Диссертация (1145407), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Ïîäñòàâëÿÿðàçëîæåíèå â ñèñòåìó óðàâíåíèé Ôàääååâà è äåéñòâóÿ íà ïîëó÷åííîå ñî(α)îòíîøåíèå íåêîòîðûì íàáîðîì ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ óíêöèîíàëîâ φjx jy jzïîëó÷èì ñèñòåìó ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé äëÿ êîýèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ fα,ix,iy,iz . Õîðîøèì âûáîðîì òàêîãî íàáîðà óíêöèîíàëîâÿâëÿþòñÿ êîëëîêàöèîííûå óíêöèîíàëûZ(α)(c)(c)(c)(φjxjy jz , f (x, y, z)) = dxdydzδ(x − xjx )δ(y − yjy )δ(z − zjz )f (x, y, z) ,30(c)(c)(c)ïðè óñëîâèè ïðàâèëüíîãî âûáîðà òî÷åê xjx , yjy , zjz - òî÷åê êîëëîêàöèé. ðàáîòå [32℄ ïîêàçàíî, ÷òî âûáèðàÿ â êà÷åñòâå òî÷åê êîëëîêàöèé êîðíèîðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ, ïîñòðîåííûõ íà êàæäîì èç ïðîìåæóòêîâ áàçîâîé ñåòêè, ìû ïîëó÷èì íàèâûñøèé âîçìîæíûé ïîðÿäîê àïïðîêñèìàöèèãëàäêîé óíêöèè â ïðîñòðàíñòâå ñïëàéíîâ.

 ÷àñòíîñòè, äëÿ ñïëàéíîâ ïÿòîãî ïîðÿäêà S5,3 ïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè ìîæåò áûòü îöåíåíà êàêO(1/N 6 ), ãäå N ÷èñëî òî÷åê ñåòêè ïî îäíîé êîîðäèíàòå. Ïðè ýòîì âû÷èñëåíèå ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ îïåðàòîðà ñ òàêèì íàáîðîì óíêöèîíàëîâñâîäèòñÿ ê åäèíè÷íîìó âû÷èñëåíèþ çíà÷åíèÿ áàçèñíîé óíêöèè èëè å¼ïðoèçâîäíûõ â òî÷êå êîëëîêàöèè, è ÿâëÿåòñÿ èñêëþ÷èòåëüíî áûñòðîé îïåðàöèåé. ðåçóëüòàòå ïðèõîäèì ê ñèñòåìå ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèéíà êîýèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ f = (fα , fβ , fγ )T[Dxα ⊗ Syα ⊗ Szα + Sxα ⊗ Dyα ⊗ Szα + (Rxα ⊗ Syα + Sxα ⊗ Ryα ) ⊗ Dzα ++ (Vxα ⊗ Iyα ⊗ Izα − E)Sxα ⊗ Syα ⊗ Szα]fα == −Vxα ⊗ Iyα ⊗ Izα(Cαβ fβ + Cαγ fγ ) .(1.15)Çäåñü ýëåìåíòû ìàòðèö â ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèìè ñîîòíîøåíèÿìè (c)ξ = x, y, z; α = 1, 2, 3Sξα ij = S(ξα)j (ξi )(c)Dξα ij = −S ′′ (ξα)j (ξi )ξ = x, y; α = 1, 2, 3(c)(c)(c)(c) ′Dzα ij = −(1 − (zi )2 )S ′′(zα)j (zi ) + 2zi S(zα)j(zi )α = 1, 2, 3;(c)S(ξ )ξ = x, y; α = 1, 2, 3Rξα ij = (ξα)j(c) 2i(ξi ) (c)Vxα ij = Vα (xi )δijα = 1, 2, 3 .Ìàòðèöû â ïðàâîé ÷àñòè ñîîòíîøåíèÿ îïðåäåëÿþòñÿ âû÷èñëåíèåì çíà÷åíèé áàçèñíûõ óíêöèé äëÿ êîìïîíåíòû β â òî÷êàõ êîëëîêàöèé, îïðåäå31ë¼ííûõ äëÿ êîìïîíåíòû α(cα) (cα)Cαβix iy iz jx jy jz=xix yiy(cα)(cα)(cα)(cα)(cα)(cα)xβ (xix ,yiy ,ziz )yβ (xix ,yiy ,ziz )(cα)(cα)(cα)(cα)(cα)(cα)(cα)(cα)(cα)×× S(xβ)jx (xβ (xix , yiy , ziz ))× S(yβ)jy (yβ (xix , yiy , ziz ))× S(zβ)jz (zβ (xix , yiy , ziz ))Îáðàòèì âíèìàíèå íà íåêîòîðûå ñâîéñòâà ïðèâåä¼ííîé âûøå ñèñòåìûóðàâíåíèé.

