Диссертация (1149186), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

Пусть система (4.17) экспоненциально устойчива. Еслиl0 (σ) + l1 (σ) + hl2 (σ) < λmin (W ),(4.20)то система (4.18) экспоненциально устойчива, а система (4.17) имеет запасустойчивости σ̄ > σ.Д о к а з а т е л ь с т в о. Зафиксируем σ, удовлетворяющее неравенству (4.20),и предположим, что система (4.18) не является экспоненциально устойчивой. Это +∞значит, что существует последовательность tk k=1 , tk −−−−→ +∞, такая, чтоk→+∞ky(tk )k > β > 0 для любого k, где y(t) – решение системы (4.18), β = const.Пусть t1 > h, tk+1 − tk > h для любого k.Предположим сначала, что решение y(t) равномерно ограничено по t, т.

е.существует G > 0 такое, что ky(t)k 6 G, t > 0. Следовательно, kẏ(t)k 6 KG,t > h, где K = kA0 + σEk + eσh kA1 k.Покажем, что может быть найдена величина τ > 0 такая, что117βпри t ∈ [tk , tk + τ ] для любого k;2• промежутки [tk , tk + τ ] не пересекаются между собой при различных k.• ky(t)k >Действительно, пусть t ∈ [tk , tk + τ ], тогдаky(t) − y(tk )k 6 KG(t − tk ) 6 KGτ,а следовательно, ky(t)k > ky(tk )k − KGτ > β − KGτ. Ясно, что для выполнениятребуемых условий достаточно положитьn βoτ = min;h .2KGУтверждение леммы 4.17 означает, чтоv0 (ϕ) = v0 (yt ) +Zt hiy (s)W y(s) − l(ys ) ds,T0откуда, согласно следствию 4.19,v0 (ϕ) > v0 (yt ) + λmin (W ) − l0 + l1 + hl2Ztky(s)k2 ds − l1 + hl2Z0kϕ(s)k2 ds.−h0(4.21)В правой части неравенства (4.21) первое слагаемое — функционал (1.5) — ограничено в силу предположения о равномерной ограниченности решения, третьеслагаемое также ограничено, а для интеграла из второго слагаемого справедливаоценкаZt0ky(s)k2 ds >N (t) tZk +τXky(s)k2 ds >k=1 tkβ 2τN (t) −−−−→ +∞.t→+∞4Здесь N (t) – количество промежутков [tk , tk + τ ], вошедших в промежуток [0, t];N (t) −−−−→ +∞.

Неравенство справедливо, поскольку промежутки [tk , tk + τ ]t→+∞не пересекаются между собой по выбору τ. C учетом условия (4.20) получаемпротиворечие в неравенстве (4.21).Пусть теперь решение y(t) не является равномерно ограниченным. В этом +∞случае последовательность tk k=1 может быть выбрана таким образом, чтоky(tk )k = max ky(t)k −−−−→ +∞,t6tkk→+∞118a это значит, что ytk ∈ S для любого k (определение множества S см. на с. 35).Поскольку система (4.17) экспоненциально устойчива, можем применить теорему 2.3: существует µ > 0 такое, что v0 (ϕ) > µkϕ(0)k2 , ϕ ∈ S.

Следовательно,v0 (ytk ) > µky(tk )k2 для любого k, а значит, v0 (ytk ) −−−−→ +∞.k→+∞Рассмотрим неравенство (4.21) на функциях ytk . В этом случае второе слагаемое в его правой части неотрицательно, третье – ограничено, поэтому сноваполучаем противоречие: v0 (ϕ) −−−−→ +∞. Теорема доказана.k→+∞Замечание. Если использовать для решения задачи функционал полного типа(1.9), то в построении интегральной оценки (4.19) нет необходимости. Действительно, вместо неравенства (4.21) для функционала полного типа запишемv(ϕ) > v(yt ) + λmin (W0 ) − l0Ztky(s)k2 ds + λmin (W1 ) − l10+ λmin (W2 ) − l2Ztky(s − h)k2 ds+0ZtZ0ky(s + θ)k2 dθds.0 −hТогда, в предположении о том, что σ удовлетворяет условиямl0 (σ) < λmin (W0 ),l1 (σ) 6 λmin (W1 ),l2 (σ) 6 λmin (W2 ),(4.22)доказательство теоремы 4.20 останется верным.

