Диссертация (1149186), страница 17
Текст из файла (страница 17)
4.3 — Пример 4.14: (a) D–разбиение; (б) N = 10, кусочно-кубическое приближениеПример 4.15. Область экспоненциальной устойчивости системы с двумя запаздываниямиẋ(t) = 010 00 0 x(t) + x(t − 0,1) + x(t − 0,15)−6 −7,1k1 00 k2в пространстве параметров k1 и k2 исследовалась в работах [4, 41, 43]. В них, вчастности, получено, что D–разбиение плоскости параметров имеет вид, изображенный на рисунке 4.4, и единственной областью экспоненциальной устойчивости системы является область, содержащая точку (0, 0). На рисунке 4.4 показанаоценка этой области, полученная проверкой условия (4.9) при N = 50. Рассмотрим несколько точек, расположенных в незаштрихованной части области, — ихудается получить при бо́льших значениях N: точку k1 = −68, k2 = −2 — при110N = 52, точку k1 = −70, k2 = 0 — при N = 64, точку k1 = −80, k2 = −6 — приN = 90, а точку k1 = −85, k2 = −6 — при N = 205.
Последняя точка лежит близко к границе области экспоненциальной устойчивости. Полученное согласуется сутверждениями параграфа 4.2: для каждой экспоненциально устойчивой системыудается подобрать значение N, при котором ее экспоненциальная устойчивостьгарантируется нашим методом.
Отметим, что не для всех значений параметров взаштрихованной области требуется значение N = 50 : для точки k1 = 2, k2 = 3 достаточно уже N = 1, а для точки k1 = 5, k2 = −3 экспоненциальная устойчивостьгарантируется при N = 3.Рис. 4.4 — Пример 4.15, N = 50, кусочно-кубическое приближениеПример 4.16. В заключение параграфа рассмотрим пример применения методав задаче управления. Речь пойдет о задаче стабилизации обратного маятника ввертикальном положении (см.
рисунок 4.5) — путем управления движением еготочки подвеса. Пусть l — длина невесомого стержня маятника, ϕ — угол, образуемый стержнем маятника с вертикалью, u — горизонтальная координата точкиподвеса маятника. Уравнение движения рассматриваемой механической системыможет быть получено напрямую через второй закон Ньютона или с использованием уравнений Лагранжа второго рода и имеет вид (см., например, [71], c. 261)ϕ̈ −g1sin ϕ = ü cos ϕ,ll111Рис.
4.5 — Обратный маятникздесь g — ускорение свободного падения. Поскольку задача состоит в удержаниимаятника в вертикальном положении, будем считать ϕ, ϕ̇ и ü малыми и рассмотрим линейное приближение уравнения движения:g1ϕ̈ − ϕ = ü.llВведем вектор ψ = ϕ, ϕ̇Tи перепишем последнее уравнение в виде системы 00 1 ψ + ü.(4.14)ψ̇ = 1/lg/l 0Зададим управление — ускорение точки подвеса маятника — в видеü(t) = c1 ϕ(t − h) + c2 ϕ̇(t − h) − ε1 u(t) − ε2 u̇(t),(4.15)здесь c1 , c2 — постоянные коэффициенты управления, h > 0 — запаздывание.При ε1 = ε2 = 0 система (4.14), замкнутая управлением (4.15), имеет вид0 100 ψ(t) + ψ(t − h).ψ̇(t) = (4.16)g/l 0c1 /l c2 /lОднако, даже если параметры c1 , c2 , h таковы, что система (4.16) экспоненциально устойчива, т.
е. задача стабилизации маятника решена, при таком управлениинельзя гарантировать стабилизацию его точки подвеса. Поэтому предположим,что ε1 , ε2 > 0, и запишем характеристический квазиполином, соответствующий112замкнутой системе (4.14)–(4.15) четвертого порядка:G(λ) = (λ2 + ε2 λ + ε1 )F (λ) + e−λh (ε1 + ε2 λ)(c1 + c2 λ)/l,где F (λ) = λ2 − g/l − e−λh (c1 + c2 λ)/l — характеристический квазиполином системы (4.16). Ясно, что при достаточно малых положительных ε1 и ε2 отрицательность вещественных частей всех нулей квазиполинома G(λ) эквивалентна томуже свойству квазиполинома F (λ).
