Диссертация (1149186), страница 22

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 22)

Seville, Spain. 2005. P. 5060–5064.[71] Neimark Yu. I. Mathematical models in natural science and engineering. Springer,Berlin, Heidelberg, 2003. 575 p.[72] Niculescu S.-I. Delay effects on stability: a robust control approach. Springer,Heidelberg, 2001.

383 p.[73] Niculescu S.-I., Michiels W. Stabilizing a chain of integrators using multipledelays // IEEE Transactions on Automatic Control. 2004. Vol. 49 (5). P. 802–807.[74] Ochoa G., Kharitonov V. L., Mondie S. Critical frequences and parameters forlinear delay systems: A Lyapunov matrix approach // Systems & Control Letters.2013. Vol. 62.

P. 781–790.[75] Olgac N., Sipahi R. A comparative survey in determining the imaginarycharacteristic roots of LTI time delayed systems // 16th IFAC World Congress.Prague, Czech Republic. 2005. P. 390–399.[76] Pyrkin A., Bobtsov A., Kolyubin S., Vedyakov A., Borisov O., Gromov V.Stabilization of nonlinear system with input delay and biased sinusoidaldisturbance // 19th IFAC World Congress. Cape Town, South Africa. 2014.P.

12104–12109.[77] Richard J.-P. Time-delay systems: an overview of some recent advances and openproblems // Automatica. 2003. Vol. 39. P. 1667–1694.140[78] Sipahi R., Niculescu S.-I., Abdallah C. T., Michiels W., Gu K. Stability andstabilization of systems with time delay: limitations and opportunities // IEEEControl Systems Magazine. 2011.

Vol. 31 (1). P. 38–65.[79] Stépán G. Retarded dynamical systems: stability and characteristic functions.Wiley, New York, 1989. 151 p.[80] Villafuerte R., Mondié S., Garrido R. Tuning of proportional retarded controllers:theory and experiments // IEEE Transactions on Control System Technology.2013. Vol. 21 (3). P. 983–990.[81] Zaika Yu. V. Interval estimates of functionals in time-delay systems withuncertainty // International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences.2003. № 56. P.

3573–3590.141Приложение А. Формулы методов для систем скратными запаздываниямиРассмотрим частный случай системы (1.1) — систему с кратными запаздываниямиẋ(t) =mXAj x(t − jh),j=0где h — базовое запаздывание. Разобьем отрезок [−h, 0] на N равных частейhдлины ∆ =и обозначим точки дробления отрезка [−mh, 0], соответствующиеNтакому разбиению, черезθj = −j∆,j = 0, mN .Здесь разбиение имеет только один параметр — N — в отличие от рассмотренногов параграфе 4.1.Приведем окончательные формулы методов для систем с кратными запаздываниями. Во-первых, они более просты и удобны в применении, чем соответствующие формулы, полученные в параграфе 4.1.

Во-вторых, эффективный способ вычисления матрицы Ляпунова, от которой зависят окончательные формулыкаждого из методов, известен только для систем с кратными запаздываниями(см. приложение Б). Заметим, что любая система с попарно соизмеримыми запаздываниями может быть сведена к рассматриваемой системе с кратными.Кусочно-линейное приближение. Кусочно-линейное приближение функции ϕ ∈ S2 зададим формулой (3.4), как и в параграфе 3.1, с той оговоркой, чтоϕ — векторная функция и j = 0, mN − 1. Введем векторыTTTp = ϕ(0), ϕb = ϕ (θ1 ), .

. . , ϕ (θmN ) .Составляющие вектора ϕb обозначим через ϕb (j) = ϕ(θj ), j = 1, mN , а его компоb равна mnN.ненты — через ϕbi , i = 1, mnN . Размерность вектора ϕФункционал (1.5) на множестве функций ϕ ∈ S2 допускает оценку снизуv0 (ϕ) > pT (Λl1 − δl E)p + 2pT Λl2 ϕb+ϕbT Λl3 ϕb = Λl (p, ϕ)b − δl kpk2 .142Здесь Λl1 , Λl2 и Λl3 — матрицы размерностей n × n, n × mnN и mnN × mnNсоответственно, элементы которых могут быть найдены из представления" m N j−1mmm XXXXXΛl (p, ϕ)b = pT U (0) + 2Pk,j,N k,N j p + 2pTLj,N j +Ljr ++mXj=1 r=1k=1 j=1j=1Pk,j,N k,r ϕb (N j−r) +Nj m XXMjr +j=1 r=1k=1+j−1hm NXk−1 Nm XXXϕbmX#Qk,j,N k,r ϕb (N j−r+1) +k=1(N k−r1 )iTPkjr1 r2 ϕb (N j−r2 ) +k=1 j=1 r1 =1 r2 =1+2Nj hm Xm NXk−1 XXϕb(N k−r1 )iTQkjr1 r2 ϕb (N j−r2 +1) +k=1 j=1 r1 =1 r2 =1+Nj hm Xm XNk XXϕb(N k−r1 +1)iTRkjr1 r2 ϕb (N j−r2 +1) ,гдеk=1 j=1 r1 =1 r2 =1Z0Ljr =sU (−s − r∆) 1 +ds Aj ,∆Z0Mjr = −sU (−s − r∆) ds Aj ,∆−∆−∆Pkjr1 r2 =ATkZ0 Z0s2 s1 b1+ds1 ds2 Aj ,Ur1 r2 (s1 , s2 ) 1 +∆∆−∆ −∆Qkjr1 r2 =−ATkZ0 Z0−∆ −∆Z0Rkjr1 r2 = ATks1 s2bUr1 r2 (s1 , s2 ) 1 +ds1 ds2 Aj ,∆ ∆Z0br r (s1 , s2 ) s1 s2 ds1 ds2 Aj ,U1 2∆2−∆ −∆br r (s1 , s2 ) = U s1 − s2 + (r1 − r2 )∆ .U1 2Далее, δl — скалярная величина, определяемая формулой0ZNjm X√ Xδl = 2C nkAj k U (−s − r∆)(s2 − s∆)ds+j=1 r=1+NjNk Xm Xm XXk=1 j=1 r1 =1 r2 =1−∆Z0 Z0√br r (s1 , s2 )(s22 − s2 ∆)ds1 ds2 +UkAk kkAj k 2C n1 2−∆ −∆143+ C 2nZ0 Z02Xm 21br r (s1 , s2 )(s1 − s1 ∆)(s22 − s2 ∆)ds1 ds2 , здесь C =UkAl k .1 22l=0−∆ −∆Кусочно-кубическое приближение.

