Диссертация (1149186), страница 7
Текст из файла (страница 7)
е. нельзя пользоваться теорией параграфа 1.2. Утверждения 2.1 и 2.2 предназначены для применения именно в этой ситуации.Утверждение 2.1. Пусть задана положительно-определенная матрица W и37существует функционал v0 (ϕ) такой, чтоdv0 (xt )= −xT (t)W x(t)dtвдоль решений системы (1.1). Тогда система (1.1) не имеет собственных чисел,расположенных на мнимой оси комплексной плоскости.Д о к а з а т е л ь с т в о. Проинтегрируем равенство из условия утвержденияна отрезке [0, H] при произвольном H > 0 :ZHv0 (xH (ϕ)) − v0 (ϕ) = −xT (t)W x(t)dt.(2.1)0Предположим, что система имеет собственное число λ = 0. Значит, онаимеет постоянное решение x(t) = C, t > −h, здесь C ∈ Rn — ненулевой вектор.Ясно, что тождество (2.1) на этом решении обращается вC T W C = 0,что невозможно, поскольку матрица W положительно определена.Пусть теперь имеется пара чисто мнимых собственных чисел λ = ±iβ, гдеβ > 0.
В этом случае система имеет решение x(t) = cos βt C1 − sin βt C2 , здесь2πвекторы C1 , C2 ∈ Rn — не нулевые одновременно. Выберем число H =>0иβначальную функциюϕ(θ) = cos βθ C1 − sin βθ C2 ,θ ∈ [−h, 0].Поскольку x(H + θ) = ϕ(θ), θ ∈ [−h, 0], то v0 xH (ϕ) = v0 (ϕ). Поэтому тождество (2.1) на решении x(t) при выбранном H обращается вZHcos βt C1 − sin βt C2TW cos βt C1 − sin βt C2 dt = 0,0что равносильноZH0cos2 (βt)dt C1T W C1 +ZH0sin2 (βt)dt C2T W C2 −ZH0sin(2βt)dt C1T W C2 = 0.38Очевидно, полученное равенство противоречиво: интеграл в его последнем слагаемом равен нулю, а сумма первых двух слагаемых положительна. Утверждениедоказано.Утверждение 2.2.
Пусть заданы положительно-определенные матрицы W0 ,W1 , . . . , W2m и существует функционал v(ϕ) такой, что0mXm ZXdv(xt )= −xT (t)W0 x(t)−xT (t−hj )Wj x(t−hj )−dtj=1j=1xT (t+θ)Wm+j x(t+θ)dθ−hjвдоль решений системы (1.1). Тогда система (1.1) не имеет собственных чисел,расположенных на мнимой оси комплексной плоскости.Д о к а з а т е л ь с т в о. Роль тождества (2.1) в этом утверждении играетнеравенствоv xH (ϕ) − v(ϕ) 6 −ZHxT (t)W0 x(t)dt.(2.2)0Доказательство полностью аналогично доказательству утверждения 2.1, с заменой матрицы W на W0 и соответствующих равенств на неравенства.В заключение параграфа отметим очевидный факт, связанный с множеством S : функция ϕ ∈ S — нулевая функция тогда и только тогда, когда ϕ(0) = 0.2.2Теоремы об экспоненциальной устойчивостиТеорема 2.3.
Пусть система (1.1) экспоненциально устойчива. Тогда для любой положительно-определенной матрицы W существует функционал v0 (ϕ),удовлетворяющий условиям:dv0 (xt )1.= −xT (t)W x(t) вдоль решений системы (1.1);dt2. существует µ > 0 такое, что v0 (ϕ) > µkϕ(0)k2 на функциях ϕ ∈ S.Д о к а з а т е л ь с т в о. По условию, система (1.1) экспоненциально устойчива. Это значит, что существует функционал v0 (ϕ), определяемый формулой (1.5).39Согласно изложенному в пункте 1.2.1, первое утверждение теоремы выполненодля этого функционала по построению. Для доказательства второго утверждениявыберем произвольную кусочно-непрерывную функцию ϕ ∈ S и построим квадратичную оценку снизу для функционала v0 (ϕ).
