Диссертация (1149186), страница 6
Текст из файла (страница 6)
[61] Зададим положительно-определенные матрицы W0 , W1 , . . . ,W2m . Система (1.1) экспоненциально устойчива тогда и только тогда, когдасуществует функционал полного типа v(ϕ), допускающий оценкиα1 kϕ(0)k2 6 v(ϕ) 6 α2 kϕk2h ,ϕ ∈ P C([−h, 0], Rn ),α1 , α2 > 0.Теорема 1.11 дает возможность эффективно использовать функционал полного типа в приложениях. Например, она позволяет записать оценку из определения экспоненциальной устойчивости 1.1 в явном виде [57]: значения γ и σ выражаются через константы δj и βj , j = 0, m, которые конструктивно определяютсяв доказательстве леммы 1.10.31Другая задача, в которой может быть применен функционал полного типа, — анализ робастной устойчивости системы (1.1).
В работах [56, 61] эта задачарассматривается в следующей постановке. Предположим, что система (1.1) экспоненциально устойчива. При каких условиях возмущенная системаẏ(t) =mX(Aj + ∆j )y(t − hj ),(1.12)j=0в которой матрицы ∆j ограничены по норме: k∆j k 6 ρj , j = 0, m, остается экспоненциально устойчивой? Идея решения этой задачи, которую мы будем использовать в параграфе 4.4, заключается в следующем. Продифференцируем функционал полного типа (1.9) вдоль решений системы (1.12):XT hmm Z0iXdv(yt )= −w(yt ) + 2∆j y(t − hj )U (0)y(t) +U (−θ − hj )Aj y(t + θ)dθdtj=0j=1−hj(1.13)(см. [56], с.
124). Если константы ρj таковы, что полученная производная отрицательно определена, то, согласно теореме Красовского, система (1.12) экспоненциально устойчива. В книге [56] получены явные оценки величин ρj , гарантирующиеэкспоненциальную устойчивость. Мы не будем приводить здесь эти оценки. Отметим причину, по которой функционал (1.5) не может быть использован для анализа робастной устойчивости в такой идеологии: в его производной вдоль решенийсистемы (1.12) вместо слагаемого −w(yt ) будет стоять −y T (t)W y(t), в результате чего отрицательную определенность производной нельзя будет гарантироватьвыбором величин ρj .В монографии [56] могут быть найдены и другие полезные приложенияфункционалов полного типа.Итак, построен функционал, допускающий квадратичную оценку снизу иблагодаря этому эффективный в ряде задач. Однако остается открытым вопросо том, как конструктивно построить оценку снизу из теоремы 1.11 в том случае,когда изначально нет информации об экспоненциальной устойчивости системы?32Другими словами, как с помощью функционала полного типа и теоремы 1.11проверить экспоненциальную устойчивость? Поскольку даже теорема 1.11 не даетконструктивного способа проверки экспоненциальной устойчивости, в настоящемисследовании мы будем искать другой путь построения квадратичных оценокфункционалов снизу, отличный от применения функционалов полного типа.1.3Метод РазумихинаВ этом параграфе мы кратко опишем альтернативный методу функционалов Ляпунова – Красовского подход к анализу устойчивости систем с запаздыванием, основанный на использовании классических функций Ляпунова.Вполне естественно, и Л.
Э. Эльсгольц показал это в статье [34], что непосредственное применение метода функций Ляпунова к системам с запаздыванием оказывается неэффективным: производная функции Ляпунова вдоль решенийсистемы (1.1) является функционалом, гарантировать отрицательную определенность которого на множестве всех решений можно только для очень узкого классасистем.В работе [31] Б. С. Разумихин предложил модифицировать метод функций Ляпунова применительно к системам с запаздыванием: оказывается, достаточно исследовать отрицательную определенность производной функции Ляпунова на специальном множестве функций вместо множества решений системы.Если на этом множестве получится оценить производную сверху отрицательноопределенной функцией (исключив из нее члены, зависящие от запаздывания),то можно будет сделать вывод об асимптотической устойчивости системы, конечно, при выполнении других классических условий теорем Ляпунова.
Отметим,что таким образом можно получить только достаточные условия устойчивости.Теоремы Разумихина могут быть сформулированы для достаточно общегокласса систем с запаздыванием. Мы ограничимся системой вида (1.1), исследуемой в диссертации, и теоремой об экспоненциальной устойчивости. Формулировка33теоремы, с незначительными изменениями, приводится по книге Дж.
Хейла [33].Введем функционал F : C([−h, 0], Rn ) → Rn ,F (ϕ) =mXAj ϕ(−hj ),j=0который представляет собой правую часть системы (1.1). Обозначим i-ю компоненту вектора F через Fi , i = 1, n.Пусть V (x) — скалярная функция, определенная и непрерывно дифференцируемая на множестве векторов x ∈ Rn таких, что kxk 6 H, где H > 0. Подпроизводной функции V (x) в силу системы (1.1) будем понимать следующее выражение:nX∂V (x) dV (x(t)) · Fi (xt ).
