Диссертация (1149186)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙУНИВЕРСИТЕТНа правах рукописиМедведева Ирина ВасильевнаКОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗАЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХСИСТЕМ ЗАПАЗДЫВАЮЩЕГО ТИПА05.13.01 — системный анализ, управление и обработка информации(по прикладной математике и процессам управления)Диссертация на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукНаучный руководитель:доктор физико-математических наук,профессор А. П. ЖабкоСанкт-Петербург20142ОглавлениеОбозначения и сокращения . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61 Устойчивость линейных систем с запаздыванием161.1 Общие сведения . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2 Метод функционалов Ляпунова – Красовского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.2.1Функционал v0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.2.2Матрица Ляпунова . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.2.3Функционал полного типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.3 Метод Разумихина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 Синтез подходов Ляпунова – Красовского и Разумихина352.1 Вспомогательные утверждения . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.2 Теоремы об экспоненциальной устойчивости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.3 Теоремы о неустойчивости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.4 Модификация множества S . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.5 Теоремы с функционалом полного типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493 Конструктивные методы анализа устойчивости. Скалярное уравнение с одним запаздыванием513.1 Кусочно-линейное приближение . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.2 Кусочно-кубическое приближение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.3 Анализ неустойчивости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . 7133.4 Применение функционала полного типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.4.1Кусочно-линейное приближение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.4.2Кусочно-кубическое приближение . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . 753.5 Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774 Конструктивные методы анализа устойчивости. Общий случай814.1 Описание методов . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.1.1Кусочно-линейное приближение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.1.2Кусочно-кубическое приближение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.1.3Анализ неустойчивости . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.1.4Применение функционала полного типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.2 Сходимость методов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.3 Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . 1064.4 Метод нахождения запаса устойчивости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135 Анализ устойчивости систем с несоизмеримыми запаздываниями1215.1 Модификация функционала . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . 1225.2 Модификация методов анализа устойчивости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130Литература . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131Приложение А. Формулы методов для систем с кратными запаздываниями . 141Приложение Б. Вычисление матрицы Ляпунова и программная реализацияалгоритмов в MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . 145Приложение В. Доказательство леммы 5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1484Обозначения и сокращенияN, Z, R, C — множества натуральных, целых, вещественных и комплексныхчисел соответственно;Nn , Zn , Rn , Cn — множества векторов размерности n с натуральными, целыми,вещественными и комплексными компонентами соответственно;Rn×n — множество матриц размерности n × n с вещественными компонентами;i — мнимая единица, i2 = −1;Re λ — вещественная часть комплексного числа λ;0k×l — нулевая матрица размерности k × l;E — единичная матрица;QT — матрица, транспонированная к матрице Q;det(Q) — определитель матрицы Q;λmin (Q) — наименьшее собственное число матрицы Q;snPnkxk — евклидова норма вектора x ∈ R , kxk =xi , где x = (x1 , .

. . , xn )T ;i=1kQk — индуцированная норма матрицы Q, kQk = max kQxk;kxk=1C [−h, 0], Rn — пространство непрерывных функций ϕ : [−h, 0] → Rn ;P C [−h, 0], Rn — пространство кусочно-непрерывных функций ϕ : [−h, 0] → Rn ;C k [−h, 0], Rn — пространство k раз непрерывно дифференцируемых функцийϕ : [−h, 0] → Rn ;kϕkh — равномерная норма, заданная в пространстве кусочно-непрерывныхфункций, kϕkh = sup kϕ(θ)k;θ∈[−h,0]50h — нулевая вектор-функция, 0h (θ) = 0n×1 , θ ∈ [−h, 0];xt — сегмент функции x(t), xt : θ → x(t + θ), θ ∈ [−h, 0];ϕ0 (θ), ϕ00 (θ), ϕ000 (θ), ϕIV (θ), ϕ(l) (θ) — первая, вторая, третья, четвертая и l-япроизводные функции ϕ(θ);ẋ(t), ẍ(t) — первая и вторая производные функции x(t);i = k, l — то же, что i = k, k + 1, . . . , l, здесь k, l ∈ Z, k 6 l;lP= 0, если l < k;i=k Q = qij i,j=1,k — матрица размерности k × k; L = Lij i,j=1,k — блочная матрица размерности nk × nk, состоящая из блоковLij размерности n × n;lim hN , lim hN — нижний и верхний пределы последовательности {hN };N →+∞N →+∞для векторов N = (N1 , .

