Диссертация (1149186), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

4.1.1), описана подробно, а для остальных (п. 4.1.2–4.1.4) приведены толькоокончательные формулы и утверждения. Методы сформулированы в наиболееобщем виде — для системы (1.1) с произвольными запаздываниями. Формулы дляважного частного случая — системы с кратными запаздываниями — приведены вприложении А. Это сделано по двум причинам. Во-первых, для систем с кратными запаздываниями можно рассмотреть равномерное разбиение отрезка [−h, 0],в которое включены все запаздывания, за счет чего формулы метода упрощаются, а его программная реализация может быть сделана более рациональной.Во-вторых, как уже не раз отмечалось, эффективный способ вычисления матрицы Ляпунова известен только для систем с кратными запаздываниями, и в этойглаве мы все равно ограничиваемся примерами только таких систем. В то жевремя общность формулировки методов понадобится нам в главе 5, в котороймы перейдем к анализу систем с несоизмеримыми запаздываниями. Все описанные алгоритмы реализованы в программной среде MATLAB.

Программнаяреализация обсуждается в приложении Б.82В параграфе 3.5 предыдущей главы уже упоминалось такое свойство предлагаемых методов, как сходимость, — в смысле стремления границ областейустойчивости, получаемых методами, к границам точных областей устойчивости(в пространстве параметров); стремления запаздываний, для которых гарантируется устойчивость, к критическим запаздываниям с увеличением параметра N —количества частей разбиения отрезка [−h, 0]. Для общего случая это свойствобудет строго формализовано и доказано в параграфе 4.2.В параграфе 4.3 описанные методы применяются к оценке областей экспоненциальной устойчивости в пространстве параметров. В одном из примеровиллюстрируется их использование в задаче управления — в задаче стабилизацииперевернутого маятника в вертикальном положении.

Наконец, в последнем параграфе этой главы подход к анализу устойчивости, предложенный в работе, применяется к решению задачи о нахождении запаса устойчивости экспоненциальноустойчивой системы с одним запаздыванием. Это становится возможным благодаря построению специальной интегральной оценки для производной функционала v0 . Основные результаты этой главы опубликованы в работах [6, 25, 65–67],а содержание параграфа 4.4 — в статье [23].4.14.1.1Описание методовКусочно-линейное приближениеРассмотрим произвольную вектор-функцию ϕ ∈ S2 (определение множествSk см.

на с. 47) и, приближая ее кусочно-линейной вектор-функцией, построимквадратичную оценку снизу для функционала (1.5) — оценку из теоремы 2.4 — поаналогии с тем, как это было сделано в параграфе 3.1. Поскольку запаздывания непредполагаются соизмеримыми, а значения −h1 , . . . , −hm хотелось бы включитьв число точек дробления промежутка[−h, 0] =[j=1,m[−hj , −hj−1 ],83сохранив при этом идеологию параграфа 3.1, рассмотрим равномерное разбиениекаждого из отрезков [−hj , −hj−1 ] на Nj равных частей длины ∆j точками(j)θk = −hj−1 − k∆j ,∆j =hj − hj−1,Njk = 0, Nj ,j = 1, m.(j)Верхний индекс «j» в обозначении точки θk отвечает за номер разбиваемого про(j)межутка, нижний индекс «k» — за номер точки дробления так, что θ0 = −hj−1 ,(j)(1)а θNj = −hj . В частности, θ0 = 0.

Обозначим через N = N1 + . . . + Nm общееколичество отрезков в разбиении.Приближение функции ϕ кусочно-линейной вектор-функцией в общем случае зададим в видеl s+(j) θk=ϕ(j) θks (j) s1+− ϕ θk+1,∆j∆js ∈ [−∆j , 0],(4.1)k = 0, Nj − 1,j = 1, m,а через η(θ) = ϕ(θ)−l(θ), θ ∈ [−h, 0], вновь обозначим погрешность приближения.Оценка погрешности приближения. Применим соответствующие рассуждения параграфа 3.1 к i-й компоненте вектор-функции η, которую обозначимчерез ηi (θ). Получим, что она допускает представлениеηi s +(j) θk s∆j 00 (j)s2 00 (j)= ϕi θk + τ1 s +ϕi θk − τ2 ∆j , s ∈ [−∆j , 0],22τ1 , τ2 ∈ (0, 1), k = 0, Nj − 1, j = 1, m, i = 1, n,здесь значения τ1 , τ2 — разные для каждого набора индексов i, k, j.

Посколькуϕ ∈ S2 , для нормы ее второй производной справедлива оценкаX2mkϕ00 (θ)k 6kAl k kϕ(0)k, θ ∈ [−h, 0],l=0поэтомуX2m1ηi s + θ(j) 6kAl k kϕ(0)k(s2 − s∆j ),k2s ∈ [−∆j , 0],l=0k = 0, Nj − 1,j = 1, m,i = 1, n.84Объединяя оценки всех компонент вектора η, получим окончательноvu nX2m uX√1(j)(j)η s + θ = tnkAl k kϕ(0)k(s2 − s∆j ),ηi2 s + θk 6k2i=1(4.2)l=0s ∈ [−∆j , 0],k = 0, Nj − 1,j = 1, m.Оценка функционала. Подставим приближение (4.1) в функционал (1.5).Для этого, как и в параграфе 3.1, разобьем интегралы, стоящие во второй итретьей группах слагаемых функционала (1.5), на суммы интегралов согласноразбиению отрезка [−h, 0].

