Диссертация (1149186), страница 16
Текст из файла (страница 16)
. . , Nm , прикоторых метод гарантирует экспоненциальную устойчивость, могут быть оценены: это те значения, при которых разность между µ(h) и оценкой для δ(h, N) излеммы 4.7 положительна.Перейдем к формулировке основного утверждения о сходимости. Предположим, что 0 < h̄1 < h̄2 < +∞ — критические значения базового запаздываниясистемы (1.1), причем h̄1 , h̄2 — интервал экспоненциальной устойчивости системы. Зафиксируем произвольное значение h̃ ∈ h̄1 , h̄2 .
Согласно следствию 4.8,102e такой, что z(h̃, N) > 0 при N > N.e При таких значенияхсуществует вектор NN зададим последовательности(1)hN =sup h,(2)hN =h<h̃z(h,N)60infh.h>h̃z(h,N)60Из определения этих последовательностей и непрерывности функции z по h следует, чтоz(h, N) > 0 при h ∈а значит,(1) (2)hN , hN(1) (2)hN , hN⊂ h̄1 , h̄2 . Другими словами,,(1) (2)hN , hN— интервал экспо-ненциальной устойчивости системы (1.1), гарантируемый одним из методов приeфиксированном N > N.n o+∞n o+∞(1)(2)Теорема 4.10. Последовательности hNи hNсходятся, причемeN=N(2)(1)lim hN = h̄1 ,N→+∞eN=Nlim hN = h̄2 .N→+∞Д о к а з а т е л ь с т в о. Проведем доказательство для второй последовательности.
Все ее элементы содержатся в промежутке h̃, h̄2 , а значит, последовательность ограничена. Следовательно, она имеет конечные нижний и верхнийпределы, причем(2)lim hN 6 h̄2 .N→+∞Предположим, что(2)lim hN = h0 < h̄2 .N→+∞Это значит, что можно выделить подпоследовательностьn o(2)ности hN такую, что существует предел(2)lim hNj = h0 < h̄2 ,j→+∞n(2)hNjoпоследователь-(4.12)здесь j = (j1 , . . . , jm )T , Nj = (N1j1 , .
. . , Nmjm )T . Поэтому найдется вектор значений j̃ = (j̃1 , . . . , j̃m )T такой, что для любых j > j̃ система (1.1) с базовым(2)запаздыванием h = hNj экспоненциально устойчива.103n o(2)С другой стороны, по определению последовательности hN имеем(2)z(hNj , Nj ) 6 0,откуда, с учетом леммы 4.7 и предельного соотношения (4.12), получим(2)(2)z0 (hNj , Nj ) 6 δ(hNj , Nj ) −−−−→ 0.j→+∞Вместе с тем, в силу непрерывности функции µ(h) и по ее определению,(2) µ hNj −−−−→ µ(h0 ) > 0.j→+∞(2)Поэтому найдется вектор значений j̄ > j̃ такой, что при h = hNj̄ будет выполнено неравенство из леммы 4.9, что противоречит экспоненциальной устойчивостисистемы (1.1) с этим базовым запаздыванием.
Значит,(2)(2)lim hN = lim hN = h̄2 ,N→+∞N→+∞n o+∞(1)что и требовалось доказать. Для последовательности hNдоказательствоeN=Nпроводится полностью аналогично.Таким образом, в терминах критических запаздываний сходимость методовозначает следующее: интервал экспоненциальной устойчивости системы (1.1), гарантируемый каждым из методов, «изнутри» стремится к точному интервалу ееэкспоненциальной устойчивости h̄1 , h̄2 при N → +∞.Замечание. С небольшими изменениями в формулировке и доказательстве теорема 4.10 останется верной при h̄1 = 0 или h̄2 = +∞.
Если в первом случаесистема экспоненциально устойчива при h = 0, то можно взять h̃ = 0 и рассматривать только вторую последовательность. Если h̄1 = 0, но система устойчивапри h = 0 и экспоненциально устойчива при малых запаздываниях, то в формулировке теоремы вообще ничего не меняется. Во втором случае некоторые из(2)значений hN могут быть равными +∞. Если это так хотя бы для одного значения, положим предел второй последовательности по определению равным +∞.104Тогда теорема останется верной в формулировке(2)lim hN = +∞,N→+∞и ее доказательство проводится полностью аналогично ее доказательству для конечного h̄2 , от противного. Наконец, если система (1.1) не является экспоненциально устойчивой ни при каком значении базового запаздывания h, то, очевидно,z(h, N) 6 0 для любых h и N.Аналогично — с оговоркой о выполнении условия Ляпунова — можно доказать сходимость методов анализа неустойчивости.
