Автореферат (1149185), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Общий объем составляет 150 страниц машинописного текста, работа содержит 10 рисунков и 3 таблицы.СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИВо введении обоснована актуальность темы исследования, представленобзор литературы, посвященной приложениям линейных систем с запаздыванием, а также вопросам, связанным с анализом устойчивости таких систем,отражено краткое содержание работы.Первая глава работы носит вспомогательный характер. В параграфе 1.1вводится объект исследования — линейная стационарная дифференциально6разностная система уравнений видаẋ(t) =mXAj x(t − hj ),(1)j=0здесь x ∈ Rn , Aj ∈ Rn×n , j = 0, 1, .
. . , m, — заданные постоянные матрицы,0 = h0 < h1 < . . . < hm = h — постоянные запаздывания, упорядоченныепо возрастанию. Начальный момент времени считается нулевым, начальнаяфункция ϕ — кусочно-непрерывной вектор-функцией, определенной на отрезке[−h, 0], что обозначается далее через ϕ ∈ P C [−h, 0], Rn . Состояние системыпредставляет собой сегмент ее решения xt : θ → x(t + θ), θ ∈ [−h, 0]. Ставитсязадача анализа экспоненциальной устойчивости системы (1).Характеристическим уравнением системы (1) называется уравнениеmX−λhjAj e= 0,det λE −j=0здесь E — единичная матрица; корни этого уравнения называются собственными числами системы. Известен критерий экспоненциальной устойчивости системы (1) — отрицательность вещественных частей всех ее собственных чисел.Говорят, что система (1) удовлетворяет условию Ляпунова, если она не имеетсобственного числа λ такого, что −λ также является ее собственным числом.Параграф 1.2 посвящен изложению метода функционалов Ляпунова –Красовского.
В нем вводятся функционалы с заданной производной, которыеиспользуются далее в диссертации. Известно1 , что функционал, по построениюудовлетворяющий соотношениюdv0 (xt )= −xT (t)W x(t),dtt > 0,вдоль решений системы (1), имеет вид0v0 (ϕ) = ϕT (0)U (0)ϕ(0) + 2ϕT (0)m ZXU (−θ − hj )Aj ϕ(θ)dθ +j=1 −hj+m XmXZ0ϕT (θ1 )ATkk=1 j=1 −hk1 Z0(2)U (θ1 + hk − θ2 − hj )Aj ϕ(θ2 )dθ2 dθ1 .−hjHuang W. Generalization of Liapunov’s theorem in a linear delay systems // Journal of Mathematical Analysisand Applications. 1989. Vol. 142. P. 83–94.7Здесь U (τ ) — матрица Ляпунова системы (1), ассоциированная с симметрической положительно-определенной матрицей W.
По определению матрица Ляпунова является решением системы уравнений0U (τ ) =mXU (τ − hj )Aj , τ > 0,j=0U (−τ ) = U T (τ ), τ > 0,m hiXTU (−hj )Aj + Aj U (hj ) = −W.j=0Условием существования функционала (2) для произвольной симметрической матрицы W является условие Ляпунова. В случае экспоненциальнойустойчивости системы (1) функционал (2) положительно определен, однакодля него не существует квадратичной оценки снизу вида v0 (ϕ) > µkϕ(0)k2 ,µ > 0.
Такую оценку допускает введенный позже2 функционал полного типа0v(ϕ) = v0 (ϕ) +m ZXϕT (θ) Wj + (hj + θ)Wm+j ϕ(θ)dθ.(3)j=1 −hjЗдесь симметрические матрицы W0 , . . . , W2m положительно определены, а матрица Ляпунова, определяющая функционал v0 , ассоциирована с матрицейmXW = W0 +Wj + hj Wm+j .j=1dv(xt )= −w(xt ), гдеdtmm Z0XXϕT (θ)Wm+j ϕ(θ)dθ.w(ϕ) = ϕT (0)W0 ϕ(0) +ϕT (−hj )Wj ϕ(−hj ) +Вдоль решений системы (1) выполняется соотношениеj=1j=1 −hjВ параграфе 1.3 описан метод Разумихина, в котором для анализа экспоненциальной устойчивости системы (1) используются положительно-определенные функции Ляпунова, имеющие отрицательно-определенную — на некотором специальном множестве функций — производную вдоль решений системы (1).Вторая глава содержит основные теоретические результаты диссертации.