Будем использовать кусочно-кубическое приближение функции ϕ ∈ S4 , заданное формулой (3.14), вновь с оговоркой о том, что ϕ — вектор-функция и j = 0, mN − 1. Выражения для функцийgi (s), от которых зависит приближение, и функции f (s), определяющей оценкупогрешности, приведены на с. 64 и 65 соответственно.

Зададим векторыp = ϕ(0), 0 T 0T 0T Tϕb = ϕ (θ1 ), . . . , ϕ (θmN ), ϕ (0) , ϕ (θ1 ) , . . . , ϕ (θmN ).TTВектор ϕb состоит из 2mN + 1 векторов, для которых введем обозначенияϕb (j) = ϕ(θj ),j = 1, mN , ϕb (mN +j+1) = ϕ0 (θj ), j = 0, mN ,и имеет размерность n(2mN + 1).На множестве функций ϕ ∈ S4 функционал (1.5) допускает оценкуv0 (ϕ) > pT (Λq1 − δq E)p + 2pT Λq2 ϕb+ϕbT Λq3 ϕb = Λq (p, ϕ)b − δq kpk2 ,где Λq1 , Λq2 и Λq3 — матрицы размерностей n × n, n × n(2mN + 1) и n(2mN + 1) ××n(2mN + 1) соответственно," m N j−1mm XmXXXX11TΛq (p, ϕ)b = pT U (0) + 2L1j,N j +Rk,j,Np+2pL1jr +k,N jj=1+mXj=1 r=1k=1 j=1N j m XmXX1112Rk,j,Nb (N j−r) +L2jr +Rk,j,Nb (N j−r+1) +k,r ϕk,r ϕj=1 r=1k=1k=1#mmXX1314+ L3jr +Rk,j,Nb (N (m+j)−r+1) + L4jr +Rk,j,Nb (N (m+j)−r+2) +k,r ϕk,r ϕk=1k=1+j−1hm Xm NXk−1 NXXϕb(N k−r1 )iT11Rkjrϕb (N j−r2 ) +1 r2k=1 j=1 r1 =1 r2 =1+2"Nj hm Xm NXk−1 XXk=1 j=1 r1 =1 r2 =1ϕb (N k−r1 )iT12Rkjrϕb (N j−r2 +1) +1 r2144#hiThiT1314+ ϕb (N k−r1 ) Rkjrϕb (N (m+j)−r2 +1) + ϕb (N k−r1 ) Rkjrϕb (N (m+j)−r2 +2) +1 r21 r2"Nj hm XNk Xm XiTX(N k−r1 +1)22ϕbRkjrϕb (N j−r2 +1) ++1 r2k=1 j=1 r1 =1 r2 =1hiThiT(N k−r1 +1)23(N (m+j)−r2 +1)(N k−r1 +1)24+2 ϕbRkjr1 r2 ϕb+2 ϕbRkjrϕb (N (m+j)−r2 +2) +1 r2hiT(N (m+k)−r1 +1)33+ ϕbRkjrϕb (N (m+j)−r2 +1) +1 r2hiT(N (m+k)−r1 +1)34+2 ϕbRkjrϕb (N (m+j)−r2 +2) +1 r2#hiT44+ ϕb (N (m+k)−r1 +2) Rkjrϕb (N (m+j)−r2 +2) , здесь1 r2Lijr =Z0U (−s − r∆)gi (s)ds Aj ,i = 1, 4,−∆i1 i2Rkjr= ATk1 r2Z0 Z0br r (s1 , s2 )gi (s1 )gi (s2 )ds1 ds2 Aj ,U1 212i1 = 1, 4,i2 = i1 , 4.−∆ −∆Наконец,0ZNjm X√ Xe nδq = 2CkAj k U (−s − r∆)f (s)ds+j=1 r=1+NjNk Xm Xm XX−∆Z0 Z0√e nbr r (s1 , s2 )×UkAk kkAj k 2C1 2k=1 j=1 r1 =1 r2 =1−∆ −∆s1× 1 − K (s1 + ∆) f (s2 )ds1 ds2 +∆00Z ZmXK42e nbr r (s1 , s2 )f (s1 )f (s2 )ds1 ds2 , K =eU.+CkAk,C=l1 224−∆ −∆l=0Поскольку система с кратными запаздываниями — частный случай системы (1.1),к приведенным оценкам применимы все утверждения пунктов 4.1.1 и 4.1.2.

