Диссертация (1149186), страница 14
Текст из файла (страница 14)
В общем случае, приблизив произвольную вектор-функциюϕ ∈ S2 кусочно-линейной вектор-функцией, мы получили, что функционал v0 , соответствующий системе (1.1), допускает квадратичную оценку снизу следующейструктурыT linv0 (ϕ) > pT (Λlinb+ϕbT Λlinb1 − δlin E)p + 2p Λ2 ϕ3 ϕ,ϕ ∈ S2 .(4.4)linЗдесь Λlin1 — матрица размерности n × n, Λ2 — матрица размерности n × nN,Λlin3 — матрица размерности nN × nN, а скалярная величина δlin задана формуlinlinлой (4.3). Элементы матриц Λlin1 , Λ2 и Λ3 могут быть найдены из последнегопредставления для Λlin .
Здесь сохранена идеология обозначений параграфа 3.1.Оценка (4.4), в совокупности с утверждением теоремы 2.4 (в которой множество S заменено на множество S2 ), приводит к следующей теореме.Теорема 4.1. Если существуют такие значения N1 , . . . , Nm , чтоhiT linT linT linmin p Λ1 p + 2p Λ2 ϕb+ϕb Λ3 ϕb − δlin > 0, где(lin)(4.5)ϕ∈b SbN ...Nm1kpk=1n(lin)bSN1 ...Nm = ϕb ∈ RnNo (j) bk 6 1, k = 1, Nj , j = 1, m , ϕто система (1.1) экспоненциально устойчива.Д о к а з а т е л ь с т в о. Зафиксируем ненулевой вектор p ∈ Rn и произвольную вектор-функцию ϕ ∈ S2 такую, что ϕ(0) = p, а также значения N1 , .
. . , Nm89из условия теоремы. Для функционала v0 (ϕ) справедлива оценка (4.4), в которойвектор ϕb построен по функции ϕ, а значит, справедлива и оценкаv0 (ϕ) >hmin(j)pkϕbk k6kpk,k=1,Nj , j=1,mTΛlin1 p+ 2pTΛlinb+2 ϕTϕbiΛlinb3 ϕ− δlin kpk2 ,минимум в правой части которой взят на множестве всевозможных векторов,соответствующих функциям ϕ ∈ S2 таким, что ϕ(0) = p. Последнюю оценкуперепишем в видеv0 (ϕ) > kpk2min(j)kϕbk k6kpk,k=1,Nj , j=1,m!pT lin ϕϕbT lin ϕpT lin pbbΛ+2Λ+Λ− δlin .kpk 1 kpkkpk 2 kpk kpk 3 kpkpϕb(j)и p1 =. Ясно, что kp1 k = 1 и kψbk k 6 1, k = 1, Nj ,Введем векторы ψb =kpkkpk(j)b аналогичные обознаj = 1, m, где ψbk — обозначения составляющих вектора ψ,чениям составляющих вектора ϕ.b В таких обозначениях!T lin bbT lin bv0 (ϕ) > kpk2minpT1 Λlin1 p1 + 2p1 Λ2 ψ + ψ Λ3 ψ − δlin ,b Sb(lin)ψ∈N ...Nm1где p1 — фиксированный вектор, построенный по функции ϕ.
Взяв теперь минимум по всем векторам p1 таким, что kp1 k = 1, в правой части неравенства,получим2v0 (ϕ) > µkϕ(0)k , где µ =hiT linT lin bT lin bbmin p1 Λ1 p1 + 2p1 Λ2 ψ + ψ Λ3 ψ − δlin > 0.b Sb(lin)ψ∈N1 ...Nmkp1 k=1Очевидно, последняя оценка останется верной и для нулевого вектора p = ϕ(0).Таким образом, на множестве функций ϕ ∈ S2 для функционала v0 (ϕ) полученаоценка из теоремы 2.4, что означает экспоненциальную устойчивость системы(1.1). Теорема доказана.Теорема 4.1 дает конструктивный способ нахождения константы µ из теоремы 2.4: достаточно найти значения параметров N1 , .
