Диссертация (1145407), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Çäåñü ìû áóäåìïðåäïîëàãàòü, ÷òî ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ âûáðàíû òàêèì îáðàçîì, ÷òî îíèíå äàþò ñóùåñòâåííîãî âêëàäà â ïîãðåøíîñòü, ëèáî èõ âêëàä ìîæåò áûòüó÷òåí àíàëèòè÷åñêè. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñëåäóþùèå îðìû ñåòîêχnpower = un ,χnexp =enu −1en −1äëÿ ñðàâíåíèÿ ñ àñèìïòîòè÷åñêè îïòèìàëüíîé χopt , çàäàííîé óðàâíåíèÿìè (1.20) è (1.21).Èñïîëüçóåìûå íàìè ìåòîäû êîëëîêàöèé ïîçâîëÿþò îæèäàòü ñõîäèìîñòü ïîðÿäêà O(N −(k+1) ), ãäå k ïîðÿäîê ñïëàéíà.
Ïîýòîìó åñòåñòâåííîïàðàìåòðèçîâàòü âû÷èñëèòåëüíóþ ïîãðåøíîñòü îáðàòíûì ÷èñëîì òî÷åêñåòêè1N.Îòâå÷àþùèé çà ïîãðåøíîñòü ÷ëåí Eerr ( N1 ) âåä¼ò ñåáÿ íåðåãóëÿðíîïî ÷èñëó òî÷åê ñåòêè, è åãî òî÷íàÿ îöåíêà ÿâëÿåòñÿ ñëîæíîé çàäà÷åé. Åãîàáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà, îäíàêî, äîëæíà âåñòè ñåáÿ êàê1N k+1 .×òîáû îõàðàê-òåðèçîâàòü ñõîäèìîñòü, ïîëó÷åííóþ ïðè êîíêðåòíîì âûáîðå êàðòèðóþùåéóíêöèè χ, áóäåì ïðèáëèæàòü âåëè÷èíó ẼN êàê óíêöèþ êîëè÷åñòâà òî÷åê ñåòêè â âèäåẼ (N ) = E + C1N k+1.(1.22)Êîýèöèåíò C õàðàêòåðèçóåò ñêîðîñòü ñõîäèìîñòè. ×åì ýòî êîíñòàíòà44ìåíüøå, òåì íà ìåíüøåì êîëè÷åñòâå òî÷åê ñåòêè ìû ïîëó÷èì ãàðàíòèðîâàííî ìàëóþ ïîãðåøíîñòü.×òîáû ïðîèëëþñòðèðîâàòü ñìûñë êîýèöèåíòà C , íà ðèñóíêå 1.2 ïîêàçàíû ãðàèêè ñõîäèìîñòè ýíåðãèè ñâÿçàííîãî ñîñòîÿíèÿ äèìåðà ãåëèÿHe2 , âû÷èñëåííîé ñ òðåìÿ êàðòèðóþùèìè óíêöèÿìè: χopt , χ8exp è χ4power .Íà ðèñóíêå1.2a) ýíåðãèÿ ñâÿçàííîãî ñîñòîÿíèÿ, âû÷èñëåííàÿ íà ñïëàéíàõS3,2, ïîêàçàíà êàê óíêöèÿ íàäëåæàùèì îáðàçîì ñêàëèðîâàííîãî ÷èñëà òî÷åê ñåòêè è ðåçóëüòàòû ïîäãîíêè ýòîé âåëè÷èíû ñîîòíîøåíèåì (1.22).
