ, при котором система (6) экспоненциально устойчива, являетсяоценкой снизу запаса устойчивости системы (1).Идеология решения задачи об оценке запаса устойчивости заимствованаиз упомянутой на с.
8 работы В. Л. Харитонова и А. П. Жабко — функционал(2) дифференцируется вдоль решений системы (6):dv0 (yt )= −y T (t)W y(t) + l(yt ), гдеdtZ0hiT l(yt ) = 2 σy(t) + (eσh − 1)A1 y(t − h)U (0)y(t) + U (−θ − h)A1 y(t + θ)dθ ,−hздесь U (τ ) — матрица Ляпунова системы (1). Ключевую роль в решении задачииграет интегральная оценка функционала l(yt ) :Ztl(ys )ds 6 l0 + l1 + hl20Ztky(s)k2 ds +l1 + hl2Z0kϕ(s)k2 ds,где−h0l0 = M σ + (eσh − 1)kA1 k + σ 1 + kA1 kh , l1 = M kA1 k 1 + kA1 kh (eσh − 1),l2 = M kA1 k σ + (eσh − 1)kA1 k , M = max kU (τ )k.τ ∈[0,h]Эта оценка позволяет доказать следующую теорему.Теорема 5.
Пусть система (1) экспоненциально устойчива. Еслиl0 + l1 + hl2 < λmin (W ),(7)то система (6) экспоненциально устойчива, а система (1) имеет запасустойчивости σ̄ > σ.Замечание. Здесь и далее λmin (W ) — минимальное собственное число симметрической матрицы W.Теорема 5 дает возможность построить последовательность оценок запаса устойчивости, сходящуюся к точному значению запаса устойчивости системы (1). Для этого на каждом шаге нужно находить максимальное значение σ,удовлетворяющее неравенству (7), а затем выбирать систему (6) с этим значением σ в качестве исходной и повторять процедуру.Пятая глава диссертации посвящена анализу экспоненциальной устойчивости систем с двумя несоизмеримыми запаздываниямиẋ(t) = A0 x(t) + A1 x(t − 1) + A2 x(t − h),13t > 0.(8)Запаздывание h считается иррациональным; для определенности предполагается, что h > 1.
В этом случае попытка непосредственно применить результаты главы 4 сталкивается с проблемой вычисления матрицы Ляпунова. Чтобыобойти возникающую проблему, наряду с системой (8) рассматривается вспомогательная системаẏ(t) = A0 y(t) + A1 y(t − 1) + A2 y(t − ĥ),(9)где ĥ — рациональное запаздывание. Пусть U (τ ) и Uĥ (τ ) — матрицы Ляпуновасистем (8) и (9) соответственно, ассоциированные с W = W0 + W1 + hW2 , гдеW0 , W1 , W2 — симметрические положительно-определенные матрицы.
Функционал v0 , определяемый формулой (2) (при m = 2, h1 = 1, h2 = h), дляудобства обозначим через v0 (ϕ, U ).В параграфе 5.1 введена модификация функционала, которая основанана замене в нем матрицы Ляпунова U (τ ) матрицей Uĥ (τ ) : для анализа экспоненциальной устойчивости системы (8) используется функционалZ0v(ϕ, Uĥ ) = v0 (ϕ, Uĥ ) +(θ + 1) ϕT (θ)W1 ϕ(θ)dθ +−1Z0(θ + h) ϕT (θ)W2 ϕ(θ)dθ.−hПроизводная функционала v(ϕ, Uĥ ) вдоль решений системы (8) имеет видdv(xt , Uĥ ) = −xT (t)W0 x(t) −dtZ0xT (t + θ)W1 x(t + θ)dθ−−1Z0−hT iTx (t + θ)W2 x(t + θ)dθ + x (t) A2 ∆Uĥ (0) + ∆Uĥ (0) A2 x(t)+TT−h+2xT (t)AT2Z0∆Uĥ (θ + 1)A1 x(t + θ)dθ + 2xT (t)AT2−1Z0∆Uĥ (θ + h)A2 x(t + θ)dθ,−hздесь ∆Uĥ (τ ) = Uĥ (h−τ )−Uĥ (ĥ−τ ), τ ∈ [0, h]; доказательство этого утверждения вынесено в приложение В.
Считаются выполненными следующие основныепредположения:Предположение 1. Система (9) удовлетворяет условию Ляпунова.Предположение 2. Справедливы неравенства:ξ0 M < λmin (W0 ),ξ1 M 6 λmin (W1 ),14ξ2 M 6 λmin (W2 ),гдеM = max k∆Uĥ (τ )k, ξ0 = kA2 k 2+kA1 k+hkA2 k , ξ1 = kA1 kkA2 k, ξ2 = kA2 k2.τ ∈[0,h]Предположение 1 необходимо для существования функционала v(ϕ, Uĥ ), апредположение 2 гарантирует отрицательную определенность его производнойвдоль решений системы (8); оно накладывает ограничение на близость междузначениями ĥ и h.Наконец, в параграфе 5.2 сформулированы основные результаты пятойглавы — критерии экспоненциальной устойчивости и неустойчивости системы(8) с несоизмеримыми запаздываниями.
