Диссертация (1149186), страница 15
Текст из файла (страница 15)
пункт 1.2.3). Для величин Θlin (p, ϕ)b и ζlin , полученныхв результате оценки последней — четвертой — группы слагаемых функционала(1.9) с использованием кусочно-линейного приближения, справедливы формулы:j XNl m XX(l)(l)(l)(l)T1T2Θlin (p, ϕ)b =ϕ θNl −r Tjlr ϕ θNl −r + 2ϕ θNl −r Tjlr ϕ θNl −r+1 +j=1 l=1 r=1(l)(l)3+ϕT θNl −r+1 Tjlrϕ θNl −r+1Z01Tjlr=3Tjlr−∆lZ0=−∆ls 2ds,Φjlr (s) 1 +∆l2Tjlr=−,Z0гдеssds,Φjlr (s) 1 +∆l ∆l−∆ls2Φjlr (s) 2 ds,∆lΦjlr (s) = Wj + (hj − hl + r∆l + s)Wm+j ,здесь матрица Φjlr (s) положительно определена для любого s ∈ [−∆l , 0] и длялюбого набора индексов j, l, r; далее,ζlin√j XNl Z0m X 2√ XnCΦjlr (s)(s − s∆l ) 1 += 2C n(s2 − s∆l ) ds.2r=1j=1l=1−∆lЧтобы записать выражение для Θq (p, ϕ),b введем матрицыi1 i2Sjlr=Z0Φjlr (s)gi1 l (s)gi2 l (s)ds,i1 = 1, 4,i2 = i1 , 4.−∆lФормулы, определяющие функции gil (s) и функции fl (s), которые будут использоваться ниже, приведены на с.
91. Тогдаj XNl m XX(l)(l)(l)(l)T11T12Θq (p, ϕ)b =ϕ θNl −r Sjlr ϕ θNl −r + 2ϕ θNl −r Sjlr ϕ θNl −r+1 +j=1 l=1 r=1+ 2ϕT(l)θNl −r(l)(l)(l)13 0T14 0Sjlr ϕ θNl −r + 2ϕ θNl −r Sjlr ϕ θNl −r+1 +96(l)+ϕ+ 2ϕθNl −r + h iT(l)(l)(l)(l)024 033 0TSjlr ϕ θNl −r ++ 2ϕ θNl −r+1 Sjlr ϕ θNl −r+1 + ϕ θNl −rh iT h iT(l)(l)(l)(l)034 0044 0+ 2 ϕ θNl −rSjlr ϕ θNl −r+1 + ϕ θNl −r+1Sjlr ϕ θNl −r+1 .T(l)θNl −r+122Sjlrϕ(l)θNl −r+1T(l)θNl −r+123 0SjlrϕНаконец,j XNl Z0m X s2 Ce √n√ Xe nΦjlr (s)fl (s) 1 + K − − s +ζq = 2Cfl (s) ds.∆2lr=1j=1l=1−∆lНапомним выражения для констант, участвующих в последних представлениях:mPK2 e K4, C=.K=kAl k, C =224l=0Теорема 4.6. Если существуют такие значения N1 , . . .
, Nm , чтоmin(i)ϕ∈b SbN ...Nm1kpk=1hiΛi (p, ϕ)b + Θi (p, ϕ)b − δi + ζi > 0,где индекс i принимает значения «lin» или «q», то система (1.1) экспоненциально устойчива.4.2Сходимость методовВ параграфе 4.1 получено семейство достаточных условий экспоненциальной устойчивости и неустойчивости системы (1.1) — теоремы 4.1, 4.4, 4.5 и 4.6. Всеони предполагают наличие набора параметров N1 , . . .
, Nm , при которых некоторый минимум положителен или отрицателен. Для того чтобы эффективно применять методы на практике, хотелось бы иметь гарантию того, что такой наборпараметров существует, и, быть может, способ оценить значения N1 , . . . , Nm , прикоторых теоремы 4.1, 4.4–4.6 заведомо выполнены. Итак, существует ли такойнабор параметров?Оказывается, что для любой экспоненциально устойчивой системы найдется набор значений N1 , . . . , Nm , при которых ее экспоненциальная устойчивость97может быть гарантирована нашими методами.
Это свойство основано на том, чтотеоремы главы 2 представляют собой необходимые и достаточные условия экспоненциальной устойчивости и неустойчивости, и называется свойством сходимостиметодов по параметрам N1 , . . . , Nm . В частности, оно означает, что границы областей экспоненциальной устойчивости и неустойчивости, получаемых методами, —речь идет об областях устойчивости в пространстве параметров — стремятся свозрастанием N1 , .
