Диссертация (1149186), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Совокупностьсобственных чисел системы образует ее спектр. Ясно, что если λ — собственноечисло системы (1.1), то существует ненулевой вектор C ∈ Cn такой, что функцияx(t) = eλt C является решением системы (1.1).Утверждение 1.2. [33] Система (1.1) экспоненциально устойчива тогда итолько тогда, когда вещественные части всех ее собственных чисел отрицательны. Если же имеется собственное число с положительной вещественнойчастью, то система (1.1) неустойчива.Такое же утверждение имело место для систем без запаздывания. Однакоесли для систем без запаздывания оно легко проверяемо — такая система имеетконечное число собственных чисел, способы нахождения которых хорошо известны, то для систем с запаздыванием нахождение собственных чисел представляетсобой значительно более сложную задачу: уравнение (1.2) имеет, вообще говоря,бесконечное число корней.
Мы не будем останавливаться на непосредственномприменении утверждения 1.2 к анализу устойчивости системы (1.1), посколькунашей основной целью является аналог второго метода Ляпунова для систем сзапаздыванием. Ему будут посвящены следующие два параграфа.20А в завершение этого параграфа приведем еще несколько фактов, связанных с собственными числами. Предположим, что система (1.1) экспоненциальноустойчива, и обозначим ее собственные числа через λj , j = 1, 2, . . .
. Известно,что для значения σ из определения 1.1 справедлива оценка0 < σ < ρ = − max Re λj > 0,jпричем для некоторых систем 0 < σ 6 ρ. Величину ρ называют запасом устойчивости системы (1.1). Отметим, что для величины γ из определения 1.1 подобноеявное представление через характеристики системы неизвестно.Определение 1.3. [56] Будем говорить, что система (1.1) удовлетворяет условиюЛяпунова, если она не имеет собственного числа λ такого, что −λ также являетсяее собственным числом.Ясно, что система, удовлетворяющая условию Ляпунова, не имеет собственных чисел, расположенных на мнимой оси комплексной плоскости.
В следующемпараграфе мы увидим, что условие Ляпунова играет важную роль в теории функционалов Ляпунова – Красовского.Наконец, отметим еще одно простое соображение, которым мы будем пользоваться в доказательствах утверждений главы 2. Пусть λ0 — собственное числосистемы (1.1). Тогда система имеет решение x(t) = eλ0 t C, где C ∈ Cn — ненулевойвектор, вообще говоря, комплексный. Если λ0 ∈ R, то C ∈ Rn .
Если же λ0 —комплексное собственное число, то, полагая λ0 = α + iβ, C = C1 + iC2 , гдеC1 , C2 ∈ Rn и по крайней мере один из них — ненулевой, получим, что векторфункцииψ1 (t) = eαt (cos βt C1 − sin βt C2 ),ψ2 (t) = eαt (sin βt C1 + cos βt C2 )являются вещественными решениями системы (1.1).211.2 Метод функционалов Ляпунова – КрасовскогоВ работе [19] Н. Н. Красовским было предложено естественное обобщениевторого метода Ляпунова на системы с запаздыванием. Он заметил, что, поскольку состоянием таких систем является уже не значение x(t) в текущий моментвремени, а сегмент траектории xt , аналогом функций Ляпунова для систем сзапаздыванием будут функционалы, зависящие от аргумента xt . Функционалы,используемые для анализа устойчивости, позже получили название функционалов Ляпунова – Красовского. Прежде чем перейти непосредственно к описаниюструктуры функционалов, введем несколько важных определений.Под функционалом будем понимать отображениеv : P C [−h, 0], Rn → R.Мы будем рассматривать только такие функционалы, для которых v(0h ) = 0.Здесь 0h — нулевая функция: 0h (θ) = 0n×1 , θ ∈ [−h, 0].Определение 1.4.
[17] Функционал v(ϕ) называется непрерывным в точке 0h(непрерывным в нуле), если для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что изусловия kϕkh < δ следует |v(ϕ)| < ε.Чтобы ввести понятие положительно-определенного функционала, вспомним, как это понятие вводилось для функций. Пусть скалярная функция v1 (x)определена и непрерывна на множестве kxk 6 H, где H > 0.
Говорят, чтофункция v1 (x) положительно определена, если v1 (0n×1 ) = 0 и v1 (x) > 0 при0 < kxk 6 H.Определение 1.5. [56] Пусть функционал v(ϕ) (v(0h ) = 0) определен на множестве кусочно-непрерывных функций ϕ таких, что kϕkh 6 H, где H > 0, инепрерывен в нуле. Будем говорить, что функционал v(ϕ) положительно определен, если существует положительно-определенная функция v1 (x) такая, чтоv(ϕ) > v1 (ϕ(0)),ϕ ∈ P C [−h, 0], Rn ,kϕkh 6 H.22Соответственно, будем называть функционал v(ϕ) отрицательно-определенным,если функционал g(ϕ) = −v(ϕ) положительно определен.В дальнейшем в определении 1.5 мы часто будем полагать v1 (x) = µkxk2 ,где µ > 0, причем пользоваться им будем для функционала, для которого всеостальные условия определения, очевидно, выполнены.