В ней предложен новый подход к анализу экспоненциальной устойчиво2Kharitonov V. L., Zhabko A. P. Lyapunov–Krasovskii approach to the robust stability analysis of time-delaysystems // Automatica. 2003. Vol. 39. P. 15–20.8сти и неустойчивости системы (1), основанный на синтезе методов Ляпунова –Красовского и Разумихина. В параграфе 2.1 получены вспомогательные утверждения, касающиеся функционалов с заданной производной.Параграф 2.2 посвящен формулировке и доказательству нового критерияэкспоненциальной устойчивости системы (1), выраженного в терминах существования для функционала (2) квадратичной оценки снизу на множествеonn S = ϕ ∈ P C [−h, 0], R kϕ(θ)k 6 kϕ(0)k, θ ∈ [−h, 0] :Теорема 1.
Зададим положительно-определенную матрицу W. Система (1)экспоненциально устойчива тогда и только тогда, когда существует непрерывный в нуле функционал v0 (ϕ) (v0 (0h ) = 0), удовлетворяющий условиям:dv0 (xt )= −xT (t)W x(t) вдоль решений системы (1);1.dt2. существует µ > 0 такое, что v0 (ϕ) > µkϕ(0)k2 на функциях ϕ ∈ S.Замечание.
Здесь и далее 0h — нулевая функция: 0h (θ) = 0, θ ∈ [−h, 0].Таким образом, в случае экспоненциальной устойчивости системы (1)функционал v0 допускает квадратичную оценку снизу на множестве S, хотядля него не существует такой оценки на множестве всех кусочно-непрерывныхфункций. В параграфе 2.3 доказан критерий неустойчивости:Теорема 2. Зададим положительно-определенную матрицу W и предположим, что система (1) удовлетворяет условию Ляпунова. Система (1)неустойчива тогда и только тогда, когда существует непрерывный в нулефункционал v0 (ϕ) (v0 (0h ) = 0) такой, чтоdv0 (xt )1.= −xT (t)W x(t) вдоль решений системы (1);dt2. существует µ > 0 и нетривиальная функция ϕ ∈ S такие, чтоv0 (ϕ) 6 −µkϕ(0)k2 .В параграфе 2.4 показано, что теоремы 1 и 2 останутся верными, еслимножество S в них заменить множествомnokn (l)lSk = ϕ ∈ C ([−h, 0], R ) kϕ (θ)k 6 K kϕ(0)k, θ ∈ [−h, 0], l = 0, kпри любом натуральном k, здесь K =mPkAj k, ϕ(l) обозначает l-ю производнуюj=0функции ϕ.
Такая модификация множества S позволяет далее, в главах 3 и94, применить теоремы 1 и 2 на практике. В параграфе 2.5 доказаны аналогитеорем 1 и 2, в которых вместо функционала (2) используется функционалполного типа (3).Третья и четвертая главы работы посвящены изложению конструктивных методов анализа экспоненциальной устойчивости и неустойчивости системы (1), основанных на результатах главы 2.
Для того чтобы, при меньшейгромоздкости формул, идея метода была лучше проиллюстрирована, в третьейглаве отдельно исследовано скалярное уравнение с одним запаздыванием, а общий случай — система (1) — рассмотрен в четвертой главе. Остановимся сразуна результатах главы 4.В параграфе 4.1 приведено описание методов. Рассмотрим равномерноеразбиение каждого из отрезков [−hj , −hj−1 ] на Nj равных частей длины ∆jточками(j)θk = −hj−1 − k∆j ,∆j =hj − hj−1,Njk = 0, Nj ,j = 1, m,пусть N = N1 + . .
. + Nm — общее количество отрезков в разбиении отрезка [−h, 0]. Идея метода, предлагаемого в пункте 4.1.1, заключается в следующем. Рассматривается кусочно-линейное приближение произвольной векторфункции ϕ ∈ S2 , соответствующее разбиению отрезка [−h, 0]. С учетом формулы Тейлора, а также ограничения, накладываемого множеством S2 на вторуюпроизводную функции ϕ, оценивается погрешность такого приближения. Далее приближение подставляется в функционал (2). Получается представлениефункционала в виде суммы двух групп слагаемых. Первая из них — функционал, вычисленный на кусочно-линейной вектор-функции, а вторая содержитвсе слагаемые, зависящие от погрешности приближения.