Обозначим α = kϕkh . Заметим,что kϕ(0)k = α, поскольку ϕ ∈ S.Сначала покажем, что можно выбрать δ > 0 так, чтобы для решения x(t, ϕ)была справедлива оценкаkx(t, ϕ)k >kϕ(0)k,20 6 t 6 δ.(2.3)Проинтегрируем равенство (1.1), а затем оценим норму решения:Ztkx(t, ϕ)k 6 kϕ(0)k + kA0 kkx(s, ϕ)kds +mXZtkAj kj=10kx(s − hj , ϕ)kds,t > 0.0В каждом из интегралов, стоящих под знаком суммы, сделаем замену переменнойпо формуле ξ = s − hj и запишем оценкуt−hZ jZ0kx(ξ, ϕ)kdξ 6−hjZtkϕ(ξ)kdξ +−hjkx(ξ, ϕ)kdξ.0ТогдаZtkx(ξ, ϕ)kdξ,kx(t, ϕ)k 6 αL + Kt > 0,0где L = 1 +mPj=1kAj khj , K =mPkAj k. Пользуясь леммой Гронуолла (см. [1],j=0с. 43), получим следующую оценку сверху для решения:kx(t, ϕ)k 6 αLeKt ,t > 0.Обозначим M (t) = αLeKt . Зафиксируем некоторое δ > 0, тогда M (t) 6 M (δ)при 0 6 t 6 δ.
Кроме того, ясно, что kx(t, ϕ)k 6 α = kϕkh при −h 6 t 6 0, аM (t) > α при всех t > 0. Поэтомуkx(t, ϕ)k 6 M (δ),−h 6 t 6 δ.40Вновь интегрируя равенство (1.1), получимkx(t, ϕ) − ϕ(0)k 6mXj=0ZtkAj k kx(s − hj , ϕ)kds 6 KM (δ)t 6 KM (δ)δ,0 6 t 6 δ,0откудаkx(t, ϕ)k > kϕ(0)k − KM (δ)δ,0 6 t 6 δ.Выберем теперь δ > 0 из условияKLeKδ =1,2δтакое значение δ существует, поскольку K > 0. Тогда KM (δ) =α, откуда полу2δчим требуемое неравенство (2.3).Окончательно, в силу экспоненциальной устойчивости системы (1.1),Z+∞Zδkϕ(0)k2T2v0 (ϕ) =x (t, ϕ)W x(t, ϕ)dt > λmin (W ) kx(t, ϕ)k dt > λmin (W )δ.400λmin (W )δ> 0, и теорема доказана.
Отметим, что доказа4тельство теоремы дает конструктивный способ нахождения константы µ.Таким образом, µ =Замечание. Доказательство теоремы 2.3 основано на доказательстве теоремы 1.7 (W. Huang, см. работу [49]). Главное отличие состоит в следующем. Втеореме 1.7 предполагается, что kϕkh 6 H, и получается δ = c(H)kϕ(0)k, т. е.δ существенно зависит от начальной функции — от значений kϕ(0)k и kϕkh .В результате оценка функционала получается лишь кубической и, кроме того,локальной. Выбор функции ϕ из множества S в теореме 2.3 позволяет найтине зависящую от начальной функции величину δ, для которой выполнено неравенство (2.3), что приводит нас к квадратичной оценке функционала снизу намножестве S.Теорема 2.4.
Пусть задана положительно-определенная матрица W и существует непрерывный в нуле функционал v0 (ϕ) (v0 (0h ) = 0), удовлетворяющийусловиям:41dv0 (xt )= −xT (t)W x(t) вдоль решений системы (1.1);dt2. существует µ > 0 такое, что v0 (ϕ) > µkϕ(0)k2 на функциях ϕ ∈ S.1.Тогда система (1.1) экспоненциально устойчива.Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно утверждению 2.1, в условиях теоремы система (1.1) не имеет чисто мнимых собственных чисел.
Предположим, что онаимеет собственное число λ̄ с положительной вещественной частью (Re λ̄ > 0), ипокажем, что в этом случае найдется функция ϕ ∈ S, на которойv0 (ϕ) 6 −µkϕ(0)k2(2.4)при некотором µ > 0. Поскольку это противоречит второму условию теоремы,это и будет означать экспоненциальную устойчивость системы (1.1).Пусть сначала λ̄ = α > 0 — вещественное собственное число системы (1.1).В этом случае система имеет решение x(t) = eαt C, где C ∈ Rn — ненулевойвектор.