Ìàòðèöà â ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèé èìååò ñòðóêòóðó ñóììû òåíçîðíûõ ïðîèçâåäåíèé, ÷òî ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì âîçìîæíîñòè ðàçäåëåíèÿïåðåìåííûõ â ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ. Áëàãîäàðÿ ýòîìó ñâîéñòâó, îíà ìîæåò áûòü äèàãîíàëèçîâàíà çà O(Nz (Nx3 + Ny3 + Nz2 )) îïåðàöèé (ñðàâíèì ñäèàãîíàëèçàöèåé, íå èñïîëüçóþùåé ñòðóêòóðû ìàòðèöû, è òðåáîâàâøåé áûO(Nx3 Ny3 Nz3 ) îïåðàöèé), è áàçèñ, äèàãîíàëèçóþùèé ëåâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿìîæåò áûòü çàïèñàí â âèäå ïðÿìîé ñóììû òåíçîðíûõ ïðîèçâåäåíèé îïåðàòîðîâ, îòâå÷àþùèõ îòäåëüíûì êîîðäèíàòàì.

Òàêàÿ ñòðóêòóðà ïîçâîëÿåòïðîèçâîäèòü îáðàùåíèå îïåðàòîðà â ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ çà îòíîñèòåëüíî íåáîëüøîå ÷èñëî îïåðàöèé O(Nx Ny Nz (Nx + Ny + Nz ). Äðóãîå âàæíîåñâîéñòâî ðàçðÿæåííîñòü ìàòðèöû, çàïèñàííîé â ïðàâîé ÷àñòè ñèñòåìûóðàâíåíèé. Ýòî ñâîéñòâî îáóñëîâëåíî êàê ëîêàëüíûì õàðàêòåðîì îïåðàòîðîâ ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò â ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèé, òàê è ëîêàëüíûìõàðàêòåðîì áàçèñà, èñïîëüçóåìîãî äëÿ àïïðîêñèìàöèè ðåøåíèÿ.

