Диссертация (1149186), страница 23
Текст из файла (страница 23)
На вход программе подаются массив, состоящий из (m + 1) матрицы размерности n × n, базовое запаздывание hи параметр метода N. Программа выполняет следующие действия:1. Вычисляются матрицы L, G и вектор G0 из алгоритма вычисления матрицы Ляпунова, а также матрица U (0). Если U (0) не является положительноопределенной, программа заканчивает работу, система не может быть экспоненциально устойчивой (см. утверждение 4.3);2. Вычисляются матрицы Ljr , Mjr , Pkjr1 r2 , Qkjr1 r2 , Rkjr1 r2 , k, j = 1, m,r, r1 , r2 = 1, mN , и величина δl (см. с. 142), при этом интегралы считаются встроенными функциями системы MATLAB, а матрица Ляпунова U (τ ) — в тех точкахτ ∈ [0, mh], в которых это необходимо для вычисления соответствующего интеграла.
Обратим внимание на аргумент матрицы Ляпунова: при фиксированных kи j для нахождения, например, матриц Pkjr1 r2 достаточно вычислить интегралысо следующими матрицами:U (s1 − s2 + r∆),r = −(mN − 1), (mN − 1),т. е. нужно вычислить 2mN − 1, а не (mN )2 интегралов. В общем случае, например, когда запаздывания несоизмеримы, аргумент матрицы Ляпунова не поддается такому упрощению (см. с. 85);3. Согласно формуле для Λl (p, ϕ),b формируются матрицы Λl1 , Λl2 и Λl3 .
Проверяются второе и третье необходимые условия утверждения 4.3;4. Встроенными средствами MATLAB решается задача квадратичной минимизации (4.6) (в ней индекс «lin» заменяется на «l»). Если минимум (4.6) положителен, то система экспоненциально устойчива. Если нет, то при данном значенииN нельзя сделать вывод об экспоненциальной устойчивости системы.148Приложение В. Доказательство леммы 5.2Процесс дифференцирования функционала v(ϕ, Uĥ ) дословно повторяет тотже процесс, описанный для функционалов (1.5) и (1.9) в монографии [56], и приводится здесь для полноты изложения.
Отличие в доказательстве возникает в тотмомент, когда применяются свойства матрицы Ляпунова (1.7). Итак, продифференцируем вдоль решений системы (5.1) последовательно каждое из слагаемыхфункционала v(ϕ, Uĥ ). Для первого слагаемого I0 (t) = xT (t)Uĥ (0)x(t) имеемdI0 (t)= 2xT (t)Uĥ (0) A0 x(t) + A1 x(t − 1) + A2 x(t − h) .dtДля следующих двух слагаемыхIj (t) = 2xT (t)Z0Uĥ (−θ − hj )Aj x(t + θ)dθ = 2xT (t)−hjZtUĥ (−hj − s + t)Aj x(s)ds,t−hjj = 1, 2, здесь h1 = 1, h2 = h, получимTdIj (t)= 2 A0 x(t) + A1 x(t − 1) + A2 x(t − h)dtZtUĥ (−hj − s + t)Aj x(s)ds+t−hjZt∂+ 2xT (t) Uĥ (−hj )Aj x(t) − Uĥ (0)Aj x(t − hj ) +U (−hj − s + t)Aj x(s)ds .∂t ĥt−hjДалее, слагаемые, представляющие собой двойные интегралы, запишем в виде!Z0Z0xT (t + θ1 )ATkIkj (t) =Uĥ (θ1 + hk − θ2 − hj )Aj x(t + θ2 )dθ2 dθ1 =−hkZt=t−hk−hjxT (s1 )ATkZt!Uĥ (s1 + hk − s2 − hj )Aj x(s2 )ds2 ds1 ,t−hjДля производной каждого из них справедливо выражениеdIkj (t)= xT (t)ATkdtZtUĥ (−s − hj + t + hk )Aj x(s)ds −t−hjk, j = 1, 2.149− xT (t − hk )ATkZtUĥ (−s − hj + t)Aj x(s)ds +t−hj+ xT (t)ATjZtUĥ (−s − hk + t + hj )Ak x(s)ds −t−hk− xT (t − hj )ATjZtUĥ (−s − hk + t)Ak x(s)ds,k, j = 1, 2.t−hkНаконец, для последних двух слагаемыхZ0Lj (t) =(θ + hj ) xT (t + θ)Wj x(t + θ)dθ =−hjZt(s − t + hj )xT (s)Wj x(s)dst−hjимеемdLj (t)= hj xT (t)Wj x(t) −dtZtxT (s)Wj x(s)ds,j = 1, 2.t−hjИскомая производная представляет собой сумму X2 X22 dIkj (t)ddI0 (t) X dIj (t) dLj (t)+v(xt , Uĥ ) =++.dtdtdtdtdtj=1j=1k=1Запишем ее в виде S1 (t) + S2 (t), где сумма S1 (t) включает все слагаемые полученных производных, не содержащие интегралов, а сумма S2 (t) включает всеостальные — содержащие интегралы — слагаемые.