Для второй группы слагаемых функционала получим0I2 = 2ϕT (0)m ZXZ l−1j −hm XXU (−θ − hj )Aj ϕ(θ)dθ = 2ϕT (0)U (−θ − hj )Aj ×j=1 −hj=1 l=1 −hlj× ϕ(θ)dθ = 2ϕT (0)j XNlm XXj=1 l=1 r=1−hl−1 −(NZ l −r)∆lU (−θ − hj )Aj ϕ(θ)dθ.−hl−1 −(Nl −r+1)∆lСделав теперь замену переменной по формулеs = θ + hl−1 + (Nl − r)∆l = θ + hl − r∆lв каждом из получившихся интегралов, будем иметьTI2 = 2ϕ (0)j XNl Z0m XXU −s − hj + hl − r∆l Aj ϕ s +(l)θNl −rds.j=1 l=1 r=1 −∆lАналогично, третью группу слагаемых функционала v0 можно представить в видеI3 =m Xm Z0Xk=1 j=1 −hk=ϕT (θ1 )ATk Z0U (θ1 + hk − θ2 − hj )Aj ϕ(θ2 )dθ2 dθ1 =−hjNl1 Nl2 Z0 Z0j Xm Xm Xk XXXϕTs1 +ATk ×(l )θN1l −r11k=1 j=1 l1 =1 l2 =1 r1 =1 r2 =1−∆ −∆l2l1× U s1 − s2 + hk − hj − hl1 + hl2 + r1 ∆l1 − r2 ∆l2 Aj ϕ s2 +(l )θN2l −r22ds1 ds2 .85Далее, подставляя приближение (4.1) в последние выражения для I2 и I3 и выполняя несложные, но громоздкие преобразования, полностью аналогичные проделанным в параграфе 3.1, получим следующее.

Функционал v0 допускает представление той же структуры, что и представление (3.6):v0 (ϕ) = Λlin + Υlin ,Λlin = v0 (l).Здесь Λlin — квадратичная форма следующего вида (принято обозначение «lin»,поскольку индекс «l» уже используется в суммировании)TTΛlin = ϕ (0)U (0)ϕ(0) + 2ϕ (0)j XNl m XXLjlr ϕ(l)θNl −r+ Mjlr ϕ(l)θNl −r+1+j=1 l=1 r=1+Nl1 Nl2 j Xk Xm Xm XXXϕT(l )θN1l −r11Pkjl1 l2 r1 r2 ϕ(l )θN2l −r22+k=1 j=1 l1 =1 l2 =1 r1 =1 r2 =1(l )+2ϕT θN1l −r11(l )(l )(l )Qkjl1 l2 r1 r2 ϕ θN2l −r2 +1 + ϕT θN1l −r1 +1 Rkjl1 l2 r1 r2 ϕ θN2l −r2 +1212с матричными коэффициентамиLjlr =Z0 s e1+Ujlr (s)ds Aj ,∆lZ0Mjlr = −−∆l−∆lPkjl1 l2 r1 r2 =ATkZ0 Z0 −∆l2 −∆l1Qkjl1 l2 r1 r2 =s eUjlr (s)ds Aj ,∆l−ATks1 s2 b1+1+Ukjl1 l2 r1 r2 (s1 , s2 )ds1 ds2 Aj ,∆l1∆l2Z0 Z0 −∆l2 −∆l1Rkjl1 l2 r1 r2 = ATks1 s2 b1+Ukjl1 l2 r1 r2 (s1 , s2 )ds1 ds2 Aj ,∆l1 ∆l2Z0 Z0−∆l2 −∆l1s1 s2 bUkjl1 l2 r1 r2 (s1 , s2 )ds1 ds2 Aj ,∆l1 ∆l2в которых для краткости приняты обозначенияejlr (s) = U −s − hj + hl − r∆l ,Ubkjl l r r (s1 , s2 ) = U s1 − s2 + hk − hj − hl + hl + r1 ∆l − r2 ∆l .U1 2 1 2121286При получении выражения для Λlin использован тот факт, что, в силу свойстваbkjl l r r (s1 , s2 ) = UbTсимметрии матрицы Ляпунова, U1 2 1 2jkl2 l1 r2 r1 (s2 , s1 ).Величина Υlin по-прежнему представляет собой группу слагаемых, зависящих от погрешности приближения:j XNl Z0m XXΥlin = 2ϕT (0)ejlr (s)Aj η s + θ(l) ds+UNl −rj=1 l=1 r=1 −∆l+Nl1 Nl2 j Xm Xk Xm XXX2ϕT(l )θN1l −r11ATk ×k=1 j=1 l1 =1 l2 =1 r1 =1 r2 =1Z0 Z0 s1 b×1+Ukjl1 l2 r1 r2 (s1 , s2 )Aj η s2∆l1−∆l2 −∆l1− 2ϕT(l )θN1l −r1 +11ATkZ0 Z0−∆l2 −∆l1Z0 Z0η T s1 ++(l )θN1l −r11+(l )θN2l −r22ds1 ds2 −s1 b(l2 )Ukjl1 l2 r1 r2 (s1 , s2 )Aj η s2 + θNl −r2 ds1 ds2 +2∆l1bkjl l r r (s1 , s2 )Aj η s2 +ATk U1 2 1 2(l )θN2l −r22ds1 ds2 ,−∆l2 −∆l1которая, с учетом оценки погрешности (4.2), а также условия kϕ(θ)k 6 kϕ(0)k,θ ∈ [−h, 0], допускает оценку снизу видаΥlin > −δlin kϕ(0)k2 ,δlinгдеZ0j XNlm X√ Xejlr (s)(s2 − s∆l )ds+= 2C nkAj k Uj=1 l=1 r=1+Nl1 Nl2j Xm Xm Xk XXX−∆lkAk kkAj k×k=1 j=1 l1 =1 l2 =1 r1 =1 r2 =1"Z0 Z0√bkjl l r r (s1 , s2 )(s22 − s2 ∆l )ds1 ds2 +U1 2 1 22× 2C n−∆l2 −∆l1+ C 2nZ0 Z0−∆l2 −∆l1# 2bkjl l r r (s1 , s2 )(s1 − s1 ∆l )(s22 − s2 ∆l )ds1 ds2 ,U1 2 1 212(4.3)87m21 Pздесь C =kAl k .

