Диссертация (1149186), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Наша цель — квадратичная оценкаснизу для функционала (3.20). Для получения такой оценки будем использоватьте же приближения, что и ранее — кусочно-линейное и кусочно-кубическое приближения. Соответствующая оценка для функционала v0 получена в предыдущихпараграфах, и остается оценить лишь последнее слагаемое, которое появляется вфункционале полного типа. Обозначим это слагаемое через I4 и преобразуем его:Z0NX 2w1 + (h + θ)w2 ϕ (θ)dθ =−hj=1I4 =−(NZ −j)∆w1 + (h + θ)w2 ϕ2 (θ)dθ =−(N −j+1)∆0N ZX=w1 + (s + j∆)w2 ϕ2 (s + θN −j )ds.j=1 −∆3.4.1Кусочно-линейное приближениеПодставим кусочно-линейное приближение (3.4) функции ϕ ∈ S2 в выражение для слагаемого I4 . Получим, что, как и каждое слагаемое функционала v,слагаемое I4 представимо в виде суммы I4 = Θl + Υl4 , где Θl — значение выраже-74ния I4 на функции ϕ = l :Θl =N hXTj1 ϕ2 (θN −j )2Tj2 ϕ(θN −j )ϕ(θN −j+1 )++iTj3 ϕ2 (θN −j+1 ),здесьj=1Tj1Z0=s 2ds,w1 + (s + j∆)w2 1 +∆−∆Tj2Z0=−ssds,w1 + (s + j∆)w2 1 +∆ ∆Tj3Z0= s2w1 + (s + j∆)w2 2 ds,∆−∆−∆а Υl4 , как обычно, обозначает группу слагаемых, зависящих от погрешности приближения η :0N ZXw1 + (s + j∆)w2 ×Υl4 =j=1 −∆h iss× 2 1+ϕ(θN −j ) − 2 ϕ(θN −j+1 ) + η(s + θN −j ) η(s + θN −j )ds.∆∆Преобразования, аналогичные проделанным на с.
57, приводят к следующей оценке снизу величины Υl4 :Υl4 > −ζl ϕ2 (0),гдеN Z0X 22c 21ζl = 2cw1 + (s + j∆)w2 (s − s∆) 1 + (s − s∆) ds, c = |a| + |b| .22j=1−∆Объединим полученное представление слагаемого I4 с представлением (3.6):el + Υe l,v(ϕ) = Λe l = v(l) = Λl + Θl ,Λe l = Υl2 + Υl3 + Υl4 .ΥТаким образом, функционал полного типа (3.20) допускает оценкуe l − (δl + ζl )ϕ2 (0).v(ϕ) > Λ(3.21)Выражение для величины δl , участвующей в этой оценке, приведено на с. 57, аматрица Ляпунова u(τ ), от которой зависят Λl и δl , ассоциирована здесь с числомw = w0 + w1 + hw2 , в отличие от той же матрицы в параграфе 3.1.75Оценка снизу для функционала полного типа получена, и, конечно, онаявляется квадратичной формой относительно того же вектора ξb = (p, ϕb T )T , чтои в параграфе 3.1 (см.
с. 58). Осталось привести эту оценку к виду, удобномудля формулировки легко проверяемого достаточного условия устойчивости. Дляэтого, следуя логике изложения параграфа 3.1, выделим в выражении для Θlслагаемые, зависящие от p :Θl = p2TN1+2p TN2ϕb1 +N−1hXTj1 ϕbN2 −j+2Tj2 ϕbN −jiϕbN −j+1 +NXj=1Tj3 ϕbN2 −j+1 .j=1Теперь окончательно ясно, что структура оценки (3.21) совпадает со структуройоценки (3.8), и можно записатьel − δl − ζl )p2 + 2pΛe l2 ϕe l3 ϕ,v(ϕ) > (λb+ϕbT Λb1ϕ ∈ S2 ,el = λl + T 1 , а строка Λe l3 размерности N × Ne l2 размерности N и матрица Λгде λ11Nотличаются от строки Λl2 и матрицы Λl3 добавлением в соответствующие элементыновых слагаемых, определяемых формулой для Θl , и матрицей Ляпунова.Теорема 3.9. Если существует значение N такое, что llT ele − δl − ζl ) + 2Λemin (λϕb+ϕbΛϕb> 0,123(l)ϕ∈b SbN(l)где множество SbN определено в теореме 3.1 на с.
