Диссертация (1149186), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Выполнено ли для него первое условие теоремы? Посколькуфункционал квадратичен, а матрица Ляпунова U (τ ) непрерывна, нетрудно показать, что функционал допускает требуемую оценку сверху: существует α2 > 0такое, что v0 (ϕ) 6 α2 kϕk2h на множестве кусочно-непрерывных функций ϕ. Остается проверить, существует ли положительное α1 из первого условия теоремы 1.6.Ответ на этот вопрос оказывается отрицательным — функционал (1.5) допускает только кубическую оценку снизу:Теорема 1.7 (W.
Huang, 1989, [49]). Если система (1.1) экспоненциально устойчива, то для любого H > 0 существует α > 0 такое, чтоv0 (ϕ) > αkϕ(0)k3 , ϕ ∈ φ φ ∈ C([−h, 0], Rn ), kφkh 6 H .Замечание. Полученная в теореме кубическая оценка является локальной: онасправедлива лишь при kϕkh 6 H, при этом константа α зависит от H.26Более того, пример, предложенный А. П. Жабко (см.
пример 2.1 на с. 58в книге [56]), показывает, что для функционала v0 не существует квадратичнойоценки снизу, т. е. этот функционал не удовлетворяет теореме 1.6. Причина полученного отрицательного результата состоит в том, что производная функционалабыла выбрана в виде квадратичной формы вектора x(t) и существенно не определялась истинным состоянием системы xt . В пункте 1.2.3 будет рассмотрена модификация производной, в результате которой удается получить функционал, удовлетворяющий теореме Красовского с квадратичной оценкой функционала снизу.Отметим, что, поскольку для функционала v0 не существует квадратичнойоценки снизу, этот функционал считался непригодным для получения конструктивных условий устойчивости.
Теорема 1.7 гарантирует положительную определенность функционала v0 в случае экспоненциальной устойчивости системы (1.1),но остается открытым вопрос о том, как проверить его положительную определенность. Между тем, результаты главы 2 показывают, что этот функционалможет быть эффективно использован для анализа устойчивости системы (1.1),несмотря на то, что он не удовлетворяет теореме 1.6.1.2.2Матрица ЛяпуноваМатрица Ляпунова U (τ ), τ ∈ [−h, h], является ключевым элементом, определяющим функционал (1.5). Что представляет собой эта матрица?Определение 1.8.
[56] Функциональная матрица U (τ ) называется матрицей Ляпунова системы (1.1), ассоциированной с симметрической матрицей W, если онаявляется решением следующей системы матричных уравнений0U (τ ) =mXU (τ − hj )Aj , τ > 0,j=0U (−τ ) = U T (τ ), τ > 0,m hiXU (−hj )Aj + ATj U (hj ) = −W.j=0(1.7)27Первое из этих уравнений называют динамическим свойством матрицы Ляпунова, второе — свойством симметрии, а третье — алгебраическим свойством.Отметим непрерывность матрицы Ляпунова.Предположим, что система (1.1) экспоненциально устойчива. В этом случаематрица U (τ ) допускает представление в виде несобственного интегралаZ+∞U (τ ) =K T (t)W K(t + τ )dt,(1.8)0где K(t) — фундаментальная матрица системы (1.1) — определяется как решениематричного дифференциально-разностного уравненияmXdK(t) =K(t − hj )Aj ,dtj=0t > 0,с начальным условием K(0) = E, K(t) = 0n×n при t < 0 (см.
[1]).Непосредственной подстановкой нетрудно установить, что матрица (1.8)действительно является решением совокупности уравнений (1.7). В статье [60]показано, что, если система экспоненциально устойчива, других матриц, удовлетворяющих определению 1.8, нет. Ясно, что представление (1.8) не является конструктивным.Представление (1.8) матрицы Ляпунова тесно связано с представлением(1.6) функционала v0 .
Более того, первоначально матрица Ляпунова и явныйвид функционала (1.5) были получены именно из представления (1.6), с учетомсвязи решения системы (1.1) с ее фундаментальной матрицей (см. формулу Коши в [1]). А свойства (1.7) и тот факт, что эти свойства однозначно определяютматрицу Ляпунова, а также позволяют расширить ее определение на тот случай,когда нет информации об экспоненциальной устойчивости, стал известен в [51] иболее поздних работах.Поскольку матрица Ляпунова определяет функционал с заданной производной, для нас важны условия существования и единственности этой матрицы.
Необходимое и достаточное условие существования матрицы U (τ ) для любой28симметрической W — выполнение условия Ляпунова — было получено еще в работе [49]. Что касается единственности, вопрос был окончательно закрыт тольков статье [53], в которой доказана следующая теорема.Теорема 1.9.