Таким образом, получение для функционала v квадратичной оценки видаv(ϕ) > µkϕ(0)k2 или v(ϕ) 6 −µkϕ(0)k2 ,где µ > 0, будет равносильно проверке его соответственно положительной илиотрицательной определенности.Перейдем к описанию метода функционалов Ляпунова – Красовского. Длялинейных систем этот метод основан на следующей классической теореме.Теорема 1.6 (Н. Н. Красовский, 1956, [18,19]; см. также [56]). Пусть задан функционал v(ϕ), удовлетворяющий условиям:1. существуют α1 > 0 и α2 > 0 такие, что функционал v(ϕ) допускаетквадратичные оценки снизу и сверху видаα1 kϕ(0)k2 6 v(ϕ) 6 α2 kϕk2h ,ϕ ∈ P C [−h, 0], Rn ;2. существует β > 0 такое, что для производной функционала v(ϕ) вдольрешений системы (1.1) справедливо неравенствоdv(xt )6 −βkx(t)k2 ,dtt > 0.Тогда система (1.1) экспоненциально устойчива.Замечание.
Из первого условия теоремы 1.6 следует, что v(0h ) = 0, функционалv(ϕ) непрерывен в нуле и положительно определен.Замечание. На самом деле, теорема 1.6 представляет собой упрощенный вариант теоремы Красовского, сформулированный в монографии [56] для линейных23систем. В более общей версии теоремы вместо выражений α1 kϕ(0)k2 , α2 kϕk2hи −βkx(t)k2 стоят соответственно v1 (ϕ(0)), v2 (ϕ) и −w1 (x(t)), где v1 , w1 —положительно-определенные функции, v2 — положительно-определенный функционал. В пункте 1.2.3 мы покажем, что наличие именно квадратичных оценокпозволяет эффективно использовать функционал v в приложениях.Теорема Красовского ставит вопрос о поиске функционала, который ей удовлетворяет.
В попытках найти такой функционал сформировалась теория функционалов с заданной производной, которая будет изложена в пунктах 1.2.1–1.2.3.Изложение основано на монографии [56], наиболее существенный вклад в развитие теории внесли статьи [20, 32, 40, 49, 51, 61]. Несмотря на последнее замечание,нашей целью будет поиск функционала, для которого теорема Красовского вернаименно с квадратичными оценками.1.2.1Функционал v0В основе подхода, изложенного в монографии [56], лежит классическая идеявторого метода Ляпунова для системы вида ẋ = Ax, где x ∈ Rn , A — постояннаяматрица: задать квадратичную форму w(x) = xT W x, а затем искать функциюЛяпунова v(x) = xT V x такую, что dv(x(t))/dt = −w(x(t)) вдоль решений рассматриваемой системы, здесь симметрические матрицы V и W положительноопределены.
Из этого условия сразу ясно, что матрица V должна быть решениемматричного уравнения ЛяпуноваAT V + V A = −W.Применительно к системе (1.1) такая идея реализуется следующим образом. Будем искать функционал, удовлетворяющий теореме Красовского, при этом начнем со второго условия теоремы.
Зададим отрицательно-определенный функционал −w(ϕ) такой, что w(ϕ) > βkϕ(0)k2 , где β > 0, и будем строить функционал24v(ϕ), удовлетворяющий соотношениюdv(xt )= −w(xt ),dtt > 0,(1.3)вдоль решений системы (1.1). В отличие от случая без запаздывания, такая постановка задачи порождает существенные трудности. Естественно предположить,что для линейной системы функционалы w(ϕ) и v(ϕ) должны быть квадратичными, но какова их структура? И какова процедура построения функционала v(ϕ)по заданному функционалу w(ϕ)? Кроме того, функционал v(ϕ) по построениюудовлетворяет второму условию теоремы Красовского, однако требует серьезнойпроверки тот факт, выполнено ли для него первое условие теоремы 1.6.В первых работах, посвященных построению функционалов с заданной производной, — в работах Н.
Н. Красовского [20], Ю. М. Репина [32], R. Datko [40],E. F. Infante и W. B. Castellan [51] — рассматривался функционал w(ϕ) довольнообщей структуры. В статье W. Huang [49], в виде четкой аналогии со случаем беззапаздывания, функционал w(ϕ) выбирается в виде отрицательно-определеннойквадратичной формы вектора ϕ(0).Итак, следуя работе [49], зададим положительно-определенную матрицу Wи будем искать функционал v0 (ϕ), удовлетворяющий соотношениюdv0 (xt )= −xT (t)W x(t),dtt > 0,(1.4)вдоль решений системы (1.1). В статье [49] показано, что, если выполнено условиеЛяпунова, такой функционал существует и имеет вид0v0 (ϕ) = ϕT (0)U (0)ϕ(0) + 2ϕT (0)m ZXU (−θ − hj )Aj ϕ(θ)dθ +j=1 −hj+m XmXZ0k=1 j=1 −hkϕT (θ1 )ATk Z0(1.5)U (θ1 + hk − θ2 − hj )Aj ϕ(θ2 )dθ2 dθ1 .−hjФункционал (1.5) определяется специальной функциональной матрицей U (τ ), которая называется матрицей Ляпунова. Говорят, что U (τ ) ассоциирована с мат-25рицей W из соотношения (1.4).
Матрица Ляпунова играет ключевую роль в построении функционала. Определению этой матрицы и изучению вопросов ее существования и единственности посвящен пункт 1.2.2.Отметим, что в случае экспоненциальной устойчивости системы (1.1) функционал (1.5) удовлетворяет соотношениюZ+∞v0 (ϕ) =xT (t, ϕ)W x(t, ϕ)dt.(1.6)0Действительно, проинтегрируем равенство (1.4) на промежутке [0, H], где H > 0 :ZHv0 (xH (ϕ)) − v0 (ϕ) = −xT (t, ϕ)W x(t, ϕ)dt.0Переходя теперь к пределу при H → +∞ и учитывая тот факт, что решениеэкспоненциально устойчивой системы убывает по экспоненциальному закону, аv0 (0h ) = 0, получим равенство (1.6).Итак, функционал v0 по построению удовлетворяет второму условию теоремы Красовского.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