Ìåòîä îðòîãîíàëüíûõ êîëëîêàöèé, ïðèìåíÿåìûé íàìè, íå ÿâëÿåòñÿ âàðèàöèîííûì, è îøèáêà àïïðîêñèìàöèè ñîáñòâåííûõ ÷èñåë ãàìèëüòîíèàíà èìååòòîò æå ñàìûé ïîðÿäîê òî÷íîñòè, ÷òî è âîëíîâàÿ óíêöèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî,âû÷èñëèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü äîëæíà âåñòè ñåáÿ êàê O(N −4 ). Ìû, äåéñòâèòåëüíî, íàáëþäàåì òàêîå ïîâåäåíèå íà ðèñóíêàõ 1.2a-b. Êîýèöèåíò ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè C îòâå÷àåò óãëó íàêëîíà ïðÿìûõ íà ðèñóíêå 1.2a. Âàæíîçàìåòèòü, ÷òî ïîñêîëüêó èñïîëüçóåìûé ìåòîä íå ÿâëÿåòñÿ âàðèàöèîííûì,âû÷èñëèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü ìîæåò âåñòè ñåáÿ íåìîíîòîííî, è ïîñêîëüêóêîýèöèåíò C âû÷èñëÿåòñÿ êàê ðåçóëüòàò ïîäãîíêè ñîîòíîøåíèÿ (1.22) êíàáëþäàåìûì íåìîíîòîííûì äàííûì, îí ìîæåò áûòü îïðåäåë¼í ñ ïîãðåøíîñòüþ îêîëî 50%, åãî îöåíêà ìîæåò íåñêîëüêî ìåíÿòüñÿ â çàâèñèìîñòè îòâûáîðêè ñåòîê, èñïîëüçóåìîé â ïðîöåäóðå ïîäãîíêè.
Ïîýòîìó äëÿ îöåíêèâåëè÷èíû ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè C ìû ïðèâîäèì ëèøü îäíó çíà÷àùóþ öèðó, è íåáîëüøèå âàðèàöèè îöåíêè ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè â ïðåäåëàõ îäíîãîïîðÿäêà âåëè÷èíû ìîãóò ñ÷èòàòüñÿ íåçíà÷èòåëüíûìè. òàáëèöå 1.1 ïðèâåäåíû îöåíêè êîýèöèåíòà ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè.Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ îïòèìàëüíîé óíêöèè êàðòèðîâàíèÿ, îöåíêà îøèáêè ïîìåíüøåé ìåðå íà ïîðÿäîê (êàê ïðàâèëî - íà äâà è áîëåå ïîðÿäêîâ) ìåíüøå,÷åì äëÿ äðóãèõ ðàññìîòðåííûõ âàðèàíòîâ êàðòèðóþùèõ óíêöèé. Ýòîò45E2, a.u.-3.95e-09χoptχ4χ81e-10power1e-11Absolute error, a.u.-3.9e-09exp-4e-09-4.05e-09-4.1e-09χoptχ8χ4exppower1e-121e-131e-141e-15-4.15e-0901e-082e-081/N3e-084e-081e-160.00140.011/Na)b)èñ.
1.2: Ñõîäèìîñòü ýíåðãèè ñâÿçàííîãî ñîñòîÿíèÿ He2 äëÿ ìîäåëüíîãîïîòåíöèàëà LM2M2ðåçóëüòàò òðóäíî ñ÷åñòü íåîæèäàííûì, âçãëÿíóâ íà ðèñóíîê 1.3. Äåéñòâèòåëüî, îïòèìàëüíàÿ êàðòèðóþùàÿ óíêöèÿ íå ëèíåéíà â ëîãàðèìè÷åñêîììàñøòàáå, è òðóäíî îæèäàòü, ÷òî ïðîñòûå ñòåïåííûå ñåòêè χmpower äàäóòõîðîøóþ àïïðîêñèìàöèþ ðåøåíèÿ. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ýêñïîíåíöèàëüíûåñåòêè, ìîãóò ïðèáëèçèòü îïòèìàëüíóþ ñåòêó çàìåòíî ëó÷øå ïðè n ≈ 8, èîöåíêà ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè ïðè n = 8 äëÿ ýêñïîíåíöèàëüíûõ ñåòîê äà¼òíàèëó÷øèé ðåçóëüòàò â ïðåäåëàõ êëàññà.Âñå ïðåäñòàâëåííûå ïðèìåðû ñåòîê áûëè ïîñòðîåíû äëÿ äâóõ÷àñòè÷íûõ ñèñòåì ñ íóëåâûì óãëîâûì ìîìåíòîì l = 0 (Eq.1.17).
