Диссертация (1149186), страница 10
Текст из файла (страница 10)
По теореме 2.4, с учетом утверждения 2.8, заключаем, что уравнение (3.1) экспоненциально устойчиво. Искомая оценка получена в предположении p 6= 0, однако она останется верной идля p = 0: в этом случае ϕ — нулевая функция, а значит, v0 (ϕ) = 0. Теоремадоказана.Теорема 3.1 представляет собой конструктивное достаточное условие.
Чтобы его проверить, нужно решить задачу квадратичного программирования, чтолегко можно сделать в программной среде MATLAB. Величины λl1 , δl , элементы строки Λl2 и матрицы Λl3 зависят от матрицы Ляпунова — функции u(τ ),τ ∈ [0, h]. В рассматриваемом случае — для уравнения (3.1) — известны аналитические выражения функции u(τ ), см., например, [42, 49, 69]. Программнаяреализация алгоритмов для общего случая — системы (1.1) — описана в приложении Б. Поскольку существование и единственность матрицы Ляпунова гарантированы только при выполнении условия Ляпунова (см.
теорему 1.9), минимум(3.9) может быть вычислен единственным образом только в этом случае.Перед проверкой теоремы 3.1 полезно проверить следующие необходимыеусловия.Утверждение 3.2. Если уравнение (3.1) экспоненциально устойчиво, то1. u(0) > 0;2. λl1 > 0 для любого N ;3. min λl1 + 2Λl2 ϕb+ϕbT Λl3 ϕb > 0 для любого N.(l)ϕ∈b SbN61Д о к а з а т е л ь с т в о. Первое утверждение является известным фактом иследует, например, из необходимых условий, приведенных в работах [42, 43], илииз интегрального представления (1.8). Второе и третье утверждения следуют изтеоремы 2.3: если уравнение экспоненциально устойчиво, то v0 (ϕ) > 0 для любойненулевой функции ϕ ∈ S.
Значит, v0 (l) > 0 для любого N, поскольку, если ϕ ∈ Sи ϕ(0) 6= 0, то и l ∈ S, и l(0) 6= 0. В частности, при p = 1, взяв минимум по всемкусочно-линейным функциям l таким, что l(0) = 1, получим утверждение 3. Приp = 1 и нулевом векторе ϕb получим утверждение 2.Таким образом, если хотя бы одно из необходимых условий утверждения 3.2не выполнено, заключаем, что уравнение (3.1) не является экспоненциальноустойчивым, не вычисляя минимум из теоремы 3.1. Следующее утверждениепозволяет оценить значение N, при котором теорема 3.1 заведомо будет выполнена, также не вычисляя этот минимум.Утверждение 3.3.
Пусть уравнение (3.1) экспоненциально устойчиво. Введемследующие величины, часть из которых уже использовалась ранее:L = 1 + |b|h,K = |a| + |b|,5χ1 = |b|c M h3 ,31c = K 2,25χ2 = b2 c M h4 ,3M = max |u(τ )|,χ3 =τ ∈[0,h]25 2 2b c M h6 .36Вычислим величину α > 0 как решение уравненияKLeαK =и зададим µ =12α(3.10)α. Тогда при любом натуральном N, удовлетворяющем неравен4ствуµN 4 − (χ1 + χ2 )N 2 − χ3 > 0,(3.11)выполнено условие теоремы 3.1.Д о к а з а т е л ь с т в о.
Относительно введенных величин заметим, что максимум M существует и конечен в силу непрерывности функции u(τ ), τ ∈ [0, h], а62µ — константа из теоремы 2.3, найденная конструктивно в доказательстве теоремы. Поскольку уравнение (3.1) экспоненциально устойчиво, v0 (ϕ) > µϕ2 (0) длялюбой функции ϕ ∈ S.
Выберем ϕ ∈ S, ϕ(0) = 1, и рассмотрим соответствующуюей кусочно-линейную функцию l. Ясно, что l ∈ S и l(0) = 1, поэтому v0 (l) > µ.Значит, и минимум по всем таким функциям l также не меньше, чем µ, т. е.min λl1 + 2Λl2 ϕb+ϕbT Λl3 ϕb > µ,(l)ϕ∈b SbNпричем такая оценка справедлива для любого N. Таким образом, мы усилилитретье необходимое условие в утверждении 3.2.Оценим теперь величину δl , выражение для которой приведено на с.