. . , Nm , при которых минимум(4.5) положителен, и величина этого минимума совпадет с µ.90Следствие 4.2. Если существуют значения N1 , . . . , Nm такие, чтоmin|ϕbi |61, i=1,nNkpk=1hpTΛlin1 p+ 2pTΛlinb+2 ϕTϕbiΛlinb3 ϕ− δlin > 0,(4.6)то система (1.1) экспоненциально устойчива.Утверждение следствия 4.2 очевидно, поскольку минимум в нем берется поболее широкому множеству векторов, чем в теореме 4.1, — ограничение накладывается на модуль каждой компоненты вектора ϕ.b Таким образом, из положительности минимума (4.6) следует положительность минимума (4.5).
Посколькуминимум (4.6) более прост в вычислении, на практике мы будем проверять выполнение следствия 4.2 вместо теоремы 4.1.Следующие необходимые условия позволяют уменьшить объем вычислений,возникающий при проверке условия теоремы 4.1 или следствия 4.2.Утверждение 4.3. Если система (1.1) экспоненциально устойчива, то1. матрица U (0) положительно определена;положительно определена;2. матрица Λlinih 1T linT linT linb > 0 для любого фиксированногоb+ϕb Λ3 ϕ3. min p Λ1 p + 2p Λ2 ϕ(lin)1 ...Nmϕ∈b SbNp ∈ Rn такого, что kpk = 1, для любых N1 , . . . , Nm .Первое утверждение здесь известно (см.
интегральное представление (1.8)или [4, 43]), а доказательство двух других полностью аналогично доказательствуутверждения 3.2. Кроме того, в общем случае можно сформулировать аналогиутверждения 3.3 и следствия 3.4. Поскольку эти утверждения имеют отношениек свойству сходимости метода, это будет сделано в параграфе 4.2.Таким образом, отличия от изложенного в параграфе 3.1 действительно носят только технический характер: в оценке погрешности (4.2) участвуют нормы√матриц и появляется множитель n, меняется вектор ϕ,b теперь p ∈ Rn . Вместес тем, структура полученной оценки функционала — оценки (4.4) — практически совпадает со структурой оценки (3.8), с очевидными изменениями.
Наиболее91существенным отличием является появление условия kpk = 1 в задачах минимизации (4.5) и (4.6). В целом, при полном сохранении идеологии параграфа 3.1, выбор наиболее общего разбиения промежутка [−h, 0], а также более сложный видфункционала влекут за собой бо́льшую громоздкость формул и более сложнуюпрограммную реализацию, см. приложение Б. Более простой вариант метода —для систем с кратными запаздываниями — описан в приложении А.Поскольку идея методов остается прежней, в пунктах 4.1.2—4.1.4 будутприведены только окончательные формулы методов и формулировки основныхутверждений, а выкладки и доказательства, полностью аналогичные приведенным в этом пункте, а также в параграфах 3.1—3.4 главы 3, будут опущены.4.1.2Кусочно-кубическое приближениеВ этом пункте на случай системы (1.1) обобщается схема метода, описаннаяв параграфе 3.2 и основанная на кусочно-кубической аппроксимации. Рассмотримтакое же разбиение отрезка [−h, 0], как и в предыдущем пункте (см.
с. 83), изададим кусочно-кубическое приближение произвольной функции ϕ ∈ S4 в виде(j)(j) q(s + θk ) = g1j (s)ϕ θk(j) (j) (j) + g2j (s)ϕ θk+1 + g3j (s)ϕ0 θk + g4j (s)ϕ0 θk+1 ,s ∈ [−∆j , 0], k = 0, Nj − 1, j = 1, m. Здесь2s3 3s2− 2 + 1, g2j (s) =∆3j∆js32s2+ s,g4j (s) =g3j (s) = 2 +∆j∆jg1j (s) = −2s3 3s2+ 2,∆3j∆js3s2, s ∈ [−∆j , 0].+∆2j ∆jПогрешность такого приближения η(θ) = ϕ(θ) − q(θ), θ ∈ [−h, 0], на каждом изпромежутков разбиения допускает оценку√e n fj (s)kϕ(0)k, s ∈ [−∆j , 0], гдеη s + θ(j) 6 CkX4m1e=CkAl k , fj (s) = s4 + 6s3 ∆j + 7s2 ∆2j .24l=0(4.7)92Обозначим p = ϕ(0), p ∈ Rn , и введем вектор(1) (1) (2) (2) (m) (m) ϕb = ϕT θ1 , . .