Ïðè ïîñòðîåíèè ñåòîê äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ âû÷èñëåíèé â çàäà÷å íåñêîëüêèõ òåë ìûòàêæå äîëæíû äîñòàòî÷íî òî÷íî âîñïðîèçâîäèòü ñîñòîÿíèÿ ñ íåíóëåâûìîðáèòàëüíûì ìîìåíòîì. Öåíòðîáåæíûé áàðüåð äëÿ òàêèõ ñîñòîÿíèé ÷àñòî ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê ìàëîå âîçìóùåíèå íà îíå äâóõ÷àñòè÷íîãî âçàèìîäåéñòâèÿ, è âêëþ÷åíèå â ãðàäóèðîâî÷íóþ óíêöèþ íåáîëüøîãî ÷èñëà ðîòàöèîííî âîçáóæäåííûõ ñîñòîÿíèé ñ ìàëûìè óãëîâûìè ìîìåíòàìè íå ïðåäñòàâëÿåòñÿ îáÿçàòåëüíûì.
Ñðàâíèì ñïåêòðû ðîòàöèîííûõâîçáóæäåíèé äèìåðà Ne2 , âû÷èñëåííûå íà ñåòêàõ, îïòèìèçèðîâàííûõ äëÿs-âîëíîâûõ ñîñòîÿíèé, ñî ñïåêòðàìè âû÷èñëåííûìè íà ñåòêàõ, îïòèìèçè461χopt0.1mχnpowexpχ(u)0.01χ0.001n=50.0001n=7n=91e-050.0010.01m=3um=4 m=50.11èñ. 1.3: Îïòèìàëüíûå è íåîïòèìàëüíûå êàðòèðóþùèå óíêöèè äëÿ He2 .47Òàáëèöà 1.1: Îöåíêè ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè C äëÿ ýíåðãèé s-âîëíîâûõ ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèé He2 è Ne2 äëÿ ðàçíûõ íåðàâíîìåðíûõ ñåòîêHe2nχnpowerχnexpχopt3 1 × 10−2 −3 × 10−14 6 × 10−34 × 10−26 5 × 10−310−35 5 × 10−37 5 × 10−38 6 × 10−35 × 10−3 6 × 10−56 × 10−45 × 10−4Ne2n χnpowerχnexpNe∗2n χnpowerχoptχnexpχopt361013610143343254 8 × 10−1 −2 × 10−354 9 × 10−1 −2 × 10−37 7 × 10−176786 6 × 10−16781Ne∗∗2nχnpowerχnexpχopt3 2 × 10−1 3 × 10−14 1 × 10−1 8 × 10−25 1 × 10−1 3 × 10−2 −3 × 10−66 2 × 10−1 2 × 10−27 3 × 10−1 3 × 10−28 2 × 10−1 4 × 10−2486 7 × 10−12 8 × 10−171Òàáëèöà 1.2: Ne2 ñêîðîñòü ñõîäèìîñòè äëÿ ðîòàöèîííî âîçáóæäåííûõ ñîñòîÿíèé.