Поэтому, если система (4.16) экспоненциальноустойчива, а ε1 , ε2 > 0 достаточно малы, то управление (4.15) позволяет стабилизировать как вертикальное положение маятника, так и положение его точкиподвеса.Итак, будем исследовать экспоненциальную устойчивость системы (4.16).Выберем коэффициенты управления c1 и c2 так, чтобы экспоненциальная устойчивость имела место при h = 0 : пусть, например, c1 = −10, c2 = −12.
Исследуемобласть экспоненциальной устойчивости системы (4.16) в пространстве параметров l и h. Для этого, как и в предыдущих примерах, сначала найдем уравненияграниц D–разбиения пространства параметров:c 12h=arctgω + πk , k ∈ Z,ωc11l = − 2 g + c1 cos ωh + c2 ω sin ωh ,ωω > 0,а затем, при l ∈ [1, 9] и h ∈ [0, 4], применим методы, разработанные в диссертации(см. рисунок 4.6).
Полученная с использованием кусочно-кубического приближения при N = 20 область экспоненциальной устойчивости системы визуальносовпадает с точной областью ее экспоненциальной устойчивости.Из рисунка 4.6 видно, что при любом l ∈ [1, 9] промежуток запаздываний, при которых система экспоненциально устойчива, имеет вид [0, h̄), где h̄ —критическое запаздывание. Проведенный анализ позволяет находить значениеh̄. Например, при l = 3 имеем h̄ ≈ 0, 424.
В таблице 4.1 для различных Nприведены соответствующие им значения hN такие, что теорема 4.4 (кусочнокубическое приближение) гарантирует экспоненциальную устойчивость системы113абРис. 4.6 — Пример 4.16, кусочно-кубическое приближение: (a) N = 10; (б) N = 20(2)при h ∈ [0, hN ]; эти значения имеют тот же смысл, что и значения hN в параграфе 4.2, а также значения hN в таблице 3.1. Отметим, что таблица 4.1 и рисунок 4.6наглядно иллюстрируют свойство сходимости метода.Таблица 4.1 — Пример 4.16, l = 3, нахождение критического запаздыванияN1hN4.4510150, 079 0, 175 0, 289 0, 39020240, 420 0, 423Метод нахождения запаса устойчивостиРезультаты главы 2 не только позволяют эффективно использовать функционал v0 для анализа устойчивости, но и дают возможность применять его вприложениях — покажем это на примере задачи о нахождении запаса устойчивости (см.
параграф 1.1, с. 20). Рассмотрим экспоненциально устойчивую системус одним запаздываниемẋ(t) = A0 x(t) + A1 x(t − h)(4.17)и обозначим ее запас устойчивости через σ̄. Замена неизвестной функции по формуле y(t) = eσt x(t) при некотором σ > 0 приводит к следующей системеẏ(t) = (A0 + σE)y(t) + eσh A1 y(t − h).(4.18)114Ясно, что оценкой снизу для запаса устойчивости системы (4.17) является любоезначение σ, при котором система (4.18) остается экспоненциально устойчивой.Основной результат этого параграфа (теорема 4.20) позволяет находить оценкуснизу для запаса устойчивости, а затем предлагается метод построения последовательности таких оценок, сходящейся к точному запасу устойчивости.
Нашподход к решению задачи идеологически основан на подходе к анализу робастнойустойчивости, рассмотренном в книге [56] (о нем уже говорилось в пункте 1.2.3).Для анализа экспоненциальной устойчивости системы (4.18) будем использовать функционал (1.5) (m = 1), построенный по системе (4.17). Нам известно, что его производная производная вдоль решений системы (4.17) совпадает с−xT (t)W x(t). Вычислим его производную вдоль решений системы (4.18):Лемма 4.17.
