Диссертация (1149186), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Как и в параграфе 4.2, можно сформулировать сходимость в терминах критических запаздываний системы ииспользовать ее для нахождения критических запаздываний. Мы не будем этогоделать и завершим изложение примером, иллюстрирующим применение описанной модификации метода.Пример 5.9. Рассмотрим уравнениеẋ(t) = −x(t) + b x(t − 1) + c x(t − h),где b, c — постоянные коэффициенты, h =√(5.7)5/2 — иррациональное запаздывание.Сначала положим b = 1, c = −1. Выберем ĥ = 23/20 = 1,15, N1 = 10,N2 = 2.
C такими параметрами, с использованием кусочно-линейного приближения, получим z(h, ĥ, N) > 0 : метод гарантирует экспоненциальную устойчивостьуравнения (5.7).Теперь будем искать область экспоненциальной устойчивости уравнения(5.7) в пространстве параметров b и c. Как и в примерах параграфа 4.3, сначала применим метод D–разбиения. Границы D–разбиения задаются уравнениями129b+c=1 иb=1(sin ω + ω cos ω) cos ωh+,cos ωsin(ω(h − 1)) cos ωsin ω + ω cos ω,c=−sin(ω(h − 1))на рисунке 5.1 они изображены линиями. Ясно, что область, содержащая точку (0, 0), является областью экспоненциальной устойчивости уравнения (5.7), аостальные области, содержащие отрезки прямых b = 0 и c = 0, являются областями неустойчивости.
Метод D–разбиения не дает информацию о свойствеустойчивости уравнения (5.7) в других областях, изображенных на рисунке 5.1.Рис. 5.1 — Пример 5.9, ĥ =28, N1 6 150, N2 6 70, кусочно-линейное приближение25Применим теперь модификацию метода, описанную в этом параграфе.Пусть ĥ = 28/25 ≈ 1,12. Изолированные точки на рисунке 5.1 соответствуют значениям параметров b и c, при которых экспоненциальная устойчивостьуравнения (5.7) гарантирована нашим методом.
Точки получены при различныхзначениях N1 6 150 и N2 6 70; использовалось кусочно-линейное приближение.130ЗаключениеРабота посвящена анализу экспоненциальной устойчивости линейных стационарных систем с несколькими сосредоточенными запаздываниями. В нейпредлагается новый подход к анализу устойчивости, объединяющий метод функционалов Ляпунова – Красовского и метод Разумихина.
Получены критерииэкспоненциальной устойчивости и неустойчивости, выраженные в терминах существования для функционалов Ляпунова – Красовского квадратичных оценокна множестве функций, удовлетворяющих аналогу условия Разумихина. Этикритерии конструктивны: на их основе в диссертации разработана группа методов анализа экспоненциальной устойчивости и неустойчивости, которые сводятисследование устойчивости к решению задачи квадратичной минимизации. Длякаждого из методов приведено подробное обоснование и окончательные формулы.
Методы реализованы в программной среде MATLAB. Они применяются вработе к оценке областей экспоненциальной устойчивости и неустойчивости впространстве параметров, к оценке критических параметров систем, в частности, критических запаздываний и запаса устойчивости. Поскольку для систем снесоизмеримыми запаздываниями такой подход неприменим — отсутствуют эффективные методы построения матрицы Ляпунова, определяющей используемыйфункционал, — для таких систем предлагается модификация функционала. Сиспользованием этой модификации доказаны конструктивные критерии экспоненциальной устойчивости и неустойчивости систем с несоизмеримыми запаздываниями, аналогичные критериям, полученным в общем случае.Предлагаемый подход в дальнейшем может быть применен к анализуустойчивости линейных систем с распределенным запаздыванием, нелинейныхдифференциально-разностных систем, а также к решению задачи анализа исинтеза систем управления.131Литература[1] Беллман Р., Кук К.
Дифференциально-разностные уравнения / Пер. с англ.Под ред. Л. Э. Эльсгольца. М., 1967. 548 с.[2] Бобцов А. А., Пыркин А. А. Компенсация гармонического возмущения в условиях запаздывания по управлению // Известия Российской академии наук.Теория и системы управления. 2008. № 4. С. 19–23.[3] Галахова М. Е., Кириллов А. Н. Управление линейной системой со структурными изменениями // Труды КарНЦ РАН. Сер. Математическое моделирование и информационные технологии. 2012.