Выберем начальную функциюϕ(θ) = eαθ C,θ ∈ [−h, 0].В силу единственности решения x(t, ϕ) = eαt C, t > −h. Заметим, что, посколькуфункция ϕ монотонно возрастает, ϕ ∈ S. Построим на этой функции оценку (2.4).Для этого проинтегрируем равенство из первого условия теоремы на отрезке[0, H] при произвольном H > 0 :ZHv0 (xH (ϕ)) = v0 (ϕ) −xT (t, ϕ)W x(t, ϕ)dt.(2.5)0Сразу заметим, что, в силу линейности системы, начальной функции rϕ, где r —произвольная константа, соответствует решение x(t, rϕ) = rx(t, ϕ). Поэтому длялюбого r имеемv0 (rxH (ϕ)) = v0 (rϕ) − r2ZH0xT (t, ϕ)W x(t, ϕ)dt.(2.6)42Запишем равенство (2.5) на конкретном решении x(t, ϕ) = eαt C, при этом учтем,чтоx(H + θ, ϕ) = eα(H+θ) C = eαH ϕ(θ),θ ∈ [−h, 0],т. е. xH (ϕ) = eαH ϕ.
ТогдаZHv0 (eαH ϕ) = v0 (ϕ) − γ(H)C T W C,где γ(H) =e2αt dt =1 2αH(e− 1).2α0Применяя теперь равенство (2.6) при r = e−lαH , где l — произвольное целое число,получимv0 (e−(l−1)αH ϕ) = v0 (e−lαH ϕ) − e−2lαH γ(H)C T W C.В частности, при r = e−αH , т. е. при l = 1, имеемv0 (ϕ) = v0 (e−αH ϕ) − e−2αH γ(H)C T W C.Подставим эти равенства последовательно одно в другое: в последнем учтем выражение для v0 (e−αH ϕ), известное из предыдущего при l = 2, и т. д. до l = k, гдеk — некоторое целое число.
Окончательно,−kαHv0 (ϕ) = v0 (eϕ) −kXe−2lαH γ(H)C T W C.l=1Переходя теперь к пределу при k → +∞ и пользуясь непрерывностью функционала v0 в нуле и тем, что v0 (0h ) = 0, получимv0 (ϕ) = −+∞Xl=1e−2lαHe−2αHγ(H)C T W C.γ(H)C W C = −−2αH1−eTОстается только вспомнить выражение для γ(H) и учесть тот факт, что ϕ(0) = C :v0 (ϕ) = −1 Tϕ (0)W ϕ(0),2αоткуда получим требуемую оценку (2.4) при µ =λmin (W )> 0.2α43Пусть теперь λ̄ = α + iβ, где α > 0, β 6= 0, а C = C1 + iC2 , причемC1 , C2 ∈ Rn — не нулевые векторы одновременно.
Как было отмечено в параграфе 1.1, в этом случае система (1.1) имеет вещественное решениеx(t) = eαt ψ(t),Введем число H =где ψ(t) = cos βt C1 − sin βt C2 .2πи найдем значение t̄ ∈ [0, H] такое, что|β|kψ(t̄ )k = max kψ(t)k.t∈[0,H]Поскольку ψ — H-периодическая вектор-функция, получим kψ(t)k 6 kψ(t̄ )k длялюбого t > −h. Выберем теперь начальную функциюϕ(θ) = eα(θ+t̄ ) ψ(θ + t̄ ),θ ∈ [−h, 0].В силу единственности решения x(t, ϕ) = eα(t+t̄ ) ψ(t + t̄ ), t > −h, — эта функция, очевидно, является решением системы (1.1), поскольку система стационарна.Кроме того, вновь ϕ ∈ S :kϕ(θ)k = eα(θ+t̄ ) kψ(θ + t̄ )k 6 eαt̄ kψ(t̄ )k = kϕ(0)k,θ ∈ [−h, 0].А также, как и в предыдущем случае, xH (ϕ) = eαH ϕ :x(H + θ, ϕ) = eα(H+θ+t̄) ψ(H + θ + t̄) = eαH eα(θ+t̄) ψ(θ + t̄) = eαH ϕ(θ), θ ∈ [−h, 0].Отметим, что выполнения двух последних условий — ϕ ∈ S и xH (ϕ) = eαH ϕ —удалось добиться за счет соответствующего выбора постоянных t̄ и H.Вновь обратимся к равенству (2.5), уже при конкретном значении H, в отличие от предыдущего случая, и запишем его на решении x(t, ϕ) :v0 eαH ϕ = v0 (ϕ) −ZHxT (t, ϕ)W x(t, ϕ)dt.(2.7)0Оценим отдельно интеграл, стоящий в правой части формулы (2.7).
