Диссертация (1149186), страница 3
Текст из файла (страница 3)
В параграфе 2.4 введена модификация указанного множества функций, необходимая для дальнейшего применения полученныхусловий на практике. Наконец, в параграфе 2.5 доказанные условия экспоненциальной устойчивости и неустойчивости обобщаются на случай использованияфункционалов полного типа.В третьей главе, применительно к скалярному уравнению с одним запаздыванием, описана группа конструктивных методов анализа экспоненциальнойустойчивости и неустойчивости, основанных на доказанных в главе 2 утверждениях. В параграфах 3.1 и 3.2 предложены различные модификации методов, которые опираются соответственно на кусочно-линейную и кусочно-кубическую аппроксимацию функций из множеств, введенных в параграфе 2.4, доказаны конструктивные достаточные условия экспоненциальной устойчивости.
В параграфе 3.3 оба метода применяются к анализу неустойчивости, а в параграфе 3.4показано, что они могут быть использованы с функционалами полного типа. Впараграфе 3.5 все алгоритмы применяются к оценке областей экспоненциальной14устойчивости или неустойчивости уравнения в пространстве параметров.Далее, в параграфе 4.1 четвертой главы методы анализа экспоненциальной устойчивости и неустойчивости, описанные в главе 3, обобщаются на случайлинейной стационарной системы с несколькими запаздываниями. Параграф 4.2посвящен вопросу сходимости методов, при этом под сходимостью понимаетсястремление границ областей устойчивости (в пространстве параметров), получаемых каждым из методов, к границам точных областей устойчивости при стремлении к бесконечности параметров метода.
Сходимость строго сформулированав терминах критических запаздываний системы и доказана. В параграфе 4.3 напримерах, в том числе в задаче управления, иллюстрируется применение методовк оценке областей экспоненциальной устойчивости в пространстве параметров.Наконец, параграф 4.4 предлагает метод оценки запаса устойчивости экспоненциально устойчивых систем, использующий идеи главы 2 и не опирающийся наприменение функционалов полного типа. Этот метод основан на построении интегральной оценки для производной используемого функционала.Пятая глава посвящена анализу устойчивости систем с несоизмеримымизапаздываниями.
В этом случае попытка непосредственно применить результаты глав 3 и 4 сталкивается с проблемой вычисления матрицы Ляпунова. Чтобыобойти возникающую проблему, в параграфе 5.1 вводится модификация функционала, основанная на замене в нем матрицы Ляпунова соответствующей матрицей, построенной по вспомогательной системе с соизмеримыми запаздываниями.В параграфе 5.2 доказано, что при определенных предположениях в терминахнового функционала могут быть сформулированы основные теоремы главы 2, азначит, и методы главы 4; рассмотрен иллюстративный пример.В приложении А приведены формулы методов, описанных в главе 4, дляважного частного случая, в котором алгоритмы существенно упрощаются, — длясистем с кратными запаздываниями. Далее, в приложении Б описан используемый алгоритм вычисления матрицы Ляпунова [45], а также программная реализация методов главы 4.
Наконец, в приложение В вынесено доказательство15одной из лемм параграфа 5.1.Результаты работы докладывались и обсуждались на научных семинарахкафедры теории управления факультета прикладной математики – процессовуправления СПбГУ, а также на девяти научных конференциях: XLI, XLII, XLIII,XLV международные научные конференции аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость» факультета ПМ–ПУ СПбГУ (Санкт-Петербург,2010–2012, 2014), Всероссийская конференция «Устойчивость и процессы управления», посвященная 80-летию со дня рождения В. И. Зубова (Санкт-Петербург,2010), “11th IFAC Workshop on Time-Delay Systems” (Grenoble, France, 2013), «Всероссийское совещание по проблемам управления (ВСПУ-2014)» (Москва, ИПУРАН, 2014), “2014 International Conference on Computer Technologies in Physicaland Engineering Applications (ICCTPEA)” (Санкт-Петербург, 2014), VII международная конференция «Современные методы прикладной математики, теорииуправления и компьютерных технологий (ПМТУКТ-2014)» (Воронеж, 2014).Основные результаты диссертации опубликованы в работах [5–7, 22–26, 65–67].
На защиту выносятся следующие основные положения:• системный подход к анализу динамических систем, описываемых линейнымистационарными дифференциально-разностными уравнениями;• критерии экспоненциальной устойчивости и неустойчивости линейных стационарных систем с несколькими запаздываниями (теоремы 2.3–2.6, 5.5–5.6);• конструктивные методы анализа экспоненциальной устойчивости и неустойчивости систем рассматриваемого класса, основанные на конструктивных достаточных условиях — теоремах 3.1, 3.5 и 3.8 для скалярного уравнения содним запаздыванием и теоремах 4.1, 4.4–4.6 в общем случае;• конструктивные алгоритмы оценки критических параметров линейных стационарных дифференциально-разностных систем с неопределенными параметрами, основанные на теоремах 4.10 и 4.20.16Глава 1Устойчивость линейныхсистем с запаздываниемВ этой главе вводится объект исследования — линейная стационарная система с несколькими запаздываниями — и обсуждаются классические методы анализа ее экспоненциальной устойчивости, которые являются основой всего дальнейшего изложения.