Ко второй группе слагаемых применяется оценка погрешности, в результате чего для нее получаетсяоценка снизу вида −δl kϕ(0)k2 , где δl > 0 — постоянная величина. В пункте 4.1.2производятся те же действия, но рассматривается гладкое кусочно-кубическоеприближение произвольной функции ϕ ∈ S4 . Результатом в обоих случаях является оценка снизу функционала (2) следующей структуры:b+ϕbT Λi3 ϕ,bv0 (ϕ) > pT (Λi1 − δi E)p + 2pT Λi2 ϕϕ ∈ Sj .(4)Здесь индекс i принимает значение «l» (соответствует кусочно-линейному приближению) или «q» (соответствует кусочно-кубическому приближению); j = 210при i = l и j = 4 при i = q. Далее, p = ϕ(0), p ∈ Rn .
Вектор ϕb образован(j) (j)последовательным соединением векторов ϕbk = ϕ θk по всем точкам дробления промежутка [−h, 0], кроме нуля, если рассматривается кусочно-линейноеприближение. Если же рассматривается кусочно-кубическое приближение, ток вектору, полученному в первом случае, добавляется другой, образованный(j) (j)последовательным соединением векторов ϕbk+Nj +1 = ϕ0 θk по всем точкамдробления, включая нуль. В первом случае вектор ϕb имеет размерность nN,а во втором — размерность n(2N + 1). Наконец, Λi1 , Λi2 и Λi3 — матрицы соответствующих размерностей, элементы которых представляют собой суммыэлементов матричных интегралов видаZ0U (−s − hj + hk − r∆k ) f (s, ∆k )ds Aj−∆kпри различных индексах k, j, r и элементов аналогичных двойных интегралов.Здесь f (s, ∆k ) — полиномы переменной s, коэффициенты которых зависят от∆k .
Величины δl и δq получены в результате оценки группы слагаемых функционала, зависящих от погрешности приближения.Оценка (4) приводит к следующему конструктивному достаточному условию экспоненциальной устойчивости, доказанному в работе.Теорема 3. Если существуют такие значения N1 , . . . , Nm , чтоhiT iT iT imin p Λ1 p + 2p Λ2 ϕb+ϕb Λ3 ϕb − δi > 0,(i)(5)ϕ∈b SbN ...Nm1kpk=1то система (1) экспоненциально устойчива.
Здесь индекс i принимает значения «l» или «q»,on (j) (l)nNbb∈R ϕbk 6 1, k = 1, Nj , j = 1, m ,SN1 ...Nm = ϕn(q)n(2N +1) (j) bSN1 ...Nm = ϕb∈Rbk 6 1, k = 1, Nj , j = 1, m, ϕmo (j) Xϕbk+Nj +1 6kAl k, k = 0, Nj , j = 1, m .l=0Частный случай метода, применимый к системам с кратными запаздываниями (hj = jh, j = 1, m), описан в приложении A. В нем рассматриваетсяравномерное разбиение промежутка [−h, 0], включающее все запаздывания. В11приложении Б для полноты изложения приведен известный алгоритм вычисления матрицы Ляпунова, а также кратко описана программная реализацияалгоритма, проверяющего условие теоремы 3, в среде MATLAB.В пункте 4.1.3 методы пунктов 4.1.1 и 4.1.2 применяются к анализунеустойчивости. Построена аналогичная оценке (4) оценка функционала сверху, в результате доказано конструктивное достаточное условие неустойчивости:Теорема 4.
Если существуют такие значения N1 , . . . , Nm , чтоhiT iT iT imin p Λ1 p + 2p Λ2 ϕb+ϕb Λ3 ϕb + δi < 0,(i)ϕ∈b SbN ...Nm1kpk=1где индекс i принимает значения «l» или «q», то система (1) неустойчива.В пункте 4.1.4 методы пунктов 4.1.1 и 4.1.2 обобщаются на случай использования функционала полного типа.Параграф 4.2 посвящен вопросу сходимости методов, описанных в параграфе 4.1. В нестрогом смысле под сходимостью понимается стремление границ областей в пространстве параметров, в которых выполнено условие (5), кграницам точных областей экспоненциальной устойчивости при стремлении кбесконечности параметров N1 , .
. . , Nm . Сходимость строго сформулирована идоказана в терминах критических значений запаздывания, т. е. таких значений, при которых система теряет или приобретает свойство экспоненциальнойустойчивости или неустойчивости. Сходимость методов основана на том, чтовеличины δl и δq стремятся к нулю при N1 → +∞, . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
