Диссертация (1149186), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Пусть обе матрицы ассоциированы с W = W0 + W1 + hW2 , где W0 , W1 , W2 — симметрические положительно-определенные матрицы.В этой главе функционал v0 , определяемый формулой (1.5) (при m = 2,h1 = 1, h2 = h), будем обозначать через v0 (ϕ, U ). А для анализа экспоненциальной устойчивости системы (5.1) будем использовать функционалZ0v(ϕ, Uĥ ) = v0 (ϕ, Uĥ ) +−1(θ + 1) ϕT (θ)W1 ϕ(θ)dθ +Z0(θ + h) ϕT (θ)W2 ϕ(θ)dθ.−hФункционал v0 (ϕ, Uĥ ) отличается от функционала (1.5) только матрицей Ляпунова; отметим, что пределы интегрирования и аргументы матрицы Ляпунова в немостаются прежними — соответствующими исходной системе (1.1).
По структурефункционал v(ϕ, Uĥ ) представляет собой частный случай функционала полного типа (1.9). Позже станет ясно, почему функционал v0 (ϕ, Uĥ ) не может бытьиспользован для наших целей в этой главе. Новый функционал v(ϕ, Uĥ ) определяется значениями матрицы Ляпунова Uĥ (τ ) при τ ∈ [−h, h]. Заметим, что идея123замены матрицы Ляпунова в функционале встречается в книге [56] — применительно к качественной оценке приближений матрицы Ляпунова, которые в нейстроятся.Следующее предположение необходимо для существования функционала v(ϕ, Uĥ ) (см. теорему 1.9 и определение 1.3); далее будем считать его выполненным.Предположение 5.1.
Система (5.2) удовлетворяет условию Ляпунова.Для того чтобы применить новый функционал к анализу экспоненциальнойустойчивости системы (5.1), нужно вычислить его производную вдоль решенийэтой системы. Согласно теории параграфа 1.2, по построению функционалаdv(xt , U ) = −w(xt )dtвдоль решений системы (5.1), гдеw(ϕ) = ϕT (0)W0 ϕ(0) +Z0−1ϕT (θ)W1 ϕ(θ)dθ +Z0ϕT (θ)W2 ϕ(θ)dθ.−hЧто изменится в производной функционала, когда в нем изменится матрица Ляпунова? Чтобы ответить на этот вопрос, сравним определения матриц ЛяпуноваU (τ ) и Uĥ (τ ) (см.
определение 1.8). Ясно, что эти определения отличаются толькопоследним слагаемым в динамическом и в алгебраическом свойствах. Поэтомувполне естественным выглядит утверждение следующей леммы. Отметим еще,что леммы 5.2 и 5.3 близки к леммам 4.17 и 4.18 предыдущей главы.Лемма 5.2. Производная функционала v(ϕ, Uĥ ) вдоль решений системы (5.1)имеет видdv(xt , Uĥ ) = −w(xt ) + R(xt , ∆Uĥ ),dtt > 0.Здесь ∆Uĥ (τ ) = Uĥ (h − τ ) − Uĥ (ĥ − τ ), τ ∈ [0, h],hT iTTR(xt , ∆Uĥ ) = x (t) A2 ∆Uĥ (0) + ∆Uĥ (0) A2 x(t)+124+2xT (t)AT2Z0∆Uĥ (θ + 1)A1 x(t + θ)dθ + 2xT (t)AT2−1Z0∆Uĥ (θ + h)A2 x(t + θ)dθ.−hД о к а з а т е л ь с т в о проводится непосредственным дифференцированиемфункционала v(ϕ, Uĥ ) и приведено в приложении В для полноты изложения.