Параграф 1.1 служит введением, в нем даны основные понятия (начальная задача, устойчивость, характеристический квазиполином, условие Ляпунова и т. д.), а также некоторые элементарные свойства систем с запаздыванием — все эти сведения могут быть найдены в классических монографиях, упомянутых во введении, например, в [1, 33, 35, 62]. Параграфы 1.2 и 1.3посвящены двум известным обобщениям второго метода Ляпунова на системы сзапаздыванием — методам Ляпунова – Красовского и Разумихина. Содержаниепараграфа 1.2 основано на главах 2 и 3 монографии [56]. В нем вводятся функционалы с заданной отрицательно-определенной производной вдоль решений системы, которые будут далее использоваться в работе. Основная проблема, возникающая при применении этих функционалов, — построение для них положительноопределенных квадратичных оценок снизу, что мотивировано классической теоремой Красовского (теорема 1.6).
Мы подробно останавливаемся на этой проблеме, поскольку далее, в главе 2, предлагаем новые конструктивные способыпостроения таких оценок. В отличие от метода функционалов Ляпунова – Красовского, метод Разумихина использует функции Ляпунова в комбинации с некоторым дополнительным ограничением.
В диссертации существенно используетсяидея метода Разумихина.171.1Общие сведенияВ работе исследуется линейная стационарная дифференциально-разностнаясистема уравнений видаẋ(t) =mXAj x(t − hj ).(1.1)j=0Здесь x ∈ Rn , Aj ∈ Rn×n , j = 0, 1, . . . , m, — заданные постоянные матрицы,0 = h0 < h1 < . . . < hm = h — постоянные запаздывания, упорядоченные повозрастанию; h — наибольшее запаздывание.Введем стандартные обозначения. Начальная задача для системы (1.1) ставится следующим образом: для заданных начального момента времени t0 > 0 иначальной вектор-функции ϕ : [−h, 0] → Rn найти решение системы, удовлетворяющее условиюx(t0 + θ) = ϕ(θ),θ ∈ [−h, 0].Ясно, что пара (t0 , ϕ) образует минимальный набор начальных данных, необходимых для построения решения при t > t0 . Кроме того, если x(t) — решениеначальной задачи с начальным моментом t = t0 , то x(t + t0 ) — решение той жезадачи с начальным моментом t = 0.
Поэтому начальный момент времени будемсчитать нулевым. Начальную функцию же будем полагать кусочно-непрерывной:t0 = 0,ϕ ∈ P C [−h, 0], Rn .Обозначим решение такой начальной задачи через x(t, ϕ). Известно, что это решение существует и единственно, при этом оно определено на промежутке [−h, +∞),а под производной в момент t = 0 в равенстве (1.1) понимается правая производная. Состояние системы (1.1), как и ее начальное условие, представляет собойфункцию — сегмент решения на отрезке [t − h, t]. Обозначим его черезxt (ϕ) : θ → x(t + θ, ϕ), θ ∈ [−h, 0].Если начальная функция не существенна, мы будем опускать символ ϕ в этихобозначениях и считать, что x(t) — решение системы, а xt — ее состояние.
Нако-18нец, введем равномерную норму в пространстве кусочно-непрерывных функций:kϕkh = sup kϕ(θ)k.θ∈[−h,0]Векторная норма в правой части этого равенства — евклидова.Отметим важное свойство сглаживания решений с возрастанием времени. Поскольку начальная функция ϕ кусочно-непрерывна, решение x(t, ϕ) будетнепрерывным уже при t ∈ [0, h] (при t = 0 — непрерывным справа). Значит,при t ∈ [h, 2h] оно будет непрерывно-дифференцируемым и т. д. Таким образом,при t > kh, k ∈ N, решение x(t, ϕ) начальной задачи с кусочно-непрерывной начальной функцией ϕ представляет собой k раз непрерывно-дифференцируемуюфункцию.Перейдем к понятию устойчивости. Диссертация посвящена анализу экспоненциальной устойчивости системы (1.1):Определение 1.1. [1] Система (1.1) называется экспоненциально устойчивой,если существуют такие постоянные γ > 1 и σ > 0, чтоkx(t, ϕ)k 6 γe−σt kϕkh ,t > 0,для любого решения системы (1.1).Известно, что для линейных стационарных систем экспоненциальная устойчивость эквивалентна асимптотической [1].
Напомним, что система (1.1) называется асимптотически устойчивой по Ляпунову, если для любого ε > 0 существует∆ > 0 такое, что из условия kϕkh < ∆ следует kx(t, ϕ)k < ε для любого t > 0,при этомx(t, ϕ) −−−−→ 0n×1 ,t→+∞kϕkh < ∆.Если выполнено первое условие этого определения, но существуют решения, которые не стремятся к нулю с возрастанием времени, то говорят, что система (1.1)устойчива по Ляпунову. Наконец, если найдется ε > 0 такое, что для любого∆ > 0 существует функция ϕ и момент времени t̃ > 0, для которых kϕkh < ∆,19но kx(t̃, ϕ)k > ε, то систему (1.1) называют неустойчивой.
Для системы (1.1) говорят об асимптотической устойчивости или неустойчивости всей системы, а неотдельных ее решений.Как и в случае без запаздывания, свойство устойчивости системы (1.1) связано с расположением ее собственных чисел на комплексной плоскости. Рассмотрим уравнение [1]mX−λhjdet λE −Aj e= 0,(1.2)j=0которое называется характеристическим уравнением системы (1.1). Функция,стоящая в левой части этого уравнения, является квазиполиномом; его называют характеристическим квазиполиномом. Корни уравнения (1.2) называютсяхарактеристическими (или собственными) числами системы (1.1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
