Диссертация (1149186), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Тогда для любой положительно-определенной матрицы W существуетфункционал v0 (ϕ) такой, чтоdv0 (xt )1.= −xT (t)W x(t) вдоль решений системы (1.1);dt462. существует µ > 0 и нетривиальная функция ϕ ∈ S такие, чтоv0 (ϕ) 6 −µkϕ(0)k2 .Д о к а з а т е л ь с т в о. Поскольку выполнено условие Ляпунова, существует функционал (1.5), для которого первое утверждение теоремы выполнено попостроению (см. пункт 1.2.1).
Далее, система (1.1) неустойчива, но удовлетворяет условию Ляпунова — значит, она имеет собственное число с положительнойвещественной частью. В доказательстве теоремы 2.4 уже показано, что из этогоследует второе условие теоремы 2.5. Теорема доказана.Теорема 2.6. Пусть задана положительно-определенная матрица W и существует непрерывный в нуле функционал v0 (ϕ) (v0 (0h ) = 0), удовлетворяющийусловиям:dv0 (xt )1.= −xT (t)W x(t) вдоль решений системы (1.1);dt2.
существует µ > 0 и нетривиальная функция ϕ ∈ S такие, чтоv0 (ϕ) 6 −µkϕ(0)k2 .Тогда система (1.1) неустойчива.Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно утверждению 2.1, в условиях теоремы система не может иметь собственных чисел, расположенных на мнимой оси. Значит,для доказательства неустойчивости нужно показать существование собственногочисла с положительной вещественной частью. Однако предположение об отсутствии такого собственного числа немедленно приводит к выводу об экспоненциальной устойчивости системы, что, согласно теореме 2.3, противоречит второмуусловию теоремы.
Теорема доказана.Замечание 1. В теореме 2.6, вообще говоря, не доказано выполнение условияЛяпунова, т. е. из нее не следует, что функционал v0 имеет вид (1.5), в отличиеот теоремы 2.4.47Замечание 2. Теоремы 2.3–2.6 дают полную картину экспоненциальной устойчивости и неустойчивости системы (1.1), за исключением того случая, когда невыполнено условие Ляпунова.
В главах 3 и 4 будет показано, что эти теоремыконструктивны: на их основе можно предложить численную процедуру анализа экспоненциальной устойчивости и неустойчивости системы (1.1). Конечно, этачисленная процедура предполагает, что условие Ляпунова выполнено. Отметимтакже, что в предположении о выполнении условия Ляпунова и теоремы об экспоненциальной устойчивости, и теоремы о неустойчивости можно сформулироватьв виде необходимых и достаточных (а не отдельно необходимых и отдельно достаточных) условий для произвольной, но заданной матрицы W. В такой идеологиианалоги этих теорем сформулированы в параграфе 2.5.2.4Модификация множества SДля разработки численных процедур анализа экспоненциальной устойчивости и неустойчивости системы (1.1), основанных на теоремах 2.3–2.6, нам понадобится следующая модификация множества S.
Введем множестваXlmnokn (l)Sk = ϕ ∈ C ([−h, 0], R ) kϕ (θ)k 6kAj k kϕ(0)k, θ ∈ [−h, 0], l = 0, k ,j=0k = 0, 1, 2, . . . Заметим, что множество S содержит кусочно-непрерывные, а каждое из множеств Sk — k раз непрерывно-дифференцируемые функции. Гладкостьопределенного порядка нам требуется потому, что в следующих двух главах мыбудем приближать функции из множеств Sk сплайнами.
Множество S0 совпадаетс множеством S, содержащим непрерывные функции. Следующее утверждениепоясняет, каким образом сформированы множества Sk .Утверждение 2.7. Пусть x(t) — решение системы (1.1), t > (k + 1)h, где k —произвольное натуральное число. Если kx(t + θ)k 6 kx(t)k, θ ∈ [−(k + 1)h, 0], тоXlmkx(l) (t + θ)k 6kAj k kx(t)k, θ ∈ [−h, 0], l = 1, k,(2.8)j=048другими словами, xt ∈ Sk .Д о к а з а т е л ь с т в о.