Ýòè ñâîéñòâà ïîçâîëÿò íàì ïîñòðîèòü ýåêòèâíóþ èòåðàöèîííóþ ñõåìó ðåøåíèÿóðàâíåíèé ñèñòåìû.Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷, îòâå÷àþùèõ ñîñòîÿíèÿì ðàññåÿíèÿ, äîáàâèì êïðåäñòàâëåíèþ êîìïîíåíòû Ôàääååâà (1.14) ÷ëåí, îòâå÷àþùèé îáðàùåíèþ32êîìïîíåíòû â âîëíîâóþ óíêöèþ äâóõ÷àñòè÷íîãî ñîñòîÿíèÿ íà ãðàíèöåΦα (x, y, z) =3Ny +1 3Nx +2x +1 3NXXXix =1 iy =1 iz =03Nx +1 3Nx +2XXfα,ix,iy ,iz S(xα)ix (x)S(yα)iy (y)S(zα)iz (z).(n ,l )fβb ,ib x ,ib z S(xα)ix (x)S(yα)3Ny +2(y)S(zα)iz (z)+ δαβbix =1iz =0(1.16)Çäåñü (nb, lb) - êâàíòîâûå ÷èñëà äâóõ÷àñòè÷íîãî ñâÿçàííîãî ñîñòîÿíèÿ, îòâå÷àþùåãî êàíàëó b, S(yα)3Ny +2 (y) - áàçèñíûé ýëåìåíò ïðîñòðàíñòâà ýðìèòîâûõ ñïëàéíîâ, îáðàùàþùèéñÿ â åäèíèöó íà ïðàâîì êðàþ ñåòêè ïî y ,(n ,l )è fα,ibx ,ibz - êîýèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ âîëíîâîé óíêöèè äâóõ÷àñòè÷íîãîñîñòîÿíèÿ ïî ñïëàéíàì, óäîâëåòâîðÿþùèå óðàâíåíèþDxβb ⊗ Szβb + Rxβb ⊗ Dzβb + (Vxα ⊗ Izα − ǫnb ,lb )Sxα ⊗ Szα f (nb ,lb ) = 0 .Ïîâòîðÿÿ ïðîöåäóðó äèñêðåòèçàöèè, ïîëó÷èì ñèñòåìó ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé ñ ìàòðèöåé, çàäàííîé óðàâíåíèåì (1.15), è íåîäíîðîäíûì ÷ëåíîì, îòâå÷àþùèì êðàåâîìó óñëîâèþ, îáñóæäàâøåìóñÿ â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå.

×èñëåííîå ðåøåíèå òàêîé ñèñòåìû óðàâíåíèé ïîçâîëÿåòâû÷èñëèòü K -ìàòðèöó, è òåì ñàìûì ïîëó÷èòü âñþ èíîðìàöèþ î ñîñòîÿíèè ðàññåÿíèÿ. Ïîäîáíàÿ ñõåìà ðåøåíèÿ ìíîãîêàíàëüíîé çàäà÷è áóäåòèñïîëüçîâàòüñÿ è äëÿ ÷èñëåííîãî èññëåäîâàíèÿ àíèçîòðîïíîãî ðàññåÿíèÿîðèåíòèðîâàííûõ äèïîëåé â ãëàâå 3.1.4Ïðåäîáóñëàâëèâàíèå ñèñòåìû è ëîêàëèçàöèÿ ðåøåíèéÏðè ðåøåíèè óðàâíåíèé Ôàääååâà, â îñîáåííîñòè ïðè äåòàëüíîì èññëåäîâàíèè ïîðîãîâûõ ñîñòîÿíèé, ìîãóò òðåáîâàòüñÿ íàáîðû áàçèñíûõ óíêöèé,âêëþ÷àþùèå ñîòíè òûñÿ÷, è äàæå ìèëëèîíû ýëåìåíòîâ. Ïðÿìîå ðåøåíèåñèñòåì ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé â ïðîñòðàíñòâàõ òàêèõ ðàç33ìåðíîñòåé ïðåäñòàâëÿåòñÿ íå òîëüêî íåýåêòèâíûì, íî è òðóäíî ðåàëèçóåìûì ïîäõîäîì.