Если система (1.1) удовлетворяет условию Ляпунова, то длялюбой симметрической матрицы W существует единственная матрица Ляпунова, ассоциированная с W. Если условие Ляпунова не выполнено, то• найдется симметрическая матрица W0 , для которой не существует матрицы Ляпунова, ассоциированной с W0 ;• если известна матрица Ляпунова, ассоциированная с некоторой симметрической матрицей W, то можно указать бесконечно много матриц Ляпунова, ассоциированных с той же W.Вычисление матрицы U (τ ) представляет собой отдельную задачу: как найтирешение совокупности уравнений (1.7)? В случае кратных запаздываний, когдаhk = kh, k = 1, m, где h — некоторое базовое запаздывание, алгоритм решениябыл предложен в работе [45], см.
приложение Б. В нем специальным образом вводятся вспомогательные матрицы, для которых динамическое свойство матрицыЛяпунова, с учетом свойства симметрии, может быть записано в виде системыобыкновенных дифференциальных уравнений. Связь между вспомогательнымиматрицами, а также алгебраическое свойство матрицы Ляпунова порождают граничные условия для этой системы.Если запаздывания hk соизмеримы, т. е.
их отношения попарно рациональны, то базовое запаздывание h всегда может быть выбрано так, чтобы свестизадачу к случаю кратных запаздываний. Если же запаздывания произвольны,то известны лишь приближенные методы вычисления матрицы Ляпунова, основанные, например, на кусочно-линейном [45] (см. также [56]) или полиномиальном [50] приближении. Проблема состоит в том, что эти методы не дают возможность оценить погрешность полученных приближений, располагая только качественной мерой оценки близости приближения к истинной матрице Ляпунова.291.2.3Функционал полного типаВернемся к построению функционала с заданной производной, удовлетворяющего теореме Красовского. Следующим после статьи W. Huang [49] серьезнымшагом в этом направлении стала фундаментальная работа В.
Л. Харитонова иА. П. Жабко [61], на результатах которой мы остановимся в этом пункте. В этойработе предложена модификация функционала v0 , благодаря которой авторамудалось получить функционал, допускающий квадратичную оценку снизу и, следовательно, удовлетворяющий теореме 1.6.Итак, зададим симметрические положительно-определенные матрицы W0 ,W1 , .
. . , W2m и функционалw(ϕ) = ϕT (0)W0 ϕ(0) +mX0ϕT (−hj )Wj ϕ(−hj ) +j=1m ZXϕT (θ)Wm+j ϕ(θ)dθ.j=1 −hjЗадача остается прежней — построить функционал v(ϕ), производная которогоdv(xt )/dt вдоль решений системы (1.1) совпадает с функционалом −w(xt ). Можнопоказать, что функционал0v(ϕ) = v0 (ϕ) +m ZXϕT (θ) Wj + (hj + θ)Wm+j ϕ(θ)dθ,(1.9)j=1 −hjгде матрица Ляпунова, определяющая функционал v0 , ассоциирована с матрицейmXW = W0 +Wj + hj Wm+j ,j=1решает такую задачу. Функционал (1.9) называется функционалом полного типа.Он допускает квадратичные оценки сверху и снизу:Лемма 1.10.
[56] Зададим положительно-определенные матрицы W0 , W1 , . . . ,W2m . Если система (1.1) удовлетворяет условию Ляпунова, то на множествекусочно-непрерывных функций функционал полного типа (1.9) допускает оценку30сверхуv(ϕ) 6 δ0 kϕ(0)k2 +mXj=1Z0δjkϕ(θ)k2 dθ,δj > 0,j = 0, m.(1.10)−hjЕсли, кроме того, система (1.1) экспоненциально устойчива, то на том жемножестве функций функционал (1.9) допускает оценку снизуv(ϕ) > β0 kϕ(0)k2 +mXj=1Z0βjkϕ(θ)k2 dθ,βj > 0,j = 0, m.(1.11)−hjЗамечание. В отличие от кубической оценки функционала v0 в теореме 1.7,квадратичная оценка (1.11) является глобальной: она справедлива на всем множестве кусочно-непрерывных функций, а не только на множестве вида kϕkh 6 H.Из леммы 1.10 следует, что, если система (1.1) экспоненциально устойчива,то функционал полного типа (1.9) удовлетворяет первому условию теоремы 1.6 сконстантамиα1 = β0 ,α2 = δ0 +mXhj δj .j=1Таким образом, теорема Красовского становится необходимым и достаточнымусловием экспоненциальной устойчивости:Теорема 1.11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