Таким образом, для функционала v0 , как и в парагра2 l=0фе 3.1, получена оценка снизуv0 (ϕ) > Λlin − δlin kϕ(0)k2 ,ϕ ∈ S2 ,Tкоторая является квадратичной формой относительно вектора ξb = pT , ϕbT .Здесь p = ϕ(0) — вектор размерности n, аT(1) (1) (2) (2) (m) (m) TTTTTTϕb = ϕ θ1 , . . .

, ϕ θN1 , ϕ θ1 , . . . , ϕ θN2 , . . . , ϕ θ1 , . . . , ϕ θNm .(j)Вектор ϕb образован последовательным соединением векторов ϕ(θk ) по всем точкам дробления промежутка [−h, 0], кроме нуля. Другими словами, как и в параграфе 3.1, этот вектор состоит из значений функции ϕ в узлах разбиения промежутка, отличие состоит лишь в том, что теперь эти значения — векторные.Размерность вектора ϕb равна n(N1 + .

. . + Nm ) = nN. Составляющие вектора ϕbбудем обозначать через(j)(j) ϕbk = ϕ θk,k = 0, Nj ,j = 1, m,(1)b0 = p.а его i-ю компоненту — через ϕbi , i = 1, nN . В таких обозначениях ϕВыделяя, согласно логике изложения параграфа 3.1, слагаемые, содержащие вектор p, в выражении для Λlin , получимmm XmXXΛlin = Λlin (p, ϕ)b = pT U (0) + 2Lj1N1 +Pkj11N1 N1 p +j=1"+2pTj m XXk=1 j=1j Nmm Xml −1XXXX(l)(l)LjlNl +Pkj1lN1 Nl ϕb0 +Ljlr +Pkj1lN1 r ϕbNl −r +j=2 l=2j=1 l=1 r=1k=1k=1j XjNl m Xmm Xm Xk XXXX(l)(l ) T(l )+Mjlr +Qkj1lN1 r ϕbNl −r+1 +ϕb0 1 Pkjl1 l2 Nl1 Nl2 ϕb0 2 +#j=1 l=1 r=1k=2 j=2 l1 =2 l2 =2k=1+2l2 −1j NXm Xm Xk XX(l ) T(l )ϕb0 1 Pkjl1 l2 Nl1 r ϕbN2l2−r +k=2 j=1 l1 =2 l2 =1 r=1+2Nl2j Xm Xm Xk XX(l ) T(l )ϕb0 1 Qkjl1 l2 Nl1 r ϕbN2l2k=2 j=1 l1 =2 l2 =1 r=1−r+1 +88+l1 −1 Nl2 −1j NXm Xk Xm XXX(l ) T(l )bN2l −r2 +−r1 Pkjl1 l2 r1 r2 ϕ12ϕbN1lk=1 j=1 l1 =1 l2 =1 r1 =1 r2 =1+2l1 −1 Nl2j NXm Xm Xk XXX(l ) T(l )Qkjl1 l2 r1 r2 ϕbN2l −r2 +1 +−r112ϕbN1lk=1 j=1 l1 =1 l2 =1 r1 =1 r2 =1+Nl1 Nl2j Xm Xk Xm XXX(l ) T(l )Rkjl1 l2 r1 r2 ϕbN2l −r2 +1 .−r+1112ϕbN1lk=1 j=1 l1 =1 l2 =1 r1 =1 r2 =1При этом, если в какой-то сумме верхний индекс суммирования меньше, чемнижний, то эта сумма отсутствует в представлении.Подведем итог.

Характеристики

Список файлов диссертации