Ïî ýòîé ïðè÷èíå ñëåäóåò îáðàòèòüñÿ ê âîïðîñó ïðåîáðàçîâàíèÿ óðàâíåíèé, êîòîðîå ïîçâîëèëî áû èñïîëüçîâàòü äëÿ èõ ðåøåíèÿíåêîòîðóþ âûñîêîýåêòèâíóþ èòåðàöèîííóþ ïðîöåäóðó.Ââåä¼ì íåêîòîðûå äîïîëíèòåëüíûå îáîçíà÷åíèÿ.Sα ≡ Sxα ⊗ Syα ⊗ SzαVα ≡ Vxα ⊗ Iyα ⊗ IzαH0α ≡ Dxα ⊗ Syα ⊗ Szα + Sxα ⊗ Dyα ⊗ Szα++ (Rxα ⊗ Syα + Sxα ⊗ Ryα ) ⊗ DzαH2α ≡ H0α + Vα Sα .Ââåä¼ì òàêæå ìàòðè÷íûå îïåðàòîðûH00 21Ĥ2 ≡  0 H22 000 H23èS 1Ŝ ≡  00V 1V̂ ≡  0000 ,S2 0  ,0 S30 0V2 0  ,0 V30 C12 C13Ĉ ≡  C21 0 C23C31 C32 034 ., ýòèõ îáîçíà÷åíèÿõ îäíîðîäíîå óðàâíåíèå ïðèìåò âèä(Ĥ0 + V̂ − E Ŝ)f = −V̂ ĈfÎáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî ðàññìàòðèâàÿ êîðîòêîäåéñòâóþùèå ïîòåíöèàëû â íåêîòîðîì èêñèðîâàííîì ýíåðãåòè÷åñêîì ìàñøòàáå, ìû âñåãäà íàéä¼ì îáëàñòè â ïðîñòðàíñòâå, â êîòîðûõ ïîòåíöèàë ïðåíåáðåæèìî ìàë.

Âòàêèõ îáëàñòÿõ îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ îêàçûâàþòñÿ ïðåíåáðåæèìî ìàëû èïðàêòè÷åñêè îáðàùàþòñÿ â íóëü. Áîëåå òîãî, îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ îêàçûâàþòñÿ ïðåíåáðåæèìî ìàëû è â îáëàñòÿõ, â êîòîðûõ ðåøåíèå âûõîäèòíà àñèìïòîòèêó, ïîñêîëüêó â àñèìïòîòè÷åñêîé îáëàñòè êîìïîíåíòû âåäóòñåáÿ êàê ñîáñòâåííûå óíêöèè îïåðàòîðà Ĥ2 . Ýòî íàáëþäåíèå ïîçâîëÿåòïåðåîðìóëèðîâàòü çàäà÷ó äëÿ êîìïîíåíò âîëíîâîé óíêöèè â òåðìèíàõèñòî÷íèêîâ, ëîêàëèçîâàííûõ â îêðåñòíîñòè îáëàñòè òð¼õ÷àñòè÷íûõ ñòîëêíîâåíèé, è òåì ñàìûì ñîêðàòèòü ðàçìåðíîñòü ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà, âêîòîðîì ìû èùåì ðåøåíèÿ óðàâíåíèé. Ñ òî÷êè çðåíèÿ ÷èñëåííîãî àíàëèçà, òàêàÿ îðìóëèðîâêà îòâå÷àåò ïðîöåäóðå ïðàâîãî ïðåäîáóñëàâëèâàíèÿñèñòåìû.Ââåä¼ì ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå èñòî÷íèêîâ:t ≡ (Ĥ0 + V̂ − E Ŝ)f .Óðàâíåíèå äëÿ íèõ çàïèøåòñÿ â âèäåt = −V̂ Ĉ(Ĥ0 + V̂ − E Ŝ)−1t .Êàê îòìå÷àëîñü âûøå, äåéñòâèå îïåðàòîðà, çàïèñàííîãî â ïðàâîé ÷àñòèòàêîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿåòñÿ áûñòðîé îïåðàöèåé, ïîñêîëüêó Ĉ ÿâëÿåòñÿ ðàçðÿæåííîé ìàòðèöåé, à ïðè îáðàùåíèè îïåðàòîðà (Ĥ0 + V̂ − E Ŝ) ìîæíîèñïîëüçîâàòü òåíçîðíóþ àêòîðèçàöèþ.