59, то уравнение (3.1) экс-поненциально устойчиво.3.4.2Кусочно-кубическое приближениеТеперь оценим слагаемое I4 , используя кусочно-кубическое приближение(3.14), рассмотренное в параграфе 3.2. Поскольку все преобразования здесь полностью аналогичны преобразованиям, проделанным в параграфах 3.1, 3.2 и впредыдущем пункте, приведем сразу окончательные формулы.76Введем коэффициентыSjil =Z0w1 + (s + j∆)w2 gi (s)gl (s)ds,i = 1, 4,l = i, 4,j = 1, N .−∆Функционал (3.20) допускает оценку снизуe q − (δq + ζq )ϕ2 (0),v(ϕ) > Λe q = v(q) = Λq + Θq ,где ΛN hXSj11 ϕ2 (θN −j ) + 2Sj12 ϕ(θN −j )ϕ(θN −j+1 ) + 2Sj13 ϕ(θN −j )ϕ0 (θN −j )+Θq =j=1+ 2Sj14 ϕ(θN −j )ϕ0 (θN −j+1 ) + Sj22 ϕ2 (θN −j+1 ) + 2Sj23 ϕ(θN −j+1 )ϕ0 (θN −j )+2+ 2Sj24 ϕ(θN −j+1 )ϕ0 (θN −j+1 ) + Sj33 ϕ0 (θN −j ) + 02 i34 0044+ 2Sj ϕ (θN −j )ϕ (θN −j+1 ) + Sj ϕ (θN −j+1 ) ,N Z0 eih s2Xcw1 + (s + j∆)w2 f (s) 1 + K − − s + f (s) ds.ζq = 2ec∆2j=1−∆41|a| + |b| , K = |a| + |b|,24величина δq получена на с.
67, а Λq допускает представление (3.17), при этомЗдесь использованы обозначения параграфа 3.2: ec=матрица Ляпунова в выражениях для δq и Λq ассоциирована с w = w0 + w1 + hw2 .Оценка вновь представляет собой квадратичную форму относительно вектора(p, ϕb T )T , где p = ϕ(0), а вектор ϕb введен на с. 68. В терминах этого вектора длягруппы слагаемых Θq справедливо выражениеΘq = SN11 p2 + 2p SN12 ϕb1 + SN13 ϕbN +1 + SN14 ϕbN +2 ++N−1hXSj11 ϕbN2 −j+2Sj12 ϕbN −j ϕbN −j+1+2Sj13 ϕbN −j ϕb2N −j+1+2Sj14 ϕbN −j ϕb2N −j+2j=1N hX+Sj22 ϕbN2 −j+1 + 2Sj23 ϕbN −j+1 ϕb2N −j+1 + 2Sj24 ϕbN −j+1 ϕb2N −j+2 +j=12+Sj33 ϕb2N−j+1+2Sj34 ϕb2N −j+1 ϕb2N −j+2+2Sj44 ϕb2N−j+2i,а окончательную оценку функционала можно записать в видеeq − δq − ζq )p2 + 2pΛeqϕe q ϕ,v(ϕ) > (λbT Λ12b+ ϕ3bϕ ∈ S4 ,i+77eq , Λeq и Λe q — соответственно число, строка размерности 2N + 1 и матрицаздесь λ123размерности (2N + 1) × (2N + 1), полученные так же, как в предыдущем пункте.Теорема 3.10.
Если существует значение N такое, что qT eqe − δq − ζq ) + 2Λeqϕmin (λb+ϕbΛϕb> 0,123(q)ϕ∈b SbN(q)где множество SbN определено в теореме 3.5 на с. 69, то уравнение (3.1) экс-поненциально устойчиво.Достаточные условия неустойчивости с использованием функционала полного типа (3.20) могут быть получены полностью аналогично.3.5ПримерыВ этом параграфе мы проиллюстрируем методы, описанные в параграфах 3.1–3.4, на примерах: применим их к оценке областей экспоненциальнойустойчивости и неустойчивости уравнения (3.1) в пространстве параметров a иb, а затем рассмотрим еще две задачи.Область экспоненциальной устойчивости уравнения (3.1) в пространстве параметров a и b хорошо известна: она описывается неравенствами (см., например, [1], с.
484)a<1hи a < −b <ω,sin(ωh)где ω — корень уравнения a = ω ctg ωh такой, что 0 < ω < π/h, и ω = π/2h приa = 0. На рисунках 3.1 и 3.2 граница этой области, при h = 1, изображена линией.А изолированные точки на этих рисунках соответствуют парам значений (a, b),для которых — при фиксированном N — выполнено условие теоремы 3.1 (рис. 3.1)или 3.5 (рис. 3.2).