Для этогосначала заметим, чтоx(t, ϕ) = eα(t+t̄) cos βt ξ1 − sin βt ξ2 ,ξ1 = cos β t̄ C1 − sin β t̄ C2 = ψ(t̄),гдеξ2 = sin β t̄ C1 + cos β t̄ C2 .44Далее,ZHxT (t, ϕ)W x(t, ϕ)dt > λmin (W )0ZHkx(t, ϕ)k2 dt = λmin (W )e2αt̄ ×0× kξ1 k2ZHe2αt cos2 (βt) dt + kξ2 k20ZHe2αt sin2 (βt) dt − ξ1T ξ20ZHe2αt sin(2βt)dt.0Вычислим интегралы в последнем выражении, пользуясь методом интегрирования по частям.
ИмеемZHe2αt sin(2βt)dt = −β(e2αH − 1),222(α + β )0откудаZHZH12α2 + β 22αt22αt2αHe cos (βt)dt =e− 1 + β e sin(2βt)dt =(e2αH − 1),222α4α(α + β )00ZH2αte0βsin (βt)dt = −2α2ZHe2αtβ2sin(2βt)dt =(e2αH − 1).224α(α + β )0Кроме того, применим неравенство Коши – Буняковского ξ1T ξ2 > −kξ1 kkξ2 k иучтем тот факт, что kϕ(0)k = eαt̄ kξ1 k. Тогда окончательноZH0e2αt̄ (e2αH − 1) h 2x (t, ϕ)W x(t, ϕ)dt > λmin (W )(α + β 2 )kξ1 k2 +224α(α + β )2 iλmin (W ) 2αH+ αkξ1 k − |β|kξ2 k> γ1 (H)kϕ(0)k2 , где γ1 (H) =e−1 .4αTВернемся к равенству (2.7). С учетом последней оценкиv0 (eαH ϕ) 6 v0 (ϕ) − γ1 (H)kϕ(0)k2 .Как и в предыдущем случае, можно заметить, что для любого rv0 (reαH ϕ) 6 v0 (rϕ) − r2 γ1 (H)kϕ(0)k2 .45Запишем это неравенство при r = e−lαH , l ∈ Z, и последовательно учтем неравенства, полученные при l = 1, k, k ∈ Z :v0 (ϕ) 6 v0 (e−kαHϕ) −kXe−2lαH γ1 (H)kϕ(0)k2 .l=1Наконец, вновь переходя к пределу при k → +∞ и учитывая непрерывностьфункционала в нуле, будем иметьv0 (ϕ) 6 −µkϕ(0)k2 ,µ=λmin (W )> 0.4αТаким образом, мы предположили, что система имеет собственное число λ̄ сположительной вещественной частью, и, отдельно рассмотрев случаи вещественного и комплексного λ̄, получили, что найдется функция ϕ ∈ S, для которойсправедлива оценка (2.4).
Следовательно, вещественные части всех собственныхчисел системы (1.1) отрицательны, что равносильно ее экспоненциальной устойчивости. Теорема доказана.Замечание. Из формулировки теоремы 2.4, вообще говоря, не следует, что функционал v0 , о котором идет речь, — квадратичный функционал структуры (1.5),поскольку в теореме не предполагается выполнение условия Ляпунова. Однакоэто следует из доказанного — без использования информации о структуре функционала доказана экспоненциальная устойчивость системы (1.1).2.3Теоремы о неустойчивостиС учетом утверждения 2.1 теоремы о неустойчивости являются прямымследствием теорем об экспоненциальной устойчивости:Теорема 2.5. Пусть система (1.1) неустойчива и удовлетворяет условию Ляпунова.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