. . , Nk )T и L = (L1 , . . . , Lk )T применяются обозначения:N → +∞ — то же, что Nj → +∞, j = 1, k;N > L — то же, что Nj > Lj , j = 1, k.6ВведениеСистемы с запаздыванием естественно возникают при построении математических моделей в технике, биологии, химии, медицине, экономике, экологиии других областях знания: для получения адекватной модели часто необходимоучитывать тот факт, что скорость процесса зависит не только от текущего, нои от прошлых состояний системы. Запаздыванием может быть время протекания химической реакции или время, необходимое для обработки информации,в частности, время вычислений.

Оно появляется всегда, когда различные частисистемы взаимодействуют между собой не мгновенно.В системах автоматического регулирования запаздывание неизбежно возникает в канале обратной связи. Иногда его намеренно вводят в управление сцелью стабилизировать систему или создать более простой с точки зрения конструирования регулятор. Так или иначе, появляется задача анализа устойчивостизамкнутой системы — системы с запаздыванием.Множество интересных моделей, описываемых уравнениями с запаздыванием, может быть найдено в монографиях [12, 62, 64, 68, 72, 79] и в обзоре [78].В них рассматриваются самые разные приложения — от задач синхронизациидвижений, дистанционного управления или управления перегрузками сетей передачи данных до задач описания функционирования дыхательной системы человека или динамики популяций раковых и антираковых клеток в организмебольного в период после трансплантации клеток.

Моделям в экономике посвящена монография [30]. Среди практических работ, в том числе связанных с решением задачи стабилизации и построением программных управлений, отметим[2, 3, 9, 13–16, 36, 37, 39, 41, 59, 73, 76, 80]. При этом во многих интересных приложениях адекватными моделями являются линейные системы с постоянными запаздываниями, либо системы, допускающие линеаризацию.Анализу устойчивости линейных стационарных дифференциально-разностных систем запаздывающего типа и посвящена настоящая работа. При этом под7устойчивостью понимается экспоненциальная устойчивость — убывание всех решений системы по экспоненциальному закону с возрастанием времени.Интенсивное развитие теории систем с запаздыванием началось в серединеXX века и продолжается до сих пор. Общим вопросам, связанным с такими системами, и, в частности, теории устойчивости посвящены классические монографииН.

Н. Красовского [18] (главы 6,7), Э. Пинни [29], А. Д. Мышкиса [27], P. Беллманаи К. Л. Кука [1], Л. Э. Эльсгольца и С. Б. Норкина [35], Дж. Хейла [33], В. И. Зубова [10,12]. Интересны также книги [8,48,62,64,68,72,79] — в них наряду с разработкой теоретических методов рассматривается широкий круг практических задач.Стоит отметить обзоры [34, 46, 54, 55, 77, 78]. Среди огромного количества статей,опубликованных за последние годы, назовем [42–44, 47, 50, 52, 63, 69, 70, 74, 75, 81].Еще А.

М. Ляпуновым в его докторской диссертации «Общая задача обустойчивости движения» [21], впервые изданной в 1892 году, были разработаныдва основных подхода к анализу устойчивости — применительно к системам обыкновенных дифференциальных уравнений. Эти подходы являются основными досих пор и известны как первый и второй (прямой) методы Ляпунова. Обобщенияэтих подходов применяются к анализу устойчивости систем с запаздыванием.Для линейных стационарных систем с запаздыванием первый метод Ляпунова основан на анализе расположения нулей специальной функции, называемой характеристическим квазиполиномом, на комплексной плоскости. Отрицательность вещественных частей всех ее нулей является необходимым и достаточным условием экспоненциальной устойчивости системы [1, 11].

Обзор методов,позволяющих проверить этот критерий на практике, представлен в монографиях [1, 48, 68, 72].Более подробно остановимся на втором методе Ляпунова. Для системы видаẋ = Ax, где x ∈ Rn , A — постоянная матрица, известен следующий критерий:система экспоненциально устойчива тогда и только тогда, когда существует функция Ляпунова — положительно-определенная квадратичная форма, производнаякоторой вдоль решений системы представляет собой отрицательно-определенную8квадратичную форму.

Существует ли аналог такого критерия для систем с запаздыванием?Практически одновременно, в 1956 году, появились работы Н. Н. Красовского [19] и Б. С. Разумихина [31], посвященные двум различным эффективнымобобщениям второго метода Ляпунова на системы с запаздыванием. В статье [19]в качестве аналога функций Ляпунова предложены функционалы, позже названные функционалами Ляпунова – Красовского. Их аргументом является состояние системы с запаздыванием — сегмент ее решения на отрезке, равном по длиненаибольшему запаздыванию.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов диссертации