Этот результат полностью согласуется с полученным в задаче анализа робастной устойчивости в книге [56].Интерес подхода, изложенного в этом параграфе, заключается в том, что он позволяет применить функционал v0 , ранее считавшийся непригодным для решенияподобных задач.Построим последовательность оценок запаса устойчивости, сходящуюся кточному запасу устойчивости. Для этого запишем неравенство (4.20) в виде2M (1 + kA1 kh) σ + (eσh − 1)kA1 k < λmin (W ).(4.23)Зададим положительно-определенную матрицу W и предположим, что найдено максимальное значение σ1 , удовлетворяющее условию (4.23). Согласно теореме 4.20, система (4.18) экспоненциально устойчива при σ = σ1 , и σ1 является119оценкой снизу для запаса устойчивости системы (4.17).

Рассмотрим теперь систему (4.18) при σ = σ1 в качестве исходной, найдем максимальное значение σ2 ,при котором неравенство (4.23), построенное по новой системе, останется справедливым и т. д. Запас устойчивости σ̄ может быть найден как предел последова тельности σk , построенной таким образом. Для строгой формулировки этогоутверждения введем функциюF (δ, σ) = 2Mδ (1 + heδh kA1 k)(σ + (eσh − 1)eδh kA1 k),Mδ = max kUδ (τ )k.τ ∈[0,h]Функция F (δ, σ) представляет собой левую часть условия (4.23), в котором вкачестве исходной системы выступает система (4.18) при σ = δ, предполагаемаяэкспоненциально устойчивой, здесь Uδ (τ ) – матрица Ляпунова такой системы.Второй аргумент функции F (δ, σ) считается неотрицательным, изменяющимсяот нуля, причем F (δ, 0) = 0 для любого δ.Отметим, что F (δ, σ) непрерывна по первому аргументу при δ < σ̄ и по второму аргументу при любых его значениях.

Если F (δ, σ̃) < λmin (W ), то, согласнотеореме 4.20, система (4.18) экспоненциально устойчива при σ = δ + σ̃.Положим σ0 = 0 и рассмотрим последовательность чисел σk = σk−1 + sup σ σ > 0, F (σk−1 , σ) < λmin (W ) − εk .(4.24)Пусть εk −−−−→ 0, причем числа εk выбраны таким образом, чтобы последоваk→+∞ тельность σk была монотонна, εk > 0 для всех k, для которых супремум вравенстве (4.24) положителен, и εk = 0 для остальных k. Тогда, согласно теореме 4.20, система (4.18) экспоненциально устойчива при σ = σk для любого k.

Теорема 4.21. Последовательность σk сходится, причемlim σk = σ̄.k→+∞ Д о к а з а т е л ь с т в о. Последовательность σk монотонна по построению,и σk < σ̄ для любого k. Поэтому существует lim σk 6 σ̄. Пусть lim σk = σ̃ < σ̄.k→+∞k→+∞Это значит, что система (4.18) экспоненциально устойчива при σ = σ̃.120По определению чисел σk для любого k имеемσk + εk = sup{σ : F (σk−1 , σ − σk−1 ) < λmin (W )},поэтому для любых δk > 0F (σk−1 , σk − σk−1 + εk + δk ) > λmin (W ).Пусть δk = 1/k −−−−→ 0, тогда, в силу непрерывности функции F при рассматk→+∞риваемых значениях аргументов, при k → +∞ получим F (σ̃, 0) > λmin (W ), чтопротиворечит определению функции F и экспоненциальной устойчивости системы (4.18) при σ = σ̃. Теорема доказана.Пример 4.22.