Вып. 3. № 5. С. 18–21.[4] Егоров А. В. Новые условия экспоненциальной устойчивости линейных систем с запаздыванием: дис. ... канд. физ.-мат. наук. СПб., 2013. 135 с.[5] Жабко А. П., Медведева И. В. Алгебраический подход к анализу устойчивости дифференциально-разностных систем // Вестник Санкт-Петербургскогоуниверситета. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессыуправления. 2011. Вып. 1. С.
9–20.[6] Жабко А. П., Медведева И. В. Конструктивный подход к анализу положительной определенности квадратичных функционалов Ляпунова – Красовского // Проблемы дифференциальных уравнений, анализа и алгебры: Материалы VII международной конференции. Актобе, 2012. С. 52–56.132[7] Жабко А. П., Медведева И. В. Модификация функционала Ляпунова –Красовского для линейных систем с несоизмеримыми запаздываниями //Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий: сборник трудов VII международной конференции«ПМТУКТ-2014» / под ред.
И. Л. Батаронова, А. П. Жабко, В. В. Провоторова. Воронеж: Изд. «Научная книга», 2014. С. 141–143.[8] Заика Ю. В. Интегральные операторы прогнозирования и идентификациямоделей водородопроницаемости. Петрозаводск: КарНЦ РАН, 2013. 505 с.[9] Заика Ю. В., Борматова Е. П. Параметрическая идентификация модели водородопроницаемости по временам запаздывания // Журнал техническойфизики. 2010.
Т. 80. Вып. 3. C. 31–39.[10] Зубов В. И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975. 496 с.[11] Зубов В. И. К теории линейных стационарных систем с запаздывающим аргументом // Известия вузов. Математика. 1958. № 6. С. 86–95.[12] Зубов В. И. Колебания и волны. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1989. 416 с.[13] Кабанов С. А., Никулин Е. Н., Якушев Б. Э., Якушева Д. Б. Управление перемещением груза мостовым краном по методу обратных задач динамики //Известия вузов.
Приборостроение. 2011. № 12. С. 30–33.[14] Квитко А. Н., Якушева Д. Б. Алгоритм построения кусочно-постоянного синтезирующего управления при решении граничной задачи для нелинейной стационарной системы // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика. 2012.
№ 1.С. 138–145.[15] Квитко А. Н., Якушева Д. Б. Решение граничной задачи для нелинейнойстационарной управляемой системы на бесконечном промежутке времени с133учетом дискретности управления // Информационно-управляющие системы.2011. № 6. С. 25–29.[16] Кириллов А. Н. Стабилизация управляемых динамических систем за конечное время // Труды КарНЦ РАН. Серия: Математическое моделирование иинформационные технологии. 2013. Вып.
4. № 1. C. 68–72.[17] Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Физматлит, 2004. 572 с.[18] Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Гос.изд-во физ.-мат. литературы, 1959. 211 с.[19] Красовский Н. Н. О применении второго метода Ляпунова для уравнений сзапаздываниями времени // Прикладная математика и механика.
1956. Т. 20.№ 3. С. 315–327.[20] Красовский Н. Н. Об аналитическом конструировании оптимального регулятора в системе с запаздываниями времени // Прикладная математика имеханика. 1962. Т. 26. Вып. 1. C. 39–51.[21] Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. М.–Л.: ГИТТЛ,1950. 472 с.[22] Медведева И.
В. Анализ устойчивости линейного дифференциального уравнения с двумя несоизмеримыми запаздываниями // Процессы управления иустойчивость. 2014. Т. 1 (17). С. 21–25.[23] Медведева И. В. Интегральный метод анализа устойчивости линейных систем с запаздыванием // Труды XII Всероссийского совещания по проблемам управления «ВСПУ-2014» / М.: Институт проблем управления им. В.
А.Трапезникова РАН, 2014. С. 1317–1325.134[24] Медведева И. В. Модификация алгебраического метода исследования устойчивости дифференциально-разностных уравнений // Процессы управленияи устойчивость: Труды 42-й международной научной конференции аспирантов и студентов / под ред. А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