Лемма 5.3. Функционал R(xt , ∆Uĥ ) допускает следующую оценку сверху:2Z0R(xt , ∆Uĥ ) 6 M ξ0 kx(t)k + ξ12Z0kx(t + θ)k dθ + ξ2−12kx(t + θ)k dθ , где−hM = max k∆Uĥ (τ )k, ξ0 = kA2 k 2 + kA1 k + hkA2 k , ξ1 = kA1 kkA2 k, ξ2 = kA2 k2.τ ∈[0,h]Д о к а з а т е л ь с т в о. Максимум M существует и конечен в силу предположения 5.1. Каждое из слагаемых функционала R(xt , ∆Uĥ ) может быть оцененонепосредственно, так же, как и в доказательстве леммы 4.18.Леммы 5.2 и 5.3 означают, что вдоль решений системы (5.1)dv(xt , Uĥ ) = −w(xt ) + R(xt , ∆Uĥ ) 6 −(λmin (W0 ) − ξ0 M )kx(t)k2 −dtZ0Z0(5.3)22− (λmin (W1 ) − ξ1 M ) kx(t + θ)k dθ − (λmin (W2 ) − ξ2 M ) kx(t + θ)k dθ.−1−hСледующее предположение гарантирует отрицательную определенность производной функционала v(ϕ, Uĥ ) вдоль решений системы (5.1); фактически, оно накладывает ограничение на близость между значениями ĥ и h. Это предположениедалее также будем считать выполненным.Предположение 5.4.
Справедливы неравенства:ξ0 M < λmin (W0 ),ξ1 M 6 λmin (W1 ),ξ2 M 6 λmin (W2 ).Неравенство (5.3) показывает, почему функционал v0 (ϕ, Uĥ ) не может бытьиспользован для анализа устойчивости системы (5.1): в его производной вместофункционала w(xt ) будет стоять xT (t)W x(t), поэтому ее отрицательную определенность нельзя будет гарантировать никаким выбором значения ĥ.125Замечание. Если добавить в функционал v(ϕ, Uĥ ) слагаемые, соответствующиефункционалу полного типа, и в предположении 5.4 заменить нестрогие неравенства на строгие, то для него можно доказать аналоги леммы 1.10 и теоремы 1.11.Другими словами, в определенном смысле — при выполнении предположений 5.1и 5.4 — новый функционал удовлетворяет теореме Красовского.5.2Модификация методов анализа устойчивостиНиже приведены основные результаты этой главы.
Они представляют собойне что иное, как теоремы главы 2, в которых использован новый функционалv(ϕ, Uĥ ). Теоремы сразу сформулированы в виде критериев.Теорема 5.5. Пусть выполнены предположения 5.1 и 5.4. Система (5.1) экспоненциально устойчива тогда и только тогда, когда существует µ > 0 такое,чтоv(ϕ, Uĥ ) > µkϕ(0)k2 ,ϕ ∈ S.Д о к а з а т е л ь с т в о. В условиях предположений 5.1 и 5.4 функционалv(ϕ, Uĥ ) существует, а его производная вдоль решений системы (5.1) отрицательно определена, причем для нее справедлива оценка (5.3). Из этой оценки, вчастности, следует, чтоw(xt ) − R(xt , ∆Uĥ ) > λmin (W0 ) − ξ0 M kx(t)k2 .(5.4)Необходимость.
Выберем функцию ϕ ∈ S. В доказательстве теоремы 2.3 показано, что существует δ > 0 такое, что для решения системы (5.1) с начальнойфункцией ϕ верна оценкаkx(t, ϕ)k >kϕ(0)k,20 6 t 6 δ.При этом величина δ зависит только от системы (5.1) и не зависит от ĥ. Далее, поаналогии с доказательством теоремы 2.3, в силу экспоненциальной устойчивости126системы (5.1), а также с учетом оценки (5.4), получимZ+∞hiv(ϕ, Uĥ ) =w xt (ϕ) − R xt (ϕ), ∆Uĥ dt > λmin (W0 ) − ξ0 M ×0Zδ×kx(t, ϕ)k2 dt > µkϕ(0)k2 ,λmin (W0 ) − ξ0 M δгде µ => 0,40что и требовалось.Достаточность.
В условиях теоремы для функционала v(ϕ, Uĥ ) справедлив аналог утверждения 2.1: система (5.1) не имеет собственных чисел, расположенныхна мнимой оси комплексной плоскости. Действительно, можно провести доказательство утверждения 2.1, заменив в нем равенство (2.1) на неравенствоv xH (ϕ), Uĥ − v ϕ, Uĥ 6 − λmin (W0 ) − ξ0 MZHkx(t, ϕ)k2 dt,H > 0,(5.5)0которое сразу следует из формулы (5.4).С учетом этого обстоятельства доказательство достаточности полностьюаналогично доказательству теоремы 2.4, с заменой в нем равенства (2.5) на неравенство (5.5).