. . , Nm к границам точных областей. В параграфе 3.5 это свойство уже было проиллюстрировано на примере скалярного уравнения с однимзапаздыванием. В этом параграфе мы строго сформулируем и докажем сходимость — в терминах критических запаздываний системы.Рассмотрим систему (1.1). В этом параграфе будем считать, чтоhj = αj h,j = 1, m,где αj — фиксированные вещественные числа, 0 = α0 < α1 < . .
. < αm , h > 0 —базовое запаздывание. Такое переобозначение запаздываний не умаляет общности. Наибольшее запаздывание по-прежнему будем обозначать через h = αm h.Предположим, что матрицы системы Aj , j = 0, m, и числа αj , j = 1, m,заданы, а базовое запаздывание h будем считать параметром. При непрерывном изменении h от нуля до бесконечности система (1.1) может менять свойствоэкспоненциальной устойчивости на свойство неустойчивости, вообще говоря, бесконечное число раз. Те значения h, при которых система теряет или приобретает свойство экспоненциальной устойчивости или неустойчивости, называют критическими значениями базового запаздывания. Другими словами, запаздываниеh̄ — критическое, если существует ε > 0 такое, что система экспоненциальноустойчива или неустойчива при h ∈ [h̄ − ε, h̄) и не обладает этим свойством приh = h̄.Введем новые обозначения.
Пусть N = (N1 , . . . , Nm )T — вектор параметровметода. Для краткости договоримся о следующем: запись N → +∞ означает,что Nj → +∞, j = 1, m, а запись N > L означает, что Nj > Lj , j = 1, m, где98L = (L1 , . . . , Lm )T . Рассмотрим функцииhiT iT iT iz0 (h, N) = min p Λ1 p + 2p Λ2 ϕb+ϕb Λ3 ϕb = min Λi (p, ϕ),b(i)(i)ϕ∈b SbNkpk=1ϕ∈b SbNkpk=1z(h, N) = z0 (h, N) − δ(h, N),здесь δ(h, N) = δi ,индекс i может принимать значения «lin» или «q».
Функции z, z0 и δ имеютсмысл при значениях аргументов h > 0 и N ∈ Nm . Эти функции определеныи непрерывны по h, если выполнено условие Ляпунова, — в этом случае существует и единственна, а также непрерывна по h матрица Ляпунова, от которойони зависят. Параметры h и N здесь удобно использовать в качестве аргументовфункций, поскольку далее значения этих параметров будут меняться.В таких обозначениях теоремы 4.1 и 4.4 переформулируются следующимобразом: если при фиксированном значении h найдется вектор N такой, чтоz(h, N) > 0,то система (1.1) с базовым запаздыванием h экспоненциально устойчива. Сходимость методов основана на том, что справедливо также обратное утверждение,ключевым элементом в доказательстве которого является следующая лемма.Лемма 4.7. Если система (1.1) удовлетворяет условию Ляпунова, тоδ(h, N) −−−−→ 0.N→+∞Д о к а з а т е л ь с т в о.
Доказательство леммы проведем для δ(h, N) = δlin .Оценим последовательно каждую из трех групп слагаемых, входящих в выражение для δlin (см. с. 86), при этом учтем, чтоZ055(s − s∆l ) ds = ∆3l =662−∆lhl − hl−1Nl35h3 (αl − αl−1 )3=,6Nl3l = 1, m.Обозначим M = max kU (τ )k, максимум M существует и конечен, посколькуτ ∈[0,h]выполнено условие Ляпунова. Для первой группы слагаемых в выражении для99δlin имеемZ0j XNlm X√ Xejlr (s)(s2 − s∆l )ds 62C nkAj k Uj=1 l=1 r=1−∆ljmX√ X5 3(αl − αl−1 )3.6 h MC nkAj k23Nlj=1l=1Для второй группы слагаемых получимNl1 Nl2Z0 Z0j Xm Xk Xm XX√ Xbkjl l r r (s1 , s2 )(s22 − s2 ∆l )ds1 ds2 6UkAk kkAj k2C n1 2 1 22k=1 j=1 l1 =1 l2 =1 r1 =1 r2 =1−∆l2−∆l1mmkjX X (αl − αl −1 )(αl − αl −1 )3√ XX5 41122kAk kkAj k.6 h MC n23Nl2j=1l1 =1 l2 =1k=1Третья группа слагаемых допускает оценку2C nNl 1 Nl 2j Xk Xm Xm XXXkAk kkAj k×k=1 j=1 l1 =1 l2 =1 r1 =1 r2 =1Z0 Z0bkjl l r r (s1 , s2 )(s21 − s1 ∆l )(s22 − s2 ∆l )ds1 ds2 6U1 2 1 212×−∆l2 −∆l1mmkjX X (αl − αl −1 )3 (αl − αl −1 )3XX25 6112226 h MC nkAk kkAj k.2236NNll12j=1k=1l1 =1 l2 =1Очевидно, что при фиксированном значении h и при Nj → +∞, j = 1, m, каждаяиз полученных оценок стремится к нулю, откуда следует утверждение леммы.Доказательство для δ(h, N) = δq проводится полностью аналогично.Следствие 4.8.