57. Дляэтого сначала вычислим интегралZ05(s2 − s∆)ds = ∆3 .6−∆Ясно, что02|b|cN ZX|u(s + j∆)|(s2 − s∆)ds 6j=1 −∆2b2 c2 2bcN Z0 Z0N XX|eukj (s1 , s2 )|(s22 − s2 ∆)ds1 ds2 6j=1 k=1 −∆ −∆N Z0 Z0N XXχ1,N2χ2,N2|eukj (s1 , s2 )|(s21 − s1 ∆)(s22 − s2 ∆)ds1 ds2 6j=1 k=1 −∆ −∆χ3,N4χ1 + χ2χ3+ 4 . Отсюда2NN l µN 4 − (χ1 + χ2 )N 2 − χ3lT lmin (λ1 − δl ) + 2Λ2 ϕb+ϕb Λ3 ϕb >.(l)N4ϕ∈b SbNпоэтому δl 6Последнее выражение положительно по условию, поэтому и минимум (3.9) положителен, что и требовалось доказать. Отметим, что значение N, при которомвыполнено неравенство (3.11), всегда существует, поскольку это неравенство задает параболу, ветви которой направлены вверх.63Константа µ в утверждении 3.3 взята из доказательства теоремы 2.3, однакоона может быть вычислена и в том случае, когда уравнение (3.1) не являетсяэкспоненциально устойчивым: величина α, определяемая из условия (3.10), всегдасуществует (за исключением случая a = b = 0, в котором не выполнено условиеЛяпунова).
Поэтому можно сформулировать важное следствие:Следствие 3.4. Если при некотором значении N неравенство (3.11) выполнено, а минимум (3.9) не положителен, то уравнение (3.1) не является экспоненциально устойчивым.Примеры параграфа 3.5 показывают, что утверждение 3.3 дает очень грубую оценку параметра N. Однако ценность этого утверждения, в совокупности соследствием 3.4, состоит в том, что на их основе может быть предложен алгоритманализа устойчивости уравнения (3.1): необходимо найти N, удовлетворяющеенеравенству (3.11), а затем вычислить минимум (3.9) при этом значении N .
Еслиэтот минимум положителен, то, согласно теореме 3.1, уравнение экспоненциально устойчиво; если нет, то, по следствию 3.4, экспоненциальной устойчивостибыть не может. Более того, для экспоненциально устойчивого уравнения всегданайдется такое значение N, при котором выполнено условие теоремы 3.1. Конечно, этот алгоритм может быть применен только в том случае, когда уравнениеудовлетворяет условию Ляпунова. Кроме того, при реализации алгоритма могутвозникнуть вычислительные трудности, если найденное значение N окажется велико.3.2Кусочно-кубическое приближениеВ предыдущем параграфе на основе кусочно-линейного приближения произвольной ненулевой функции ϕ ∈ S2 построена квадратичная оценка снизуфункционала v0 на множестве S2 и получено конструктивное достаточное условие экспоненциальной устойчивости уравнения (3.1) — теорема 3.1. Однако, вдействительности, в предложенном алгоритме гладкая функция ϕ приближается64негладкой функцией l.
Поэтому может понадобиться достаточно большое значение N для того, чтобы выполнилось условие теоремы 3.1: при небольших Nвеличина погрешности может быть велика. В этом параграфе мы будем строитьгладкое приближение функции ϕ с целью улучшения построенной оценки.А именно, вновь рассмотрим разбиение отрезка [−h, 0] на N равных чаhстей точками θj = −j∆, j = 0, N , где ∆ =. Будем искать функцию q(θ),Nθ ∈ [−h, 0], в виде сплайна так, чтобы на каждом из отрезков [θj+1 , θj ] функцияq была полиномом и при этом выполнялись условияq(θj ) = ϕ(θj ),q 0 (θj ) = ϕ0 (θj ),j = 0, N .(3.12)Эти условия гарантируют гладкость сплайна q. На каждом из отрезков [θj+1 , θj ]они накладывают четыре ограничения на функцию q, поэтому будем искать ее ввиде кубической функции:q(s + θj ) = Aj s3 + Bj s2 + Cj s + Dj ,s ∈ [−∆, 0],j = 0, N − 1.Подставляя это выражение в условия (3.12), при фиксированном j получим четыре уравнения для определения коэффициентов Aj , Bj , Cj и Dj :Dj = ϕ(θj ),−Aj ∆3 + Bj ∆2 − Cj ∆ + Dj = ϕ(θj+1 ),Cj = ϕ0 (θj ),3Aj ∆2 − 2Bj ∆ + Cj = ϕ0 (θj+1 ).Выражая отсюда Aj , Bj , Cj и Dj через значения ϕ(θj ), ϕ(θj+1 ), ϕ0 (θj ) и ϕ0 (θj+1 ),определяющие искомую кубическую функцию на j-м промежутке, будем иметьq(s + θj ) = g1 (s)ϕ(θj ) + g2 (s)ϕ(θj+1 ) + g3 (s)ϕ0 (θj ) + g4 (s)ϕ0 (θj+1 ),2s3 3s2g1 (s) = − 3 − 2 + 1, g2 (s) =∆∆32s2sg3 (s) = 2 ++ s,g4 (s) =∆∆здесь2s3 3s2+ 2,∆3∆3ss2+ , s ∈ [−∆, 0].∆2 ∆Поскольку функция ϕ теперь приближается кубическим сплайном, для оценкипогрешности приближения нам потребуется неравенство, ограничивающее ее четвертую производную.