Проведя доказательство, в случае вещественного λ̄ = α получимµ=λmin (W0 ) − ξ0 M> 0,2αа в случае комплексного λ̄ = α + iβ, где β 6= 0, будем иметьµ=λmin (W0 ) − ξ0 M> 0.4αТеорема доказана.Как и в главе 2, критерий неустойчивости является прямым следствиемкритерия экспоненциальной устойчивости:Теорема 5.6. Пусть выполнены предположения 5.1 и 5.4. Система (5.1) неустойчива тогда и только тогда, когда существуют µ > 0 и функция ϕ ∈ Sтакие, чтоv(ϕ, Uĥ ) 6 −µkϕ(0)k2 .127Как и теоремы главы 2, теоремы 5.5 и 5.6 дают конструктивный способ анализа экспоненциальной устойчивости и неустойчивости системы (5.1).
Действительно, функционал v(ϕ, Uĥ ) отличается от функционала полного типа толькоматрицей Ляпунова и тем, что некоторые из матриц Wj в нем считаются нулевыми. Поэтому методы, описанные в параграфе 4.1, могут быть примененык анализу устойчивости системы (5.1) практически без изменений: множество S,разбиение промежутка [−h, 0], векторы ϕb и p не зависят от значения ĥ и остаютсяпрежними. Меняются только матрицы Wj и матрица Ляпунова (во всех подынтегральных выражениях матрица U (τ ) заменяется на Uĥ (τ )), а также добавляютсяпредположения 5.1 и 5.4.
Таким образом, достаточное условие экспоненциальнойустойчивости системы (5.1) может быть записано в виде:hibbmin Λi (p, ϕ)b + Θi (p, ϕ)b − δbi + ζbi > 0,(i)(5.6)ϕ∈b SbNkpk=1b i, Θbiздесь индекс i принимает значения «lin» или «q», а квадратичные формы Λи числа δbi , ζbi отличаются от Λi , Θi и δi , ζi , формулы для которых приведены впараграфе 4.1, только матрицей Ляпунова и матрицами Wj . Зависимость условия(5.6) от значения ĥ содержится только в матрице Ляпунова.
При этом минимум(5.6) может быть вычислен конструктивно, поскольку он зависит от матрицыUĥ (τ ), построенной по системе с соизмеримыми запаздываниями.Перейдем к описанию сходимости такой модификации метода. Обозначимминимум (5.6) через z = z(h, ĥ, N), а величину δbi + ζbi — через δ = δ(h, ĥ, N),здесь N = (N1 , N2 )T . Сходимость метода основана на следующих утверждениях:Утверждение 5.7. При фиксированных значениях h и ĥ таких, что выполненыпредположения 5.1 и 5.4,δ(h, ĥ, N) −−−−→ 0.N→+∞Утверждение 5.8.
Если в некоторой окрестности значения h система (5.1)удовлетворяет условию Ляпунова, то существует значение ĥ такое, что предположение 5.4 выполнено.128Доказательство утверждения 5.7 отличается от доказательства леммы 4.7только максимумом матрицы Ляпунова, а утверждение 5.8 основано на непрерывности матрицы Ляпунова Uĥ (τ ) по своему аргументу. Действительно, в условияхутверждения максимум M стремится к нулю при ĥ → h, а величины ξ0 , ξ1 и ξ2 впредположении 5.4 от значения ĥ не зависят.Из утверждений 5.7 и 5.8 следует, что для любой экспоненциально устойчивой системы (5.1) найдутся значение ĥ и вектор N такие, чтоz(h, ĥ, N) > 0.Таким образом, свойство сходимости методов имеет тот же смысл, что и ранее:оно означает стремление области экспоненциальной устойчивости (в пространстве параметров), получаемой одним из методов, к точной области экспоненциальной устойчивости системы при ĥ → h, N → +∞.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
