Диссертация (1149186), страница 2
Текст из файла (страница 2)
В работе [31] модифицирован метод функций Ляпунова: оказывается, можно исследовать отрицательную определенность производной функции Ляпунова на множестве функций, удовлетворяющих специальномуограничению — условию Разумихина — вместо множества решений системы.
Таким образом получаются эффективные достаточные условия устойчивости. Отметим, что оба подхода применимы не только к линейным системам.А для линейных стационарных систем с запаздыванием метод функционалов Ляпунова – Красовского дает аналог классического критерия Ляпунова. Егодостаточность доказана в работе [19] и известна как теорема Красовского: вывод об экспоненциальной устойчивости системы может быть сделан при наличииположительно-определенного (и допускающего соответствующую оценку сверху)функционала, производная которого вдоль решений системы представляет собойотрицательно-определенный функционал. Чтобы доказать необходимость критерия, т.
е. обратить теорему Красовского, нужно найти функционал, удовлетворяющий, в случае экспоненциальной устойчивости системы, перечисленным условиям. При этом, если для линейных стационарных систем без запаздывания известна структура функции Ляпунова — квадратичная форма, то, когда ставитсявопрос о поиске функционала, мы сталкиваемся с бо́льшим произволом в выбореструктуры. Возможный вариант структуры — квадратичный — был предложенН. Н. Красовским в работе [20].Итак, как найти функционал, удовлетворяющий теореме Красовского?9Можно взять некоторый функционал достаточно общей структуры, заведомоположительно-определенный, затем продифференцировать его вдоль решенийсистемы и исследовать отрицательную определенность полученной производной.Во многих случаях такой подход приводит к решению линейных матричныхнеравенств (LMI) [38].
Интересные результаты в этом направлении получены вработах [44, 46, 47], см. также книги [48, 72]. Недостаток такого подхода состоитв том, что в нем используется функционал, изначально никак не связанный ссистемой. Как «угадать», какой функционал выбрать, чтобы его производнаявдоль решений действительно оказалась отрицательно-определенной?Другой подход к обращению теоремы Красовского заключается в построении функционала по заданной отрицательно-определенной производной вдольрешений системы. В этом случае главной проблемой является проверка положительной определенности функционала, а также построение для него квадратичной оценки снизу. Вместе с тем, поскольку функционал здесь связан с системойпо построению, он может быть полезен при анализе многих свойств системы. Врезультате применения такого подхода сформировалась теория функционалов сзаданной производной.
Фундаментальный вклад в развитие этой теории внеслиработы [20, 32, 40, 49, 51, 61, 63].В первых статьях [20, 32] разрабатывается структура функционалов с заданной производной. В работе Ю. М. Репина [32] искомый функционал и егопроизводная выбираются в виде функционалов достаточно общего вида, зависящих от неопределенных матричных коэффициентов. Затем первый функционалдифференцируется вдоль решений системы и приравнивается ко второму — получается довольно сложная система уравнений, связывающих неизвестные матрицы функционалов.
Существует ли решение полученной системы, является лиискомый функционал положительно-определенным — эти вопросы пока остаютсяоткрытыми. Тем не менее, идеология теории во многом сформирована в работеЮ. М. Репина. Подход также развивается в статье R. Datko [40].В работе E. F. Infante и W. B. Castellan [51] структура функционала, рас-10смотренного в статье [32], уточняется. Оказывается, что функционал с заданнойпроизводной определяется только одной функциональной матрицей, удовлетворяющей некоторой системе, состоящей из дифференциально-разностного уравнения, алгебраического соотношения и условия симметрии.
Фактически, в этойработе речь идет о прототипе функционала полного типа, введенного позже встатье [61].Следующим важным шагом в развитии теории является работа W. Huang[49]. В ней, в виде естественной аналогии со случаем без запаздывания, производная функционала выбирается как отрицательно-определенная квадратичнаяформа лишь текущего состояния системы. Функционал, имеющий такую производную, построен. Он определяется функциональной матрицей, названной позжематрицей Ляпунова. В работе указаны условия существования функционала. Более того, в случае экспоненциальной устойчивости системы для него полученаположительно-определенная оценка снизу.
Проблема состоит в том, что эта оценка оказалась лишь кубической и, кроме того, локальной, а эффективное применение в приложениях предполагает наличие квадратичной оценки снизу. Такимобразом, статья [49] ставит следующие вопросы: как конструктивно проверитьположительную определенность функционала? Как получить функционал, допускающий квадратичную оценку снизу?Первый из этих вопросов пока остается открытым. Ответ на второй из нихдает фундаментальная работа В.
Л. Харитонова и А. П. Жабко [61]. В ней теорияфункционалов с заданной производной формируется в том виде, в котором онаизвестна сегодня. Функциональная матрица, определяющая функционал, построенный в [49], названа матрицей Ляпунова. В производную функционала введеныдополнительные слагаемые, близкие к тем, что уже рассматривались в статье [51].В результате в явной форме получен функционал, допускающий квадратичнуюоценку снизу в случае экспоненциальной устойчивости системы. Этот функционал назван авторами функционалом полного типа.