Как и ожидалось, использование кусочно-кубического приближения дает лучший результат, чем использование кусочно-линейного. Крометого, видно, что с увеличением N получаемые нашими методами области приближаются к точной области экспоненциальной устойчивости уравнения (3.1).78абвРис. 3.1 — Область экспоненциальной устойчивости уравнения (3.1), кусочно-линейноеприближение: (а) N = 3; (б) N = 10; (в) N = 20абРис. 3.2 — Область экспоненциальной устойчивости уравнения (3.1), кусочно-кубическоеприближение: (а) N = 10; (б) N = 20абРис.
3.3 — Область неустойчивости уравнения (3.1), кусочно-линейное приближение:(а) N = 10; (б) N = 2079Аналогичная картина наблюдается для областей неустойчивости (см. рис. 3.3).Предположим, что уравнение (3.1) экспоненциально устойчиво при h = 0.Обозначим его критическое значение запаздывания — то значение, при которомуравнение теряет свойство экспоненциальной устойчивости, — через h̄; критическое значение h̄ может быть конечным или равным +∞. Рассмотрим две задачи.Задача 3.11. Для фиксированных a, b и N найти максимальное (с точностьюдо 0,001) значение hN такое, что условие теоремы 3.1 или 3.5 выполнено приh ∈ [0, hN ] (см. таблицу 3.1).Таблица 3.1 — Задача 3.11: значения hNa, b, Na = −1, b = −1a = −0,5, b = −1a = 0, b = −1Приближениелин.куб.лин.куб.лин.куб.N =10,4990,7720,5620,9340,6571,227N =31,0131,6791,1081,8281,2431,5707N =51,3082,3341,3712,1841,4481,5707N = 101,8343,6631,7362,3881,57071,5707N = 202,5305,632,0682,4171,57071,5707h̄+∞≈ 2,418≈ 1,5708Задача 3.12.
Для фиксированных a, b и h < h̄ найти значение N, при которомвыполнено условие теоремы 3.1 или 3.5 (см. таблицу 3.2).В таблице 3.2 значение N = N1 соответствует применению кусочно-линейного (теоремы 3.1), а значение N = N3 — кусочно-кубического приближения(теоремы 3.5). В обеих задачах использование кусочно-кубического приближения позволяет существенно улучшить результаты, полученные с использованиемкусочно-линейного.Таблицы 3.1 и 3.2 хорошо иллюстрируют важное свойство предлагаемыхметодов, которое мы называем сходимостью. Значения hN , приведенные в таблице 3.1, — те запаздывания, при которых методы гарантируют экспоненциальную устойчивость соответствующих уравнений, — стремятся с возрастанием N к80Таблица 3.2 — Задача 3.12: значения N1 и N3a = −1,b = −1h̄ = +∞h122,533,544,55N1313203042567495N3246810121517a = −0,5,hb = −1h̄ ≈ 2,4181 1,5 1,9 2,1 2,32,42,4152,417N137142243117260393N3224571218h̄ = +∞20a = −2,b = −1h122,533,544,55N1412172228344148N3257910121416критическим запаздываниям.
Второй пример в таблице 3.2 показывает, что длялюбого запаздывания, меньшего h̄, как бы близко оно ни было к критическому,найдется значение N, гарантирующее выполнение условия соответствующей теоремы. Сходимость будет строго сформулирована и доказана в параграфе 4.2 —для системы (1.1).Проиллюстрируем утверждение 3.3 — оценку параметра N = N1 в таблице 3.2. Рассмотрим первый пример: пусть a = −1, b = −1.
При h = 1 утверждение 3.3 дает значение N = 12, при h = 2 — значение N = 58, при h = 2,5 —значение N = 101. Видно, что каждый раз получается грубая оценка параметраN. Однако для того, чтобы получить эту оценку, не нужно вычислять минимум(3.9), а смысл утверждения 3.3 был пояснен на с.
63. Это утверждение связаносо свойством сходимости методов.81Глава 4Конструктивные методы анализаустойчивости. Общий случайВернемся к рассмотрению системы (1.1). Настоящая глава посвящена обобщению на этот случай конструктивных процедур анализа экспоненциальнойустойчивости и неустойчивости, изложенных в предыдущей главе. В первом параграфе главы приводится описание методов; при этом отличия от результатовглавы 3 носят, в основном, технический характер, а идея остается прежней. Поэтому первая модификация метода, основанная на кусочно-линейной аппроксимации(п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