Эти критерии представляют собой аналоги теорем 1 и 2, в которых используется новый функционал.Теорема 6. Пусть выполнены предположения 1 и 2. Система (8) экспоненциально устойчива тогда и только тогда, когда существует µ > 0 такое,чтоv(ϕ, Uĥ ) > µkϕ(0)k2 ,ϕ ∈ S.Теорема 7. Пусть выполнены предположения 1 и 2. Система (8) неустойчива тогда и только тогда, когда существуют µ > 0 и функция ϕ ∈ S такие,чтоv(ϕ, Uĥ ) 6 −µkϕ(0)k2 .Теоремы 6 и 7 дают возможность применить методы главы 4 к анализуустойчивости системы (8). Для этого нужно вычислить только матрицу Ляпунова Uĥ (τ ), τ ∈ [−h, h], а также проверить предположения 1 и 2; матрицу Ляпунова системы с несоизмеримыми запаздываниями вычислять не требуется.Сходимость методов имеет тот же смысл, что и в главе 4, и означает стремлениеграниц областей экспоненциальной устойчивости в пространстве параметров,получаемых каждым из методов, к границам точных областей экспоненциальной устойчивости системы (8) при ĥ → h, N1 , N2 → +∞.ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИИ,ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУРабота посвящена анализу экспоненциальной устойчивости линейныхстационарных дифференциально-разностных систем запаздывающего типа.
Вней предлагается новый подход к анализу устойчивости, объединяющий метод функционалов Ляпунова – Красовского и метод Разумихина. На защитувыносятся следующие основные результаты:15• системный подход к анализу динамических систем, описываемых линейными стационарными дифференциально-разностными уравнениями;• конструктивные критерии экспоненциальной устойчивости и неустойчивости линейных стационарных систем с несколькими, быть может, несоизмеримыми запаздываниями, выраженные в терминах существования дляфункционалов Ляпунова – Красовского квадратичных оценок на множестве функций, удовлетворяющих аналогу условия Разумихина;• конструктивные методы анализа экспоненциальной устойчивости и неустойчивости систем рассматриваемого класса;• конструктивные алгоритмы оценки критических параметров линейных стационарных дифференциально-разностных систем с неопределенными параметрами.Тематика диссертации соответствует пунктам 4 и 5 паспорта специальности 05.13.01 — системный анализ, управление и обработка информации (поприкладной математике и процессам управления).ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИСтатьи в журналах и изданиях, рекомендованных ВАК РФ1.
Жабко А. П., Медведева И. В. Алгебраический подход к анализу устойчивости дифференциально-разностных систем // Вестник Санкт-Петербургского университета. Сер. 10: Прикладная математика, информатика,процессы управления. 2011. Вып. 1. С. 9–20.2. Medvedeva I. V., Zhabko A. P.
Constructive method of linear systems with delaystability analysis // 11th IFAC Workshop on Time-Delay Systems. Grenoble,France. 2013. P. 1–6.3. Medvedeva I. V., Zhabko A. P. Synthesis of Razumikhin and Lyapunov–Krasovskii approaches to stability analysis of time-delay systems // Automatica.2015.
Vol. 51. P. 372–377.Другие публикации4. Медведева И. В. Обращение прямого метода Ляпунова при анализе устойчивости систем с запаздыванием // Процессы управления и устойчивость:Труды 41-й международной научной конференции аспирантов и студентов / под ред. Н. В. Смирнова, Г. Ш. Тамасяна. СПб.: Издат. Дом С.-Петерб.гос. ун-та, 2010. С. 33–38.165. Медведева И. В. Модификация алгебраического метода исследования устойчивости дифференциально-разностных уравнений // Процессы управленияи устойчивость: Труды 42-й международной научной конференции аспирантов и студентов / под ред. А. С. Ерёмина, Н.
В. Смирнова. СПб.: Издат.Дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2011. С. 35–40.6. Медведева И. В. О сходимости одного метода анализа устойчивости системс запаздыванием // Процессы управления и устойчивость: Труды 43-й международной научной конференции аспирантов и студентов / под ред. А. С.Ерёмина, Н. В. Смирнова.
СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2012.С. 26–31.7. Жабко А. П., Медведева И. В. Конструктивный подход к анализу положительной определенности квадратичных функционалов Ляпунова – Красовского // Проблемы дифференциальных уравнений, анализа и алгебры:Материалы VII международной конференции. Актобе, 2012. С. 52–56.8. Медведева И. В. Анализ устойчивости линейного дифференциального уравнения с двумя несоизмеримыми запаздываниями // Процессы управленияи устойчивость.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
