Диссертация (1145407), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Ïîäãîòîâêà ê ïóáëèêàöèè ïîëó÷åííûõðåçóëüòàòîâ ïðîâîäèëàñü ñîâìåñòíî ñ ñîàâòîðàìè, ïðè÷¼ì âêëàä äèññåðòàíòà áûë îïðåäåëÿþùèì. Âñå ïðåäñòàâëåííûå â äèññåðòàöèè ðåçóëüòàòûïîëó÷åíû ëè÷íî àâòîðîì.Ñòðóêòóðà è îáú¼ì äèññåðòàöèè.Äèññåðòàöèÿ ñîñòîèò èç ââåäåíèÿ, 6 ãëàâ, ðàçäåë¼ííûõ íà äâå ÷àñòè,çàêëþ÷åíèÿ, áèáëèîãðàèè. Îáùèé îáúåì äèññåðòàöèè 249 ñòðàíèö, èç íèõ213 ñòðàíèö òåêñòà. Èëëþñòðàòèâíûé ìàòåðèàë âêëþ÷àåò 20 òàáëèö è 46ðèñóíêîâ. Áèáëèîãðàèÿ âêëþ÷àåò 172 íàèìåíîâàíèÿ íà 23 ñòðàíèöàõ.14×àñòü IÍîâûå ïîðîãîâûå ýåêòûâ ñèñòåìàõ íåñêîëüêèõ òåë15Ýòîò ðàçäåë ïîñâÿùåí îïèñàíèþ ðåçóëüòàòîâ, êàñàþùèõñÿ íîâûõ çàêîíîìåðíîñòåé, îïèñàííûõ àâòîðîì ïðè ðàáîòå íàä çàäà÷àìè ìîäåëèðîâàíèÿñòîëêíîâåíèé è ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèé â ñèñòåìàõ íåñêîëüêèõ òåë.
åçóëüòàòû, ïðèâåä¼ííûå â äàííîì ðàçäåëå, ìîæíî ðàçäåëèòü íà äâå áîëüøèåãðóïïû: ðåçóëüòàòû, êàñàþùèåñÿ ïîäõîäîâ ê ýåêòèâíîìó ÷èñëåííîìóèññëåäîâàíèþ çàäà÷è íåñêîëüêèõ òåë, è ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå íà îñíîâå ðåàëèçàöèè òàêèõ ïîäõîäîâ. Ê ïåðâîé ãðóïïå ìîæíî îòíåñòè íîâóþ,èçè÷åñêè îáîñíîâàííóþ ïðîöåäóðó ïðåäîáóñëàâëèâàíèÿ äèñêðåòèçîâàííûõ óðàâíåíèé Ôàääååâà è èñïîëüçîâàíèå àñèìïòîòè÷åñêè îïòèìàëüíûõñåòîê ïðè ðåøåíèè êâàíòîâîé çàäà÷è íåñêîëüêèõ òåë. Âàæíûì ìåòîäè÷åñêèì àñïåêòîì ïðåäñòàâëåííîé ðàáîòû ÿâèëàñü ïðîâåðêà ðåàëèçîâàííûõòåõíèê ÷èñëåííîãî èññëåäîâàíèÿ êâàíòîâûõ ñèñòåì íåñêîëüêèõ òåë.
 õîäåýòîé ðàáîòû áûëè ñäåëàíû íàáëþäåíèÿ, êàñàþùèåñÿ èñòî÷íèêîâ íåîïðåäåë¼ííîñòè â ñóùåñòâóþùèõ ìîäåëÿõ íåêîòîðûõ êâàíòîâûõ ñèñòåì, áûëñäåëàí âûâîä, ÷òî äëÿ íåêîòîðûõ ìîäåëåé ðàçðàáîòàííàÿ àâòîðîì òåõíèêà ïîçâîëÿåò ïðîâîäèòü âû÷èñëåíèÿ ñ ïîãðåøíîñòÿìè ìåíüøèìè, íåæåëèïîãðåøíîñòè, âíîñèìûå íåîïðåäåë¼ííîñòüþ èçè÷åñêèõ êîíñòàíò. Òàêàÿïðîâåðêà îêàçàëàñü âàæíûì øàãîì íà ïóòè ê ðåçóëüòàòàì, êîòîðûå ìîæíîîòíåñòè êî âòîðîé ãðóïïå: îáíàðóæåíèå íîâûõ çàêîíîìåðíîñòåé, ñâÿçûâàþùèõ äâóõ- è òð¼õ÷àñòè÷íûå íàáëþäàåìûå â îêðåñòíîñòè äâóõ÷àñòè÷íîãîïîðîãà, à òàêæå îïèñàíèå ñåðèé îêîëîïîðîãîâûõ ðåçîíàíñîâ è õàðàêòåðíûåñâîéñòâà àíèçîòðîïèè ñå÷åíèÿ ðàññåÿíèÿ â ïàðíûõ ñòîëêíîâåíèÿõ ïîëÿðèçîâàííûõ ìîëåêóë.16ëàâà 1Ìåòîäû ÷èñëåííîãî èññëåäîâàíèÿ òð¼õ÷àñòè÷íûõ ñèñòåìÊâàíòîâàÿ çàäà÷à íåñêîëüêèõ òåë ÿâëÿåòñÿ îäíîé èç âàæíåéøèõ â òåîðåòè÷åñêîé èçèêå.