Как было отмечено в параграфе 1.1, решение с кусочно-непрерывной начальной функцией k раз непрерывно дифференцируемопри t > kh, поэтому при t > (k + 1)h все используемые в неравенствах (2.8)производные решения существуют.mPОбозначим K =kAj k. Заметим, что при всех l = 0, k − 1 неравенствоj=0kx(l) (t + θ)k 6 K l kx(t)k,θ ∈ [−(k − l + 1)h, 0],влечет за собой(l+1)kx(t + θ)k 6mXkAj kkx(l) (t + θ − hj )k 6 K l+1 kx(t)k,θ ∈ [−(k − l)h, 0],j=0при этом при l = 0 это неравенство дано по условию. Применяя его последовательно k раз, получим требуемое. Утверждение доказано.Замечание. Если начальная функция непрерывна, то решение x(t) непрерывнодифференцируемо при t > (k − 1)h, а следовательно, утверждение 2.7 в этомслучае справедливо для t > kh.Утверждение 2.8.
Теоремы 2.3–2.6 останутся верными, если множество S вних заменить любым из множеств Sk , k ∈ N.Д о к а з а т е л ь с т в о. Ясно, что Sk ⊂ S для любого k, поэтому теоремы 2.3и 2.5 останутся верными как необходимые условия: если второе утверждение в нихвыполнено на множестве S, то оно тем более выполнено на более узком множестве.Теорема 2.6, с учетом утверждения 2.1, является прямым следствием теоремы 2.3,поэтому она также останется верной.Зафиксируем k ∈ N и установим справедливость теоремы 2.4, в котороймножество S заменено множеством Sk . Нужно доказать, что существует функция ϕ ∈ Sk такая, что справедлива оценка (2.4), в предположении о наличиисобственного числа λ̄ с положительной вещественной частью.49В случае вещественного λ̄ = α > 0 в доказательстве теоремы 2.4 мы выбирали начальную функцию ϕ(θ) = eαθ C (ϕ ∈ S) и рассматривали решениеx(t, ϕ) = eαt C.
Выберем теперь произвольное t̃ > kh и начальную функциюϕ(θ)e = x(t̃ + θ, ϕ) = eα(t̃+θ) C,θ ∈ [−h, 0].Ясно, что функция ϕe удовлетворяет условию утверждения 2.7 как решение системы (1.1), с учетом замечания о непрерывной начальной функции, поэтому ϕe ∈ Sk .Кроме того, по-прежнему xH (ϕ)e = eαH ϕ,e теперь ϕ(0)e= eαt̃ C. Оставшаяся частьдоказательства останется справедливой для функции ϕe и решения x(t, ϕ).eВ случае комплексного λ̄ = α + iβ в доказательстве теоремы 2.4 такжеизменится только выбор начальной функции. Найдем j ∈ Z такое, что jH > kh, ивыберем t̃ = jH, как и ранее, здесь H = 2π/|β|. Рассмотрим начальную функциюϕ(θ)e = eα(t̃+t̄+θ) ψ(t̃ + t̄ + θ) = eα(t̃+t̄+θ) ψ(t̄ + θ),θ ∈ [−h, 0],при прежнем значении t̄ и прежней функции ψ.
Тогда ϕe ∈ Sk , и оставшаяся частьдоказательства теоремы 2.4, с функцией ϕe и решением x(t, ϕ),e переносится безизменений. Утверждение доказано.В методах анализа устойчивости, описанных в главах 3 и 4, мы будем использовать множества S2 и S4 .2.5Теоремы с функционалом полного типаВ теоремах 2.3–2.6, по крайней мере в предположении о выполнении условия Ляпунова, мы исследовали экспоненциальную устойчивость системы (1.1) спомощью функционала v0 (ϕ), определяемого формулой (1.5). Приведем аналоги этих теорем, заменив в них первое условие или утверждение таким образом,чтобы ему удовлетворял функционал полного типа (1.9). Для краткости сразусформулируем теоремы в виде необходимых и достаточных условий.50Напомним выражение для функционала w(ϕ), введенного в пункте 1.2.3:w(ϕ) = ϕT (0)W0 ϕ(0) +mX0ϕT (−hj )Wj ϕ(−hj ) +j=1m ZXϕT (θ)Wm+j ϕ(θ)dθ.j=1 −hjТеорема 2.9. Зададим положительно-определенные матрицы W0 , W1 , .