Îïòèìàëüíàÿ êàðòèðóþùàÿ óíêöèÿ χopt ñòðîèëàñü äëÿ ñîñòîÿíèéñ óãëîâûì ìîìåíòîì lopt , ïðèâåäåíû ñîîòâåòñòâóþùèå êîýèöèåíòû ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè C äëÿ ýíåðãèé ñîîòâåòñòâóþùèõ ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèé.Groundlopt1s1st exited1p1d1f2s2p2nd exited2d2f3s0-2e-3 -2e-3 -2e-3 -2e-3 -3e-3 -3e-3 -2e-3 -2-e3-2e-61-2e-3 -2e-3 -2e-3 -2e-3 -3e-3 -3e-3 -2e-3 -3e-31e-32-3e-3 -3e-3 -3e-3 -3e-3 -4e-3 -4e-3 -4e-3 -3e-35e-43-4e-3 -4e-3 -3e-3 -3e-3 -5e-3 -5e-3 -4e-3 -4e-35e-4ðîâàííûõ äëÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé óãëîâîãî ìîìåíòà. Ñîîòâåòñòâóþùèåîöåíêè ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè äëÿ s-, p-, d- è f-âîëí ïðèâåäåíû â òàáëèöå 1.2.Ñåòêà áûëà îïòèìèçèðîâàíà äëÿ âîñïðîèçâåäåíèÿ ïÿòè ñîáñòâåííûõ ñîñòîÿíèé, îòâå÷àþùèõ íàèìåíüøèì ýíåðãèÿì äâóõ÷àñòè÷íîãî ãàìèëüòîíèàíà ñ óãëîâûì êâàíòîâûì ÷èñëîì lopt è èñïîëüçîâàíà äëÿ âû÷èñëåíèÿ îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ è íåñêîëüêèõ âèáðàöèîííûõ è ðîòàöèîííûõ âîçáóæäåíèé.Îöåíêè ýíåðãèè ÷åðåç ýêñòðàïîëÿöèþ íàõîäÿòñÿ â âåëèêîëåïíîì ñîãëàñèè,ñ îòêëîíåíèÿìè íà óðîâíå 10−13 a.u., ÷òî ñðàâíèìî ñ ïîãðåøíîñòüþ, âíîñèìîé ïîñòàíîâêîé ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ íà ðàññòîÿíèè 500 a.u.
Êàê è îæèäàëîñü, îïòèìèçàöèÿ ñåòêè äëÿ s-âîëíîâîãî ñîñòîÿíèÿ îáåñïå÷èâàåò î÷åíüõîðîøèé áàçèñ äëÿ âîñïðîèçâåäåíèÿ ðîòàöèîííî âîçáóæäåííûõ ñîñòîÿíèé.Àíàëîãè÷íî, îïòèìèçàöèÿ ñåòêè äëÿ ðîòàöèîííî âîçáóæäåííûõ ñîñòîÿíèéäà¼ò î÷åíü õîðîøèå ðåçóëüòàòû è äëÿ äâóõ ïåðâûõ âèáðàöèîííûõ ñîñòîÿíèé â s-âîëíå. Ñõîäèìîñòü äëÿ îêîëîïîðãîâîãî s-âîëíîâîãî ñîñòîÿíèÿ, îäíàêî, îêàçûâàåòñÿ çàìåòíî áîëåå ìåäëåííîé, õîòÿ è ñðàâíèìîé ñî ñõîäèìîñòüþ äëÿ ïåðâûõ äâóõ ñîñòîÿíèé. Òàêèì îáðàçîì, ìû ìîæåì çàêëþ÷èòü,49÷òî îïòèìèçàöèè ñåòêè äëÿ âîñïðîèçâåäåíèÿ s-âîëíîâûõ ñîñòîÿíèé äîñòàòî÷íî äëÿ õîðîøåãî îïèñàíèÿ ïðîöåññîâ, âêëþ÷àþùèõ ëèøü íåñêîëüêî ðîòàöèîííûõ âîçáóæäåíèé.Äðóãîé âàæíûé âîïðîñ - ñêîëüêî ñîñòîÿíèé ñëåäóåò âêëþ÷àòü â ãðàäóèðîâî÷íóþ óíêöèþ (1.21). Òàáëèöà 1.3 äåìîíñòðèðóåò, ÷òî ÷èñëî ñîñòîÿíèé, êîòîðûå äîëæíû áûòü âêëþ÷åíû â ãðàäóèðîâî÷íóþ óíêöèþ äëÿâîñïðîèçâåäåíèÿ äèñêðåòíîãî ñïåêòðà îïåðàòîðà äîëæíî áûòü íå ìåíüøå,÷åì êîëè÷åñòâî s-âîëíîâûõ ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèé.