Îíà ÿâëÿåòñÿ îñíîâîé äëÿ ðåøåíèÿ ìíîãèõ äðóãèõ çàäà÷:ïîñòðîåíèå ìîäåëåé ïðîñòûõ àòîìîâ, ìîëåêóë, àòîìíûõ ÿäåð, ÿäåðíûõ èõèìè÷åñêèõ ðåàêöèé, îïèñàíèå ïîâåäåíèÿ êâàíòîâûõ ãàçîâ - âñå ýòè çàäà÷èâêëþ÷àþò â ñåáÿ êâàíòîâóþ çàäà÷ó íåñêîëüêèõ òåë êàê îñíîâó ìîäåëåé áîëåå ñëîæíûõ ñèñòåì. Ïî ýòîé ïðè÷èíå, âûðàáîòêà ýåêòèâíîé ìåòîäèêèðåøåíèÿ ìîæåò ïîñëóæèòü îñíîâîé ïðîãðåññà âî ìíîãèõ îáëàñòÿõ èçèêè. íàñòîÿùåé ãëàâå áóäóò ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû, êàñàþùèåñÿ íîâîé ýåêòèâíîé ìåòîäèêè ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ êâàíòîâîé çàäà÷è íåñêîëüêèõòåë, à òàêæå ðåçóëüòàòû ïðèìåíåíèÿ ýòîé ìåòîäèêè äëÿ èññëåäîâàíèÿ ïîðîãîâûõ ÿâëåíèé â êâàíòîâîì áèíàðíîì òð¼õ÷àñòè÷íîì ðàññåÿíèè.
Ýòè,ïîñëåäíèå ðåçóëüòàòû, ïîçâîëèëè ïåðåîñìûñëèòü ýìïèðè÷åñêèå íàáëþäåíèÿ íàä ñâîéñòâàìè ìîäåëåé ñèñòåì òð¼õ íóêëîíîâ, èçâåñòíûå êàê ëèíèÿÔèëëèïñà. Ïîëó÷åíî óíèâåðñàëüíîå ñîîòíîøåíèå ìåæäó äâóõ- è òð¼õ÷àñòè÷íûìè íàáëþäàåìûìè â îêðåñòíîñòè äâóõ÷àñòè÷íîãî ïîðîãà, ïîêàçàíàñâÿçü òàêîé êîððåëÿöèè ñ ýåêòîì Åèìîâà. Ïîëó÷åííîå óíèâåðñàëüíîåñîîòíîøåíèå ìîæåò áûòü ïîëåçíî â ïðàêòè÷åñêîì èññëåäîâàíèè ñèñòåì,âçàèìîäåéñòâèå â êîòîðûõ áëèçêî ê åèìîâñêîìó ðåæèìó.
Áîëåå òîãî, áëèçîñòü ïàðàìåòðîâ ñèñòåìû ê óíèâåðñàëüíûì ÿâëÿåòñÿ ïðÿìûì èíäèêàòîðîì åèìîâñêîãî ðåæèìà, è ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíà äëÿ êëàññèèêàöèèòð¼õ÷àñòè÷íûõ ñèñòåì. Ýòî óíèâåðñàëüíîå ñîîòíîøåíèå ìîæåò áûòü èñ17ïîëüçîâàíî äëÿ ïðîâåðêè ñîãëàñîâàííîñòè îïèñàíèÿ òð¼õ÷àñòè÷íûõ ñèñòåìâ ðàçíûõ ðåæèìàõ, à òàêæå äëÿ òåñòèðîâàíèÿ êîìïüþòåðíûõ ïðîãðàìì,âû÷èñëÿþùèõ íèçêîýíåðãåòè÷åñêèå ïàðàìåòðû òð¼õ÷àñòè÷íûõ ñèñòåì.Äàëåå ìû ðàññìîòðèì ïîäõîäû ê ÷èñëåííîìó èññëåäîâàíèþ óðàâíåíèéÔàääååâà, îáñóäèì òåõíèêè, ïîçâîëÿþùèå ñóùåñòâåííî ñîêðàòèòü îáú¼ìâû÷èñëåíèé è ïîâûñèòü èõ òî÷íîñòü, ïðèâåä¼ì ïðèìåðû âûïîëíåííûõ ðàñ÷¼òîâ, îáñóäèì ñòàáèëüíîñòü ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ îòíîñòèòåëüíî âàðèàöèè óíäàìåíòàëüíûõ êîíñòàíò, ïðîâåðèì ñîãëàñîâàííîñòü ðàñ÷¼òîâ ñíåçàâèñèìûìè ðåçóëüòàòàìè.1.1Ïîäõîäû ê ýåêòèâíîìó ÷èñëåííîìó ðåøåíèþ óðàâíåíèéÔàääååâàÓðàâíåíèÿ Ôàääååâà - íàðÿäó ñ óðàâíåíèåì Øð¼äèíãåðà â ãèïåðñåðè÷åñêîì àäèàáàòè÷åñêîì ïðåäñòàâëåíèè - ÿâëÿþòñÿ ñåãîäíÿ îñíîâîé äëÿ èññëåäîâàíèÿ ìîäåëåé ñèñòåì íåñêîëüêèõ êâàíòîâûõ ÷àñòèö.