Ê ïðåèìóùåñòâàì òàêîãî óðàâíåíèÿ ìîæíî îòíåñòè òàêæå òî, ÷òî ïðè ýíåðãèÿõ â îêðåñòíîñòè äâóõ÷àñòè÷íîãî ïîðîãà ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëî ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé îïåðàòîðà35V̂ Ĉ(Ĥ0 + V̂ − E Ŝ)−1 îêàçûâàåòñÿ çà ïðåäåëàìè åäèíè÷íîãî êðóãà, è âñå îíèõîðîøî îòäåëåíû îò îñòàëüíîé ÷àñòè ñïåêòðà. Ýòî ïîçâîëÿåò ðàññ÷èòûâàòüíà áûñòðóþ ñõîäèìîñòü àëãîðèòìîâ ðåøåíèÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé, îñíîâàííûõ íà ïîñòðîåíèè ïðîñòðàíñòâà Êðûëîâà.Àíàëîãè÷íûå ñîîáðàæåíèÿ îêàçûâàþòñÿ ïðèìåíèìû è ïðè ðåøåíèèíåîäíîðîäíîé çàäà÷è.Îïèñàííûé âûøå ïîäõîä ê ÷èñëåííîìó ðåøåíèþ óðàâíåíèé Ôàääååâàðåàëèçîâàí â âèäå êîìïüþòåðíîãî êîäà1.àññìîòðåííàÿ ñõåìà ïîçâîëÿåò ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé íà ëèíåéíûåêîýèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ ðåøåíèÿ ïî èêñèðîâàííîìó íàáîðó áàçèñíûõóíêöèé. Îäíàêî, èñïîëüçóåìîå íàìè ðàçëîæåíèå òàêæå íåÿâíî âêëþ÷àåò è íàáîð íåëèíåéíûõ ïàðàìåòðîâ - ðàñïðåäåëåíèå òî÷åê áàçèñíîé ñåòêè,îïðåäåëÿþùåå èñïîëüçóåìîå íàìè ïðîñòðàíñòâî ñïëàéíîâ. Âîçìîæíî ëèîïòèìèçèðîâàòü ðåøåíèå îòíîñèòåëüíî ýòèõ, íåëèíåéíûõ ïàðàìåòðîâ? Îáðàòèìñÿ ê îòâåòó íà ýòîò âîïðîñ.1.5Àñèìïòîòè÷åñêè îïòèìàëüíûå ñåòêè è èõ èñïîëüçîâàèå â ðåøåíèè òð¼õ÷àñòè÷íîé çàäà÷èàññìîòðèì ÷èñëåííîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Øð¼äèíãåðà äëÿ ñèñòåìû äâóõ÷àñòèö ñ öåíòðàëüíûì ïîòåíöèàëîì âçàèìîäåéñòâèÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì ýðìèòîâûõ ñïëàéíîâ S3,2 ëèáî S5,3 è îðòîãîíàëüíûõ êîëëîêàöèé.

Ïîñòðîèìíåðàâíîìåðíóþ ñåòêó èñõîäÿ èç òðåáîâàíèÿ ðàâíîìåðíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿîøèáêè ÷èñëåííîé àïïðîêñèìàöèè ðåøåíèÿ íà èíòåðâàëå, íà êîòîðîì ìûñòðîèì ýòó àïïðîêñèìàöèþ.Íà÷í¼ì ñ ðàäèàëüíîãî óðàâíåíèÿ Øð¼äèíãåðà, çàïèñàííîãî â åñòåñòâåí1 Êîìïüþòåðíûéêîä ïóáëè÷íî äîñòóïåí ïî àäðåñóhttps://github.om/roudnev/JPubliThreeBodySolver36íûõ åäèíèöàõ çàäà÷èd22l(l + 1)(− 2 ++ V (x) − Ei)ϕ(x; ǫi) = 0dxx2(1.17)è äîïîëíåííîãî ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè Äèðèõëåϕ(0) = ϕ(xmax) = 0 .(1.18)Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ïðàâàÿ ãðàíèöà èíòåðâàëà xmax âûáðàíà òàêèì îáðàçîì, ÷òî âëèÿíèåì ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ íà âîëíîâóþ óíêöèþ ñâÿçàííîãîñîñòîÿíèÿ ìîæíî ïðåíåíáðå÷ü.

Характеристики

Список файлов диссертации