Ïðè âêëþ÷åíèè áîëåüøåãî êîëè÷åñòâà ñîñòîÿíèé â ãðàäóèðîâî÷íóþ óíêöèþ, ñõîäèìîñòü ýíåðãèé ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèé íåçíà÷èòåëüíî çàìåäëÿåòñÿ. Ìîæíî, îäíàêî, îæèäàòü, ÷òî ñîñòîÿíèÿ, îòâå÷àþùèå íåïðåðûâíîìó ñïåêòðó èñõîäíîãî îïåðàòîðà, ñòàíóò âîñïðîèçâîäèòüñÿ ëó÷øå. Äëÿ òåñòèðîâàíèÿ ñõîäèìîñòè âíåïðåðûâíîì ñïåêòðå ïîäãîíèì ðàçëîæåíèå ýåêòèâíîãî ðàäèóñà1 r0 k 2k cot δ0 (k) = − ++ Xk 4 + O(k 6 )a2(1.23)ê ñïåêòðó äèñêðåòèçîâàííîãî ãàìèëüòîíèàíà, è âû÷èñëèì ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè äëÿ ïàðàìåòðîâ ðàçëîæåíèÿ ýåêòèâíîãî ðàäèóñà àíàëîãè÷íîòîìó, êàê ýòî äåëàëîñü äëÿ ýíåðãèé ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèé.
(Òàáëèöà 1.4).Äëÿ îöåíêè ïàðàìåòðîâ íèçêîýíåðãåòè÷åñêîãî ðàññåÿíèÿ ìû èñïîëüçîâàëèøåñòü ñîáñòâåííû ñîñòîÿíèé ãàìèëüòîíèàíà ñ íàèìåíüøèìè ïîëîæèòåëüíûìè ýíåðãèÿìè. Òàê êàê â ìîäåëüíîé ñèñòåìå åñòü òðè ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèÿ, íå âûçûâàåò óäèâëåíèÿ, ÷òî íàèáîëåå áûñòðóþ ñõîäèìîòñòü ìû íàáëþäàåì ïðè âêëþ÷åíèè äåâÿòè ñîñòîÿíèé â óíêöèþ ãðàäóèðîâêè. Ïîäîáíîñëó÷àþ ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèé, âêëþ÷åíèå ëèøíèõ ñîñòîÿíèé â ãðàäóèðîâî÷íóþ óíêöèþ íå èìååò çàìåòíîãî âëèÿíèÿ íà ñêîðîñòü ñõîäèìîñòè ïîñëåòîãî, êàê âñå ñîñòîÿíèÿ, èñïîëüçóåìûå â îöåíêå ïàðàìåòðîâ íèçêîýíåðãåòè÷åñêîãî ðàññåÿíèÿ, óæå âêëþ÷åíû â ãðàäóèðîâî÷íóþ óíêöèþ.Ïðåæäå ÷åì îáðàòèòüñÿ ê îáñóæäåíèþ èñïîëüçîâàíèÿ àñèìïòîòè÷åñêè50Òàáëèöà 1.3: Ne2 : ñêîðîñòü ñõîäèìîñòè äëÿ s-âîëíîâûõ âèáðàöèîííûõ ñîñòîÿíèé è ïåðâûõ òð¼õ ðîòàöèîííûõ âîçáóæäåíèé êàê óíêöèÿ ÷èñëà îïòèìèçèðóåìûõ ñîñòîÿíèé.Groundn1s1p1d1st exited1f2s2p2d2nd exited2f3s1-1e-3 -1e-3 -1e-3 -1e-3 -3e-3 -3e-3 -4e-3 -6e-32e-12-4e-4 -4e-4 -4e-4 -3e-4 -5e-4 -5e-4 -5e-4 -4e-4-3e-23-1e-3 -1e-3 -1e-3 1e-3-2e-3 -2e-3 -1e-3 -1e-3-2e-64-1e-3 -1e-3 -1e-3 -1e-3 -2e-3 -2e-3 -2e-3 -2e-3-2e-65-2e-3 -2e-3 -2e-3 -2e-3 -3e-3 -3e-3 -2e-3 -2-e3-2e-66-3e-3 -3e-3 -2e-3 -2e-3 -4e-3 -4e-3 -3e-3 -3e-31e-77-4e-3 -4e-3 -3e-3 -3e-3 -6e-3 -5e-3 -5e-3 -4e-34e-68-5e-3 -5e-3 -4e-3 -4e-3 -8e-3 -7e-3 -7e-7 -6e-34e-69-6e-3 -6e-3 -6e-3 -5e-3 -1e-2 -1e-2 -9e-3 -7e-31e-510 -8e-3 -8e-3 -7e-3 -6e-3 -1e-3 -1e-2 -1e-2 -1e-21e-551Òàáëèöà 1.4: Ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè äëÿ ïàðàìåòðîâ íèçêîýíåðãåòè÷åñêîãîðàññåÿíèÿ Ne-Ne â çàâèñèìîñòè îò ÷èñëà ñîñòîÿíèé n, âêëþ÷åííûõ â ãðàäóèðîâî÷íóþ óíêöèþ.
Çíà÷åíèÿ, îòìå÷åííûå çâ¼çäî÷êîé, óêàçûâàþò íàîòñóòñòâèå ñõîäèìîñòè.na, a.u. r0 , a.u. X, a.u.326e12∗4e10∗5e13∗33e8-6e96e12∗44e5-7e66e954e5-5e64e962e4-5e56e877e4-8e55e88-2e43e5-2e891e42e46e7102e4-4e48e7113e4-4e47e7123e4-4e46e752îïòèìàëüíûõ ñåòîê â òð¼õ÷àñòè÷íûõ ðàñ÷åòàõ, óáåäèìñÿ â òîì, ÷òî ñõåìà ïîñòðîåíèÿ ñåòîê ðåàëèçîâàíà ïðàâèëüíî, è ðåçóëüòàòû, îñíîâàííûå íà[39℄, äåéñòâèòåëüíî ïðåäîñòàâëÿþò íàèëó÷øåå ðåøåíèå.
Äëÿ ýòîãî ñðàâíèì ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè, ïîëó÷åííûå äëÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé k â óðàâíåíèè. 1.21, ñîõðàíÿÿ ïðè ýòîì ïîðÿäîê àïïðîêñèìàöèè k ′ èêñèðîâàííûì,è ïðîâåðèì, äîñòàâëÿåò ëè òåîðåòè÷åñêè îïòèìàëüíîå çíà÷åíèå k = k ′ íàèëó÷øóþ ñêîðñòü ñõîäèìîñòè. åçóëüòàòû òàêîãî ýêñïåðèìåíòà ïðèâåäåíû âòàáëèöàõ 1.5, 1.6 è 1.7.  òàáëèöå 1.5 ìû ïðèâîäèì ðåçóëüòàòû àíàëèçà ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè äëÿ ýíåðãèè äèìåðà ãåëèÿ He2 (ïîòåíöèàë LM2M2 [47℄)íà ñåòêàõ, îïòèìèçèðîâàííûõ äëÿ åäèíñòâåííîãî ñâÿçàííîãî ñîñòîÿíèÿ èîäíîãî ñîñòîÿíèÿ íåïðåðûâíîãî ñïåêòðà. Çíà÷åíèÿ, îòâå÷àþùèå òåîðåòè÷åñêè îïòèìàëüíûì ñåòêàì óêàçàíû æèðíûì øðèòîì.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