Поэтому будем считать, что ϕ ∈ S4 ; будем использовать65следующие ограничения:|ϕ0 (θ)| 6 (|a| + |b|)|ϕ(0)|,|ϕ(θ)| 6 |ϕ(0)|,IV4|ϕ (θ)| 6 (|a| + |b|) |ϕ(0)|,(3.13)θ ∈ [−h, 0].Как и в предыдущем параграфе, зададим приближениеϕ(θ) = q(θ) + η(θ),θ ∈ [−h, 0],(3.14)здесь η(θ) — его погрешность.Оценка погрешности приближения. Вновь воспользуемся формулойТейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:s2 00s3s4ϕ (θj ) + ϕ000 (θj ) + ϕIV (θj + τj s),262423∆ 00∆ 000∆4 IV0ϕ(θj+1 ) = ϕ(θj ) − ∆ϕ (θj ) +ϕ (θj ) −ϕ (θj ) +ϕ (θj − ξj ∆),2624∆3 IV∆2 0000000ϕ (θj ) −ϕ (θj − ζj ∆), τj , ξj , ζj ∈ (0, 1).ϕ (θj+1 ) = ϕ (θj ) − ∆ϕ (θj ) +26ϕ(s + θj ) = ϕ(θj ) + sϕ0 (θj ) +Подставим эти выражения в формулу для погрешности.
После простых преобразований получимhiη(s + θj ) = ϕ(s + θj ) − g1 (s)ϕ(θj ) + g2 (s)ϕ(θj+1 ) + g3 (s)ϕ (θj ) + g4 (s)ϕ (θj+1 ) ==00s4 IV(2s3 ∆ + 3s2 ∆2 ) IV(s3 ∆ + s2 ∆2 ) IVϕ (θj + τj s) −ϕ (θj − ξj ∆) +ϕ (θj − ζj ∆),24246здесь s ∈ [−∆, 0]. Заметим, что при таких значениях s выражения, стоящие вскобках перед четвертыми производными функции ϕ, неотрицательны. Пользуясь последним из неравенств (3.13), получим оценку погрешности кусочнокубического приближения:|η(s + θj )| 641|a| + |b| |ϕ(0)|f (s),24432s ∈ [−∆, 0],j = 0, N − 1,(3.15)2f (s) = s + 6s ∆ + 7s ∆ .При s ∈ [−∆, 0] функция f (s) неотрицательна.Оценка функционала.
Подставим приближение (3.14) в функционал(3.2); для этого воспользуемся преобразованиями, проделанными в предыдущем66параграфе над вторым и третьим слагаемыми функционала. Второе слагаемоепосле подстановки в него кусочно-кубического приближения примет видN hiX123 04 0I2 = 2ϕ(0)Lj ϕ(θN −j ) + Lj ϕ(θN −j+1 ) + Lj ϕ (θN −j ) + Lj ϕ (θN −j+1 ) + Υq2 , гдеj=1Lij = bZ0u(s + j∆)gi (s)ds,i = 1, 4,j = 1, N ,−∆0Υq2= 2b ϕ(0)N ZXu(s + j∆)η(s + θN −j )ds.j=1 −∆Заметим, что выражение для группы слагаемых, зависящих от погрешности приближения, — Υq2 — совпадает с выражением для Υl2 . Для того чтобы записатьтретье слагаемое функционала, введем коэффициентыi1 i2Rkj= b2Z0 Z0uekj (s1 , s2 )gi1 (s1 )gi1 (s2 )ds1 ds2 ,i1 = 1, 4,i2 = i1 , 4,−∆ −∆здесь по-прежнему uekj (s1 , s2 ) = u s1 − s2 + (k − j)∆ .
ТогдаI3 =N hN XX1112Rkjϕ(θN −k )ϕ(θN −j ) + 2Rkjϕ(θN −k )ϕ(θN −j+1 )+j=1 k=11314+ 2Rkjϕ(θN −k )ϕ0 (θN −j ) + 2Rkjϕ(θN −k )ϕ0 (θN −j+1 )+2223+ Rkjϕ(θN −k+1 )ϕ(θN −j+1 ) + 2Rkjϕ(θN −k+1 )ϕ0 (θN −j )+2433 0+ 2Rkjϕ(θN −k+1 )ϕ0 (θN −j+1 ) + Rkjϕ (θN −k )ϕ0 (θN −j )+i34 044 0+ 2Rkjϕ (θN −k )ϕ0 (θN −j+1 ) + Rkjϕ (θN −k+1 )ϕ0 (θN −j+1 ) + Υq3 .Величина Υq3 состоит из пяти групп слагаемых и имеет видΥq3 = b2N XN Z0 Z0Xuekj (s1 , s2 ) 2g1 (s1 )ϕ(θN −k ) + 2g2 (s1 )ϕ(θN −k+1 )+j=1 k=1 −∆ −∆+ 2g3 (s1 )ϕ0 (θN −k ) + 2g4 (s1 )ϕ0 (θN −k+1 ) + η(s1 + θN −k ) η(s2 + θN −j )ds1 ds2 .Таким образом, для функционала (3.2) вновь получено представлениеv0 (ϕ) = Λq + Υq ,где Λq = v0 (q),Υq = Υq2 + Υq3 ,67здесь Λq — некоторая квадратичная форма, а Υq — группа слагаемых, зависящихот погрешности приближения.Следуя алгоритму действий предыдущего параграфа, оценим снизу величину Υq .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