=dt∂xi(1.1)x=x(t)i=1Подразумевается, что производная в силу системы определена на решениях системы (1.1). Однако можно рассмотреть ее как функционал, определенный навсевозможных непрерывных функциях ϕ : пустьR : C([−h, 0], Rn ) → R,nX∂V (x) R(ϕ) =∂xi i=1·Fi (ϕ).x=ϕ(0)Исследовать отрицательную определенность функционала R(ϕ) мы будем намножестве функцийnon SV = ϕ ∈ C [−h, 0], R V (ϕ(θ)) 6 ρ V (ϕ(0)) , θ ∈ [−h, 0] ,где непрерывная неубывающая скалярная функция ρ такова, что ρ(0) = 0 иρ(s) > s при s > 0.
Неравенство, которому удовлетворяют функции множестваSV , называют условием Разумихина.Теорема 1.12. Пусть скалярная функция V (x) непрерывно дифференцируема, аскалярные функции u1 (x), u2 (x), w(x) непрерывны и положительно определенына множестве kxk 6 H, x ∈ Rn , причемu1 (x) 6 V (x) 6 u2 (x), kxk 6 H,R(ϕ) 6 −w(ϕ(0)) на функциях ϕ ∈ SV .34Тогда система (1.1) экспоненциально устойчива.Таким образом, анализ поведения производной функции Ляпунова на множестве функций SV позволяет сделать вывод об устойчивости системы. Оценкасверху функционала R становится, благодаря условию Разумихина, функциейвектора ϕ(0), а не функционалом, что делает условие конструктивным.Замечание.
В нашей работе идея Б. С. Разумихина используется в следующейформе — одно из условий классических теорем Ляпунова проверяется на множестве функций типа SV , состоящем не из решений системы (1.1). Однако мыприменяем эту идею в рамках метода функционалов Ляпунова – Красовского, иее реализация существенно отличается от подхода, изложенного в этом параграфе.35Глава 2Синтез подходов Ляпунова –Красовского и РазумихинаВ настоящей главе представлены основные теоретические результаты диссертации — необходимые и достаточные условия экспоненциальной устойчивостии неустойчивости системы (1.1) (теоремы 2.3–2.6). Эти результаты в определенном смысле объединяют подходы к анализу устойчивости Ляпунова – Красовского и Разумихина, описанные в параграфах 1.2 и 1.3.
В теореме Красовского 1.6 для анализа экспоненциальной устойчивости требуется функционал,положительно-определенный на множестве кусочно-непрерывных функций, сотрицательно-определенной производной вдоль решений системы. А в теореме Разумихина 1.12 требуется положительно-определенная функция Ляпунова,производная которой вдоль решений является функционалом, отрицательноопределенным, но лишь на множестве функций, удовлетворяющих некоторомуспециальному условию — условию Разумихина.
Подход, предлагаемый в этойглаве, основан на методе функционалов Ляпунова – Красовского и используетфункционалы с заданной отрицательно-определенной производной, введенные впараграфе 1.2. Однако, и в этом отличие от подхода Красовского, нам не требуется положительная определенность этих функционалов на множестве всехкусочно-непрерывных функций — оказывается достаточно их положительнойопределенности на множестве функций, удовлетворяющих аналогу условия Разумихина, а именно, на множествеnon S = ϕ ∈ P C [−h, 0], R kϕ(θ)k 6 kϕ(0)k, θ ∈ [−h, 0] .36Другими словами, условия устойчивости, полученные в этой главе, выраженыв терминах существования для функционалов Ляпунова – Красовского положительно-определенных квадратичных оценок снизу на множестве S.
При этом основные результаты главы используют функционал (1.5), для которого, как былоотмечено в параграфе 1.2, не существует квадратичной оценки снизу на множестве всех кусочно-непрерывных функций. Подход также может быть использованс функционалом полного типа (1.9). Подчеркнем, что в полученных теоремахусловие типа Разумихина — неравенство из множества S — связано с положительной определенностью функционала, а не с отрицательной определенностьюего производной, что было бы аналогом теоремы Разумихина. Наконец, стоитотметить конструктивность предложенного подхода: в главах 3 и 4 на его основе разработана группа методов для анализа экспоненциальной устойчивости инеустойчивости. В этих методах используется модификация множества S, которую мы также вводим в данной главе.Основные результаты этой главы опубликованы в работах [5, 26, 66, 67].2.1Вспомогательные утвержденияПриведем два вспомогательных утверждения, необходимых далее для доказательства достаточных условий экспоненциальной устойчивости и неустойчивости.
Сразу поясним смысл этих утверждений. Если выполнено условие Ляпунова,то утверждения 2.1 и 2.2 не несут смысловой нагрузки; нам известны функционалы, о которых в них идет речь, — это функционалы (1.5) и (1.9) соответственно. Интерес представляет ситуация, в которой нет предположения о выполненииусловия Ляпунова, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