Он удовлетворяет теоремеКрасовского, а значит, обращает ее: теорема Красовского становится критери-11ем экспоненциальной устойчивости. Кроме того, уже в работе [61] показано, чтофункционал полного типа может быть эффективно использован для анализа робастной устойчивости, т. е. для анализа устойчивости систем, матрицы которыхсодержат неопределенные параметры.С работы [61] начинается эффективное использование функционалов полного типа в приложениях. В статье [58] они применяются к анализу устойчивостипри наличии возмущений в запаздываниях системы; при этом возмущения могутзависеть от времени. В работе [57] с помощью функционалов полного типа строятся экспоненциальные оценки решений. Интересно применение функционалов кнахождению критических запаздываний, т.
е. таких запаздываний, при которыхсистема теряет или приобретает свойство устойчивости [63, 74], а также к вычислению H2 -нормы передаточной матрицы управляемой системы [52]. Наиболееполный обзор современного состояния теории, а также приложений функционалов может быть найден в монографии [56]. Кроме того, могут быть полезными различные модификации функционалов полного типа, например, полученныевведением в производную дополнительных перекрестных членов [70].Ключевым элементом, определяющим функционалы с заданной производной, является матрица Ляпунова.
Условие ее существования получено еще в работе [49], а вопрос единственности исследован в статьях [60] и [53]. В первой из нихединственность доказана в случае экспоненциальной устойчивости системы, а вовторой получено необходимое и достаточное условие единственности, совпавшеес известным ранее условием существования.Остановимся на вычислении матрицы Ляпунова. По определению эта матрица является решением специальной системы уравнений, в которую входятдифференциально-разностное уравнение, некоторое условие симметрии и граничное условие; это решение существует и единственно. Однако алгоритм построенияматрицы Ляпунова известен только в частном случае — для систем с кратнымизапаздываниями [45].
В нем задача сводится к решению системы обыкновенныхдифференциальных уравнений с граничными условиями. Для общего случая —12когда запаздывания в системе несоизмеримы — в работах [45] и [56] даны методы построения приближений матрицы Ляпунова. Проблема состоит в том, чтоэти методы располагают лишь качественной мерой оценки близости приближений к истинной матрице и не дают возможность точно оценить погрешностьпостроенных приближений. Вопросы, связанные с вычислением матрицы Ляпунова, обсуждаются также в статьях [50,52]. Отметим, что эта матрица позволяетисследовать устойчивость напрямую: в недавних работах [4, 42, 43, 69] исключительно в терминах матрицы Ляпунова получены необходимые и достаточныеусловия экспоненциальной устойчивости систем рассматриваемого класса.Суммируем вышеизложенное.
Известны способы построения положительноопределенных функционалов с заданной отрицательно-определенной производной, которые, согласно теореме Красовского, пригодны для анализа устойчивости. Один из таких функционалов — функционал полного типа — допускаетквадратичную оценку снизу в случае экспоненциальной устойчивости системы,благодаря чему он эффективен в приложениях. Проблема состоит в отсутствииконструктивных способов проверки положительной определенности функционалов с заданной производной (причем даже функционалов полного типа) и, какследствие, в отсутствии конструктивных условий устойчивости, основанных натаких функционалах. Этой проблемой и мотивировано настоящее исследование.Таким образом, целью диссертационного исследования является разработка конструктивных методов анализа экспоненциальной устойчивости инеустойчивости линейных стационарных дифференциально-разностных системзапаздывающего типа.
Предлагаемый системный подход основан на комбинации метода функционалов Ляпунова – Красовского с идеей метода Разумихина:квадратичные оценки для функционалов с заданной производной строятся намножестве функций, удовлетворяющих специальному условию, аналогичномуусловию Разумихина. В терминах существования таких оценок получены критерии экспоненциальной устойчивости и неустойчивости. Разработанные методыреализованы в программной среде MATLAB и применяются к оценке областей13экспоненциальной устойчивости и неустойчивости в пространстве параметров, атакже к оценке критических параметров систем.Диссертационная работа состоит из пяти глав и трех приложений. Перваяглава носит вспомогательный характер — в ней описаны известные методы анализа экспоненциальной устойчивости линейных стационарных систем с запаздыванием.
В параграфе 1.1 вводятся основные понятия для таких систем, параграфы 1.2 и 1.3 посвящены двум известным обобщениям второго метода Ляпунована системы с запаздыванием — методам Ляпунова – Красовского и Разумихина.Вторая глава содержит основные теоретические результаты диссертации.В ней, после доказательства вспомогательных утверждений в параграфе 2.1, получены новые необходимые и достаточные условия экспоненциальной устойчивости (в параграфе 2.2) и неустойчивости (в параграфе 2.3) систем рассматриваемого класса, выраженные в терминах существования для функционалов Ляпунова – Красовского квадратичных оценок на множестве функций, удовлетворяющиханалогу условия Разумихина.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