Для первой суммы, с учетомсвойства симметрии матрицы Ляпунова, получим следующее выражение:hiTS1 (t) = x (t) 2Uĥ (0)A0 + 2Uĥ (−1)A1 + 2Uĥ (−h)A2 + W1 + hW2 x(t) =hT= x (t) Uĥ (0)A0 + AT0 Uĥ (0) + Uĥ (−1)A1 + AT1 Uĥ (1)+iT+ Uĥ (−h)A2 + A2 Uĥ (h) + W1 + hW2 x(t).Вспомним алгебраическое свойство матрицы Ляпунова — для матрицы Uĥ (τ ) оноимеет вид (см.
свойства (1.7) в определении 1.8)Uĥ (0)A0 +AT0 Uĥ (0)+Uĥ (−1)A1 +AT1 Uĥ (1)+Uĥ (−ĥ)A2 +AT2 Uĥ (ĥ) = −W0 −W1 −hW2 .150Теперь ясно, чтоhiTS1 (t) = x (t) −W0 + Uĥ (−h) − Uĥ (−ĥ) A2 + A2 Uĥ (h) − Uĥ (ĥ) x(t).TПерейдем к преобразованию суммы S2 (t).
После сокращения некоторых слагаемых она примет вид2 Zt hXS2 (t) = 2xT (t)AT0 Uĥ (−hj − s + t) + AT1 Uĥ (−hj − s + t + 1) + AT2 ×j=1 t−hj2 ZtiX∂× Uĥ (−hj − s + t + h) + Uĥ (−hj − s + t) Aj x(s)ds −xT (s)Wj x(s)ds.∂tj=1t−hjРассмотрим отдельно первую сумму в выражении для S2 (t). Применяя к нейсвойство симметрии матрицы Ляпунова, получим, что она равнаT2 Zt XdU(τ)2xT (t)Aj x(s)ds.Uĥ (τ )A0 + Uĥ (τ − 1)A1 + Uĥ (τ − h)A2 − ĥdττ =hj +s−tj=1t−hjПользуясь теперь динамическим свойством матрицы Uĥ (τ ), которое имеет видdUĥ (τ )= Uĥ (τ )A0 + Uĥ (τ − 1)A1 + Uĥ (τ − ĥ)A2 ,dτи возвращаясь к переменной θ под знаком интеграла, заключим, чтоTS2 (t) = 2x(t)AT22 Z0 hXiTUĥ (hj + θ − h) − Uĥ (hj + θ − ĥ) Aj x(t + θ)dθ−j=1 −hj−2XZ0xT (t + θ)Wj x(t + θ)dθ.j=1 −hjОстается сложить выражения для S1 (t) и S2 (t) и еще раз воспользоваться свойством симметрии, откуда получим утверждение леммы.
Заметим, что при ĥ = h(другими словами, для функционала v(ϕ, U )) имеем S1 (t) + S2 (t) = −w(xt ), каки должно быть. Лемма 5.2 доказана..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