. , ϕT θN1 , ϕT θ1 , . . . , ϕT θN2 , . . . , ϕT θ1 , . . . , ϕT θNm ,hhhiT h 0 (1) iTiT h 0 (2) iTi T00 (1)0 (2). . . , ϕ 0 , ϕ θ1, . . . , ϕ θN1, ϕ θ1, . . . , ϕ θN2,...,hiThiT T(m)(m)ϕ0 θ1, . . . , ϕ0 θNm.Вектор ϕb сформирован последовательным соединением векторов значений функции ϕ в узлах разбиения промежутка [−h, 0] и их производных, размерность вектора равна 2n(N1 +.
. .+Nm )+n = n(2N +1). Составляющие вектора ϕb обозначимчерез(j) (j)ϕbk = ϕ θk,(j) (j)ϕbk+Nj +1 = ϕ0 θk,k = 0, Nj ,j = 1, m,(1)тогда ϕb0 = p. Опустим преобразования, полностью аналогичные описанным впараграфе 3.2 и в пункте 4.1.1, и приведем сразу окончательный результат. Послеподстановки приближения q в функционал v0 , с учетом оценки погрешности (4.7)и условия ϕ ∈ S4 , получим, что для функционала v0 на множестве S4 справедливаоценка точно такой же структуры, что и оценка (4.4):v0 (ϕ) > pT (Λq1 − δq E)p + 2pT Λq2 ϕb+ϕbT Λq3 ϕb = Λq (p, ϕ)b − δq kpk2 ,ϕ ∈ S4 .(4.8)Здесь Λq1 , Λq2 и Λq3 — матрицы размерностей n × n, n × n(2N + 1) и n(2N + 1) ××n(2N + 1) соответственно. Элементы матриц Λq1 , Λq2 , Λq3 могут быть полученыиз приведенного ниже представления:Tj XNl m XXTΛq (p, ϕ)b = ϕ (0)U (0)ϕ(0) + 2ϕ (0)L1jlr ϕ(l)θNl −r+j=1 l=1 r=1(l)(l)(l)+ L2jlr ϕ θNl −r+1 + L3jlr ϕ0 θNl −r + L4jlr ϕ0 θNl −r+1+Nl1 Nl2 j Xm Xm Xk XXXϕT(l )θN1l −r1111Rkjl1 l2 r1 r2ϕ(l )θN2l −r22++k=1 j=1 l1 =1 l2 =1 r1 =1 r2 =1(l1 )(l2 )(l1 )(l2 )12T130+ 2ϕ θNl −r1 Rkjl1 l2 r1 r2 ϕ θNl −r2 +1 + 2ϕ θNl −r1 Rkjl1 l2 r1 r2 ϕ θNl −r2 +1212(l1 )(l2 )(l1 )(l2 )T140T22+ 2ϕ θNl −r1 Rkjl1 l2 r1 r2 ϕ θNl −r2 +1 + ϕ θNl −r1 +1 Rkjl1 l2 r1 r2 ϕ θNl −r2 +1 +T121293T(l )θN1l −r1 +1123Rkjl1 l2 r1 r20(l )θN2l −r22T(l )θN1l −r1 +1124Rkjl1 l2 r1 r20(l )θN2l −r2 +12+2ϕϕ+ 2ϕϕ+iTh h iT(l1 )(l1 )(l2 )(l2 )00330340+ ϕ θNl −r1Rkjl1 l2 r1 r2 ϕ θNl −r2 + 2 ϕ θNl −r1Rkjl1 l2 r1 r2 ϕ θNl −r2 +1 +1212h iT(l )(l )44+ ϕ0 θN1l −r1 +1Rkjlϕ0 θN2l −r2 +1 ,1 l2 r1 r212а выражение для величины δq имеет видZ0j XNlm X√ Xe nejlr (s)fl (s)ds+δq = 2CkAj k Uj=1 l=1 r=1+Nl1 Nl2j Xm Xk Xm XXX−∆lZ0 Z0√e nbkjl l r r (s1 , s2 )×UkAk kkAj k 2C1 2 1 2k=1 j=1 l1 =1 l2 =1 r1 =1 r2 =1−∆l2 −∆l1s1× 1−K(s1 + ∆l1 ) fl2 (s2 )ds1 ds2 +∆l1Z0 Z02e nbkjl l r r (s1 , s2 )fl (s1 )fl (s2 )ds1 ds2 .U+C1 2 1 212−∆l2 −∆l1Аналогом теоремы 3.5 в общем случае является следующая теорема.Теорема 4.4.