Производная функционала (1.5) вдоль решений системы (4.18)имеет видdv0 (yt )= −y T (t)W y(t) + l(yt ), гдеdtZ0hiT σhl(yt ) = 2 σy(t) + (e − 1)A1 y(t − h)U (0)y(t) + U (−θ − h)A1 y(t + θ)dθ ,−hздесь U (τ ) — матрица Ляпунова системы (4.17).Д о к а з а т е л ь с т в о. Утверждение леммы является частным случаемформулы (1.13) при m = 1, ∆0 = σE, ∆1 = (eσh − 1)A1 . Ее доказательствоможет быть проведено непосредственным дифференцированием функционала(см. [56], лемма 2.14, с. 70), в той же идеологии, в которой проводится доказательство леммы 5.2 в приложении В.Лемма 4.18.
Функционал l(yt ) допускает оценку сверхуl(yt ) 6 l0 (σ)ky(t)k2 + l1 (σ)ky(t − h)k2 + l2 (σ)Z0ky(t + θ)k2 dθ,−hl0 (σ) = M σ + (eσh − 1)kA1 k + σ 1 + kA1 kh ,где115l1 (σ) = M kA1 k 1 + kA1 kh (eσh − 1),l2 (σ) = M kA1 k σ + (eσh − 1)kA1 k , M = max kU (τ )k.τ ∈[0,h]Д о к а з а т е л ь с т в о. Матрица Ляпунова U (τ ) непрерывна в силу экспоненциальной устойчивости системы (4.17), поэтому максимум M существует иконечен.
Справедливы следующие оценки:2σy T (t)U (0)y(t) 6 2σM ky(t)k2 ,σh2(eT− 1)y (t −2σy T (t)Z0h)AT1 U (0)y(t)σh6 (e22− 1)M kA1 k ky(t)k + ky(t − h)k ,Z0T22U (θ + h)A1 y(t + θ)dθ 6 σM kA1 k hky(t)k + ky(t + θ)k dθ ,−h−h2(eσh − 1)y T (t − h)AT1Z0U T (θ + h)A1 y(t + θ)dθ 6−hZ06 (eσh − 1)M kA1 k2 hky(t − h)k2 + ky(t + θ)k2 dθ ,−hздесь использовано очевидное нераверство 2ab 6 a2 + b2 , верное для любых a иb.
Собирая вместе оценки всех слагаемых, получим утверждение леммы.Структура оценки функционала l(yt ) показывает, почему функционал v0 ,в отличие от функционала полного типа, не может быть применен к анализуробастной устойчивости в идеологии подхода, изложенного в книге [56]: его производная вдоль решений системы (4.18) не является отрицательно-определенной.Напротив, производная функционала полного типа, равная −w(yt ) + l(yt ), можетбыть сделана отрицательно-определенной за счет выбора σ. Обойти эту проблемупозволяет использование интегральной оценки функционала l(yt ) :Следствие 4.19.
Справедлива оценкаZtl(ys )ds 6 l0 + l1 + hl20Zt0ky(s)k2 ds +l1 + hl2Z0−hkϕ(s)k2 ds.(4.19)116Д о к а з а т е л ь с т в о. Проинтегрируем оценку, полученную в лемме 4.18:ZtZtl(ys )ds 6 l00ky(s)k2 ds + l10Ztky(s − h)k2 ds + l2Z tZ0ky(s + θ)k2 dθds.0 −h0Делая замену переменной во втором интеграле по формуле s1 = s − h, получимZtl1Zt−hZ0Ztky(s − h)k2 ds = l1ky(s1 )k2 ds1 6 l1 kϕ(s)k2 ds + l1 ky(s)k2 ds.0−h−h0Аналогично, меняя порядок интегрирования и делая замену переменной по формуле s1 = s + θ в третьем интеграле, имеемZ tZ0l2Z0 Zt+θZ0Ztky(s + θ)k2 dθds = l2ky(s1 )k2 ds1 dθ 6 l2 h kϕ(s)k2 ds + l2 h ky(s)k2 ds.0 −h−h θ−h0Складывая оценки всех слагаемых, получаем требуемое неравенство (4.19).Неравенство (4.19), в совокупности с результатами главы 2, дает возможность применить функционал (1.5) к оценке запаса устойчивости:Теорема 4.20.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