Пусть система (1.1) экспоненциально устойчива. Тогда сущеe = (Ne1 , . . . , Nem )T такой, чтоствует набор значений Nz(h, N) > 0e∀ N > N.Д о к а з а т е л ь с т в о. В пунктах 4.1.1–4.1.3 предыдущего параграфа дляфункционала v0 получены следующие оценки снизу и сверху:Λi (p, ϕ)b − δ(h, N) 6 v0 (ϕ) 6 Λi (p, ϕ)b + δ(h, N),δ(h, N) = δi ,100здесь индекс i принимает значения «lin» или «q», откуда0 6 v0 (ϕ) − Λi (p, ϕ)b − δ(h, N) 6 2δ(h, N) −−−−→ 0,N→+∞согласно лемме 4.7. Следовательно,ϕ ∈ Se = Sj ∩ ϕ : ϕ(0) = p, kpk = 1 ,Λi (p, ϕ)b − δ(h, N) −−−−→ v0 (ϕ),N→+∞где j = 2, когда i принимает значение «lin», и j = 4, когда i принимает значение«q», при этом вектор ϕb построен по функции ϕ. Поскольку система (1.1) экспоненциально устойчива, v0 (ϕ) > 0 на множестве функций Se (см.
теорему 2.3).e такой, что для любыхПоэтому, по определению предела, существует вектор NeN>NΛi (p, ϕ)b − δ(h, N) > 0e а знана множестве векторов ϕ,b соответствующих функциям ϕ из множества S,чит, z(h, N) > 0. Следствие доказано.Замечание. С учетом следствия 4.8 полученное в предыдущем параграфе достаточное условие экспоненциальной устойчивости становится необходимым и достаточным: система (1.1) экспоненциально устойчива тогда и только тогда, когдасуществует набор значений N такой, что z(h, N) > 0.Сформулируем еще одну лемму. Рассмотрим функцию µ(h) =λmin (W )β,4где β = β(h) является решением уравненияKL(h)eKβ =здесь K =mPj=0kAj k, L(h) = 1 + hmP1,2βαj kAj k. Ясно, что µ(h) — непрерывная,j=1монотонно убывающая функция, при этом µ(h) > 0 для любого h иµ(h) −−−−→ 0.h→+∞По построению, при фиксированном h значение µ(h) — константа из доказательства теоремы 2.3, поэтому, если система (1.1) экспоненциально устойчива, тоv0 (ϕ) > µ(h)kϕ(0)k2 ,ϕ ∈ Sj ,j = 0, 1, 2, .
. .(4.11)101Лемма 4.9. Если существует набор значений N такой, чтоz0 (h, N) < µ(h),то система (1.1) не является экспоненциально устойчивой.Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что система (1.1) экспоненциальноустойчива. Тогда для любого N справедливы неравенстваz0 (h, N) >infϕ∈Sjkϕ(0)k=1v0 (ϕ) > µ(h),где j = 2 или 4 в зависимости от значения i в функции z0 . Действительно, второеиз этих неравенств следует непосредственно из оценки (4.11). В первом неравенстве z0 (h, N) представляет собой не что иное, как минимум функционала v0на множестве кусочно-линейных или кусочно-кубических функций (таких, чтоkϕ(0)k = 1) соответственно из множества S2 или S4 , а справа стоит тот же минимум на более широком множестве функций.
Поскольку эти неравенства противоречат условию леммы, система не может быть экспоненциально устойчивой.Заметим, что в формулировках утверждений 4.7–4.9 значение базового запаздывания h фиксировано. Кроме того, для уравнения (3.1) эти утвержденияфактически содержатся в утверждении 3.3 и следствии 3.4 (кусочно-линейноеприближение) и в утверждении 3.6 и следствии 3.7 (кусочно-кубическое приближение). В общем случае, как и в скалярном, значения параметров N1 , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