Введем функциюzb(h, N) = z0 (h, N) + δ(h, N)и зафиксируем значение базового запаздывания h, при котором выполнено условие Ляпунова. Согласно теореме 4.5, если найдется набор значений N такой, чтоzb(h, N) < 0, то система (1.1) неустойчива.
А в силу леммы 4.7 справедливо иобратное утверждение — аналог следствия 4.8: если система (1.1) неустойчива,но удовлетворяет условию Ляпунова, тоb:∃Nb∀N>Nzb(h, N) < 0.Пусть h̄2 , h̄3 — интервал неустойчивости системы (1.1), причем на всеминтервале выполнено условие Ляпунова, h̄2 , h̄3 — критические запаздывания.bВыберем произвольное значение bh ∈ h̄2 , h̄3 и найдем соответствующее ему Nb Тогда, по аналогии со случаем экспоненцитакое, что zb(bh, N) < 0 при N > N.альной устойчивости, имеют место предельные соотношения(1)bhN =sup h −−−−→ h̄2 ,h<bhzb(h,N)>0N→+∞(2)bhN =infh>bhzb(h,N)>0h −−−−→ h̄3 ,N→+∞(1) b(2)bbздесь последовательности заданы при N > N.
При этом hN , hN — промежуток неустойчивости, гарантируемый методом при фиксированном N, поскольку(1) b(2)bzb(h, N) < 0 при h ∈ hN , hN .105Заметим, что без предположения о выполнении условия Ляпунова функция zbможет быть не определена в некоторых точках промежутка h̄2 , h̄3 , в том чис(1)(2)ле в точках bhN и bhN , что мешает провести подобные рассуждения в терминахпредельных переходов.Сходимость метода позволяет использовать его для нахождения критических значений запаздывания. Если (h̄1 , h̄2 ) — интервал экспоненциальной устойчивости, а (h̄2 , h̄3 ) — интервал неустойчивости системы, то критическое запаздывание h̄2 может быть найдено как общий предел двух последовательностей:(2)(1)h̄2 = lim hN = lim bhN .N→+∞N→+∞Для построения этих последовательностей нужно знать по одному произвольномузначению из каждого промежутка: h̃ и bh.
Проиллюстрируем идею нахождениякритических запаздываний на примере.Пример 4.11. Рассмотрим систему010 0 x(t − h).ẋ(t) = x(t)+√−2 1/ 21 0(4.13)b = 1 и h̃ = 0,95, Ne = 5Методом перебора удается найти значения bh = 0,3, Nтакие, чтоb ) < 0 и z(h̃, Ne ) > 0.zb(bh, Nn o n o(2)(1)Вычислим по несколько членов последовательностей bhN и hN (на практике вычисляем оценки членов этих последовательностей соответственно снизу исверху с точностью до 0,001):(2)bh1 = 0,379,(1)(2)bh2 = 0,637,(1)(2)bh3 = 0,855,(1)h5 = h6 = h7 = 0,856.Следовательно, критическое запаздывание h̄ расположено между значениями0,855 и 0,856. Анализ расположения корней характеристического уравнения системы (4.13) подтверждает полученный результат: система действительно имеет106√критическое запаздывание h̄ = 2π/3 6 ≈ 0, 855, отделяющее промежуток ее√ неустойчивости 0, 2π/3 6 от промежутка ее экспоненциальной устойчивости√√ 2π/3 6, π/2 2 .4.3ПримерыВ этом параграфе разработанные в диссертации методы применяются коценке областей экспоненциальной устойчивости конкретных систем в пространстве параметров.
Во всех примерах используются формулы методов для систем скратными запаздываниями (см. приложение А), поэтому разбиение имеет толькоодин параметр N — количество частей разбиения отрезка [−h, 0], где h — базовоезапаздывание; матрица Ляпунова ассоциирована с W = E и вычисляется «полуаналитическим» методом, предложенным в работе [45] (см. приложение Б). Вкаждом примере, при фиксированном значении N, по фиксированной равномерной сетке в плоскости параметров проверяется условие теоремы 4.1 или 4.4. Темзначениям параметров, при которых минимум (4.5) или (4.9) положителен, соответствуют точки на рисунках.