Для иллюстрации утверждения теоремы 4.21 рассмотрим систему1 −1−3 1 x(t − 1). x(t) + ẋ(t) = 0 −1−2 0Ее характеристический квазиполином имеет видG(λ) = g1 (λ)g2 (λ),где g1 (λ) = λ + 1 + e−λ ,g2 (λ) = λ + 2 − e−λ .Запас устойчивости системы равен σ̄ = min σ̄1 , σ̄2 ≈ 0, 443, где σ̄1 ≈ 0, 605 иσ̄2 ≈ 0, 443 — запасы устойчивости уравнений, имеющих характеристические квазиполиномы g1 (λ) и g2 (λ) соответственно. Запас устойчивости задан с точностьюдо 0, 001. Будем считать, что W — единичная матрица.Для выполнения условия |σk −σ̄| 6 0, 001 понадобилось построить 28 членов последовательности σk : σ28 ≈ 0, 4426. Отметим, что на практике вычисляютсяоценки снизу величин σk , задаваемых формулой (4.24).

Проверка условий (4.22)вместо условия (4.20) позволяет получить тот же результат построением 29-тичленов последовательности. Таким образом, в этом примере скорость сходимости последовательности σk , построенной с использованием функционала полноготипа, не выше, чем скорость сходимости последовательности, построенной с использованием функционала v0 , чего можно было ожидать, сравнив условия (4.20)и (4.22).121Глава 5Анализ устойчивости систем снесоизмеримыми запаздываниямиВ том случае, когда хотя бы два запаздывания в системе (1.1) несоизмеримы, т.

е. их отношение не является рациональным числом, методы, описанныев предыдущей главе, оказываются неприменимыми: как уже было отмечено, эффективных способов вычисления матрицы Ляпунова в этом случае не существует.В настоящей главе будет построена модификация алгоритмов главы 4, позволяющая обойти возникающую проблему. Идея этой модификации состоит в том,чтобы заменить матрицу Ляпунова в используемом функционале соответствующей матрицей, построенной по некоторой «близкой» системе с соизмеримымизапаздываниями. При этом «близость» между системами с соизмеримыми и снесоизмеримыми запаздываниями определяется тем, является ли отрицательноопределенной производная нового функционала вдоль решений исходной системы.

Доказано, что, если в теоремах главы 2 использовать модифицированныйтаким образом функционал, то эти теоремы останутся верными. А значит, и методы, описанные в главе 4, могут быть применены к анализу устойчивости системс несоизмеримыми запаздываниями; при этом не требуется вычислять матрицыЛяпунова таких систем. Отметим, что предлагаемая модификация может бытьполезной и в том случае, когда запаздывания в системе соизмеримы, но размерность вспомогательной системы обыкновенных дифференциальных уравнений,возникающей при вычислении матрицы Ляпунова, велика (см. приложение Б).В этой главе будем рассматривать систему (1.1) с двумя запаздываниямиẋ(t) = A0 x(t) + A1 x(t − 1) + A2 x(t − h),t > 0,(5.1)122причем запаздывание h будем считать иррациональным. Ясно, что любая система с двумя несоизмеримыми запаздываниями может быть сведена к системе(5.1) простейшей заменой переменных.

Идея может быть обобщена и на бо́льшееколичество запаздываний. Для определенности предположим, что h > 1.Основные результаты этой главы опубликованы в работах [7, 22].5.1Модификация функционалаНаряду с системой (5.1) рассмотрим вспомогательную систему, правая частькоторой отличается от правой части системы (5.1) только последним слагаемым:ẏ(t) = A0 y(t) + A1 y(t − 1) + A2 y(t − ĥ),t > 0.(5.2)Здесь ĥ — некоторое рациональное запаздывание. Обозначим через U (τ ) и Uĥ (τ )матрицы Ляпунова систем (5.1) и (5.2) соответственно.

Характеристики

Список файлов диссертации