Вместе с тем, когда m не очень велико, применение формул, представленных в этомприложении, позволяет уменьшить объем вычислений за счет меньшего количества суммирований и более удобного аргумента матрицы Ляпунова.145Приложение Б. Вычисление матрицы Ляпунова ипрограммная реализация алгоритмов в MATLABВычисление матрицы Ляпунова. Проверка конструктивных условийэкспоненциальной устойчивости и неустойчивости, полученных в диссертации,предполагает вычисление матрицы Ляпунова. Кратко опишем используемый нами для этой цели «полуаналитический» метод, предложенный в работе [45].Введем обозначения. Пусть vec(Q) — вектор размерности n2 , образованный последовательным соединением столбцов матрицы Q = qij i,j=1,n ; другими словами, элемент qij матрицы Q находится на позиции (j − 1)n + i вектора vec(Q).Далее, через A ⊗ B будем обозначать прямое (кронекеровское) произведение мат риц A = aij i,j=1,n и B = bij i,j=1,n .

Оно представляет собой блочную матрицу A ⊗ B = Rij i,j=1,n размерности n2 × n2 , где Rij = bji A, i, j = 1, n. Напомним,что, по свойствам прямого произведения, vec(AQB) = A ⊗ B vec(Q).Итак, требуется найти решение системы матричных уравнений (1.7). Предположим, что система (1.1) имеет кратные запаздывания, т. е. hj = jh, j = 1, m,где h — базовое запаздывание, и введем вспомогательные матрицыXj (τ ) = U (jh + τ ),τ ∈ [0, h],j = −m, m − 1.Перепишем совокупность уравнений (1.7) в терминах этих матриц — получимсистему (матричных) обыкновенных дифференциальных уравненийXj0 (τ )=mXXj−k (τ )Ak ,j = 0, m − 1,k=00X−j(τ )=−mXATk X−j+k (τ ),j = 1, m,k=0с граничными условиямиXj (0) = Xj−1 (h), j = −m + 1, m − 1,m−1iXhX−j (0)Aj + ATj Xj (0) + X−m (0)Am + ATm Xm−1 (h) = −W.j=0146Задача вычисления матрицы Ляпунова сводится к решению этой системы.Пусть xj (τ ) = vec Xj (τ ) , j = −m, m − 1.

Применив к каждому из имеющихся матричных соотношений операцию векторизации, получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями:z 0 (τ ) = Lz(τ ),z(0) = z0 .TЗдесь z(τ ) = xT−m (τ ), . . . , xTm−1 (τ ) , вектор z имеет размерность 2mn2 . Блочная матрица L = Lij i,j=1,2m формируется по правилуLij = −Mj−i ,Lm+i,j = Km+i−j ,i = 1, m,j = i, m + i,где Kj = E ⊗ Aj , Mj = ATj ⊗ E, j = 0, m, и Lij = 0n2 ×n2 при остальных i и j. Далее, вектор z0 является решением системы линейных алгебраических уравненийTGz0 = G0 , где G0 = 0, . .

. , 0, −vec(W )T — вектор размерности 2mn2 , а матри ца G = Gij i,j=1,2m задана следующим образом. Запишем матрицу H = eLh в виде блочной матрицы: пусть H = Hij i,j=1,2m . ТогдаHij , i = 1, 2m − 1, j = 1, 2m, j 6= i + 1,H − En2 , i = 1, 2m − 1, j = i + 1, ijGij =Km+1−j + Mm H2m,j , i = 2m, j = 1, m,K0 + M0 + Mm H2m,m+1 , i = 2m, j = 2m + 1, Mj−m−1 + Mm H2m,j , i = 2m, j = m + 2, 2m,здесь En2 — единичная матрица размерности n2 × n2 . Таким образом,z(τ ) = eLτ z0 ,откуда искомая матрица Ляпунова может быть получена выполнением операции, обратной операции векторизации.

Отметим, что описанный метод формально позволяет вычислить матрицу Ляпунова для любой системы с соизмеримымизапаздываниями, для которой она существует, но не является эффективным прибольших m.147О программной реализации алгоритмов главы 4. Приведем краткое описание программной реализации на примере алгоритма, основанного накусочно-линейной аппроксимации и применимого к системам с кратными запаздываниями (см. пункт 4.1.1 и приложение А).

Характеристики

Список файлов диссертации