Если существуют такие значения N1 , . . . , Nm , чтоhiT qT qT qmin p Λ1 p + 2p Λ2 ϕb+ϕb Λ3 ϕb − δq > 0, где(q)(4.9)ϕ∈b SbN ...Nm1kpk=1n(q)bSN1 ...Nm = ϕb ∈ Rn(2N +1) (j) bk 6 1, k = 1, Nj , j = 1, m, ϕmo (j) Xϕbk+Nj +1 6kAl k, k = 0, Nj , j = 1, m ,l=0то система (1.1) экспоненциально устойчива.Справедливы также утверждения, аналогичные следствию 4.2 и утверждению 4.3.4.1.3Анализ неустойчивостиАнализ неустойчивости основан на том, что, наряду с оценками снизу (4.4)и (4.8), полученными в двух предыдущих пунктах, функционал (1.5) допускает94соответствующие им оценки сверху:v0 (ϕ) 6 pT (Λi1 + δi E)p + 2pT Λi2 ϕb+ϕbT Λi3 ϕ,bϕ ∈ Sj ,где либо i принимает значение «lin» и j = 2, либо i принимает значение «q»и j = 4. Таким образом, справедлив следующий аналог теоремы 3.8, которыйвытекает из теорем о неустойчивости 2.5 и 2.6.Теорема 4.5.
Если существуют такие значения N1 , . . . , Nm , чтоhiT iT iT imin p Λ1 p + 2p Λ2 ϕb+ϕb Λ3 ϕb + δi < 0,(i)ϕ∈b SbN ...Nm1kpk=1где индекс i принимает значения «lin» или «q», то система (1.1) неустойчива.Условие теоремы 4.5 может быть проверено, конечно, только в том случае,когда выполнено условие Ляпунова.4.1.4Применение функционала полного типаРезультаты параграфа 3.4 также могут быть распространены на общий случай. Использование функционала полного типа (1.9) вместо функционала (1.5)может быть полезным с практической точки зрения: за счет наличия дополнительного положительно-определенного слагаемого следует ожидать, что функционал (1.9) позволит гарантировать экспоненциальную устойчивость системы применьших значениях параметров N1 , .
. . , Nm , чем функционал (1.5). Кроме того,в главе 5 будет использоваться именно та модификация метода, в которой применяется функционал полного типа, что объясняется особенностями задачи, окоторой в ней пойдет речь.В этом пункте сохранены обозначения пунктов 4.1.1 и 4.1.2 — рассматриваются те же приближения функции ϕ. Преобразования, полностью аналогичныепроведенным во всех других модификациях метода, приводят к следующей оценке снизу функционала полного типа (1.9):v(ϕ) > Λi (p, ϕ)b + Θi (p, ϕ)b − (δi + ζi )kpk2 ,ϕ ∈ Sj ,(4.10)95где индекс i может принимать значение «lin» (и тогда j = 2) или «q» (с j = 4).Выражения для величин Λlin (p, ϕ)b и δlin , Λq (p, ϕ)b и δq приведены в пунктах 4.1.1и 4.1.2 соответственно. Эти выражения в оценке (4.10) отличаются матрицей Ляпунова — в функционале полного типа матрица Ляпунова ассоциирована уже сдругой матрицей W (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