Полученные области устойчивости сравниваются сточными областями устойчивости, известными из других работ или найденнымиметодом D–разбиения (см. работу Ю. И. Неймарка [28]). Границы D–разбиения —кривые в пространстве параметров, при которых характеристическое уравнениесистемы имеет чисто мнимые корни, — на рисунках изображены линиями. Этилинии делят пространство параметров на области, обладающие следующим свойством: для всех точек внутри одной области количество собственных чисел системы, лежащих в правой полуплоскости, одинаково. Остается определить области,в которых система экспоненциально устойчива, для чего могут быть успешноиспользованы предложенные в диссертации методы.Пример 4.12.
Исследуем экспоненциальную устойчивость уравнения с двумякратными запаздываниями, рассмотренного в работах [4, 43]:ẋ(t) = −2x(t) + ax(t − 1) + bx(t − 2).107Его характеристический квазиполином имеет вид G(λ) = λ + 2 − ae−λ − be−2λ ,а границы D–разбиения в пространстве параметров a и b задаются уравнениямиa + b = 2 (соответствует собственному числу λ = 0) иa=ω cos 2ω + 2 sin 2ω,sin ωb=−ω cos ω− 2,sin ωω ∈ (k − 1)π, kπ ,k∈N(соответствуют собственным числам λ = ±iω, ω 6= πk), см.
рисунок 4.1. В работах [4,43] получено, что область, содержащая точку (0, 0), является единственнойобластью экспоненциальной устойчивости уравнения при a, b ∈ [−12, 12]. Этотрезультат подтверждается нашими методами: плоскость параметров a и b проверена с шагом 1/3 по a и b с помощью теоремы 4.1 (рисунок 4.1, a) и теоремы 4.4(рисунок 4.1, б), a, b ∈ [−12, 12]. Использование кусочно-кубического приближения позволяет получить практически всю область экспоненциальной устойчивости при N = 25. Рассмотрим точку a = 4, b = −7/3 : эта точка лежит внутриобласти устойчивости, но отсутствует на рисунке 4.1, б.
Для нее минимум (4.9)становится положительным при N = 34.абРис. 4.1 — Пример 4.12, N = 25 : (a) кусочно-линейное приближение; (б) кусочно-кубическоеприближениеПример 4.13. В работе [39] авторы, применив так называемый геометрическийподход [68], получили для уравненияẋ(t) = −x(t) + x(t − h1 ) − x(t − h2 )108кривые D–разбиения в пространстве запаздываний h1 и h2 :!√211+ωh1 =− arctg ω + 2πk ± arccos,ω2!√211+ωh2 =− arctg ω + (2l − 1)π ∓ arccos,ω2где k, l — целые числа, при которых запаздывания h1 , h2 > 0; ω ∈ 0,√ 3 .
Ясно,что область, содержащая прямую h2 = h1 , является областью экспоненциальнойустойчивости уравнения. Этот результат вновь подтверждается нашим методом:условие (4.9) проверено при N = 20, h1 , h2 ∈ [0, 20] с шагом 0,5 — по сетке соизмеримых запаздываний, см. рисунок 4.2. Полученная область является хорошейоценкой точной области экспоненциальной устойчивости.
Судя по всему, другихобластей экспоненциальной устойчивости при h1 , h2 ∈ [0, 20] уравнение не имеет.Рис. 4.2 — Пример 4.13, N = 20, кусочно-кубическое приближениеПример 4.14. Следующее уравнение рассматривается во многих книгах, например, в [1, 35]:ÿ(t) + aẏ(t − 1) + by(t − 1) = 0.Перепишем его в виде системы (1.1):0 10 0 x(t) + x(t − 1).ẋ(t) = 0 0−b −a109Границы D–разбиения пространства параметров a и b, соответствующего этойсистеме, задаются кривой спиралевидной формыa = ω sin ω,b = ω 2 cos ω,ω>0и прямой b = 0; они изображены на рисунке 4.3, a. Единственная область экспоненциальной устойчивости более крупно показана на рисунке 4.3, б, в сравнениис областью, полученной нашим методом.абРис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