. . , W2m .Система (1.1) экспоненциально устойчива тогда и только тогда, когда существует непрерывный в нуле функционал v(ϕ) (v(0h ) = 0), удовлетворяющийусловиям:dv(xt )1.= −w(xt ) вдоль решений системы (1.1);dt2. существует µ > 0 такое, что v(ϕ) > µkϕ(0)k2 на функциях ϕ ∈ S.Д о к а з а т е л ь с т в о. Посколькуw(ϕ) > ϕT (0)W0 ϕ(0),все оценки, полученные в доказательствах теорем 2.3 и 2.4, останутся справедливыми, с заменой в них λmin (W ) на λmin (W0 ).
Вместо равенства (2.1) в доказательствах следует использовать неравенство (2.2).Очевидным образом на функционал с производной, заданной в виде −w(xt ),переносятся и теоремы о неустойчивости:Теорема 2.10. Зададим положительно-определенные матрицы W0 , W1 , . . . , W2mи предположим, что система (1.1) удовлетворяет условию Ляпунова. Система (1.1) неустойчива тогда и только тогда, когда существует непрерывный внуле функционал v(ϕ) (v(0h ) = 0) такой, чтоdv(xt )1.= −w(xt ) вдоль решений системы (1.1);dt2. существует µ > 0 и нетривиальная функция ϕ ∈ S такие, чтоv(ϕ) 6 −µkϕ(0)k2 .Замечание. В теоремах 2.9 и 2.10 множество S также можно заменить любымиз множеств Sk .51Глава 3Конструктивные методы анализаустойчивости. Скалярноеуравнение с одним запаздываниемДля того чтобы, при меньшей громоздкости формул, лучше проиллюстрировать идею предлагаемого метода, в этой главе мы отдельно остановимся наизучении скалярного уравнения с одним запаздываниемẋ(t) = ax(t) + bx(t − h).(3.1)Здесь a, b — постоянные коэффициенты, h > 0 — постоянное запаздывание.
Общий случай — система (1.1) — будет рассмотрен в следующей главе.Уравнение (3.1) хорошо изучено. Область его экспоненциальной устойчивости в пространстве параметров a и b может быть найдена во многих книгах,посвященных дифференциально-разностным уравнениям, например, в [1, 35, 62].Поэтому результаты настоящей главы легко проверить известными методами.В главе 2 получены необходимые и достаточные условия экспоненциальной устойчивости и неустойчивости системы (1.1).
Чтобы проверить эти условия,нужно построить квадратичную оценку для функционала (1.5) или (1.9) на множестве функций S или на одном из множеств Sk . Как это сделать? В этой главе,на примере уравнения (3.1), мы покажем, как построить такую оценку.Глава посвящена изложению конструктивных процедур анализа устойчивости уравнения (3.1). В параграфе 3.1 предлагается метод исследования экспоненциальной устойчивости, основанный на кусочно-линейной аппроксимации функций множества S2 , в параграфе 3.2 рассматривается модификация этого метода —52функции множества S4 приближаются кубическими сплайнами. В параграфе 3.3изложены методы анализа неустойчивости, а в параграфе 3.4 — методы параграфов 3.1 и 3.2, в которых используется функционал полного типа (1.9) вместофункционала (1.5).
В параграфе 3.5 все изложенные процедуры применяютсяк исследованию конкретных примеров. Различными методами строятся областиэкспоненциальной устойчивости и неустойчивости уравнения (3.1) в пространствепараметров a и b, которые сравниваются с известными областями.Для уравнения (3.1) матрица Ляпунова, ассоциированная с числом w > 0,представляет собой скалярную функцию u(τ ), определяемую соотношениямиu0 (τ ) = au(τ ) + bu(τ − h),τ > 0,u(−τ ) = u(τ ),τ > 0,wau(0) + bu(h) = − .2Ясно, что если u(τ ) ассоциирована с w = 1, то αu(τ ) ассоциирована с w = α.Поэтому далее в этой главе будем считать, что w = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