èïåðñåðè÷åñêîåàäèàáàòè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå äëÿ óðàâíåíèÿ Øð¼äèíãåðà, ïðåäîñòàâëÿÿíàãëÿäíóþ è ïðèâû÷íóþ äëÿ ñïåöèàëèñòîâ â àòîìíîé è ìîëåêóëÿðíîé èçèêå êàðòèíó âçàèìîäåéñòâèé â ñèñòåìå òð¼õ òåë, â òî æå âðåìÿ èìååò ðÿäíåäîñòàòêîâ ïðè ÷èñëåííîì èññëåäîâàíèè ðåàëèñòè÷åñêèõ ìîäåëåé. Ê òàêèì íåäîñòàòêàì ìîæíî îòíåñòè âû÷èñëèòåëüíûå òðóäíîñòè, ñâÿçàííûå ñòî÷íûì ïîñòðîåíèåì ãèïåðñåðè÷åñêîãî àäèàáàòè÷åñêîãî áàçèñà, áîëüøèåðàññòîÿíèÿ, íà êîòîðûõ ïðîèñõîäèò íàä¼æíîå àñèìïòîòè÷åñêîå ðàçäåëåíèåêàíàëîâ, òðóäíîñòè òî÷íîãî âû÷èñëåíèÿ ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ, îòâå÷àþùèõ çà ïåðåõîäû ìåæäó àäèàáàòè÷åñêèìè êàíàëàìè â îêðåñòíîñòÿõ êâàçèïåðåñå÷åíèé àäèàáàòè÷åñêèõ òåðìîâ.
èïåðñåðè÷åñêèé àäèàáàòè÷åñêèéïîäõîä èìååò îïðåäåë¼ííûå ñèëüíûå ñòîðîíû ïðè êà÷åñòâåííîì èññëåäîâàíèè òð¼õ÷àñòè÷íûõ ñèñòåì, îäíàêî äåòàëüíîå êîëè÷åñòâåííîå èññëåäîâà18íèå ðåàëèñòè÷åñêèõ ìîäåëåé íà åãî îñíîâå îêàçûâàåòñÿ âåñüìà çàòðàòíûìñ âû÷èñëèòåëüíîé òî÷êè çðåíèÿ. Óðàâíåíèÿ Ôàääååâà â êîíèãóðàöèîííîì ïðîñòðàíñòâå ïðè ïðàâèëüíîì ïîäõîäå ê èõ ÷èñëåííîìó ðåøåíèþ ìîãóò äàòü çàìåòíûå âû÷èñëèòåëüíûå ïðåèìóùåñòâà.
 ýòîì ðàçäåëå ìûðàññìîòðèì ñòðàòåãèþ ïîñòðîåíèÿ ýåêòèâíîãî àëãîðèòìà ðåøåíèÿ óðàâíåíèé Ôàääååâà è îñíîâíûå ðåøåíèÿ, ðåàëèçóþùèå òàêóþ ñòðàòåãèþ.Îñíîâîé ýåêòèâíîãî âû÷èñëèòåëüíîãî àëãîðèòìà äîëæåí áûòü âûáîð ïðàâèëüíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ äëÿ óðàâíåíèé, ïîçâîëÿþùåãî ìèíèìèçèðîâàòü êîëè÷åñòâî âû÷èñëèòåëüíûõ îïåðàöèé. Ìû ñâåä¼ì ñèñòåìó óðàâíåíèé Ôàääååâà ê ñèñòåìå ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé, îïèñûâàåìûõ ðàçðåæåííîé ìàòðèöåé. Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ ïîëó÷åíèÿ ðàçðåæåííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ìû äîëæíû ðàññìàòðèâàòü ëèøü òå ïðåäñòàâëåíèÿ äëÿóðàâíåíèé, â êîòîðûõ îòñóòñòâóþò èíòåãðàëüíûå îïåðàòîðû. Ñ ýòîé òî÷êèçðåíèÿ, èñêëþ÷àþòñÿ óðàâíåíèÿ â èìïóëüñíîì ïðîñòðàíñòâå, êàê ñîäåðæàùèå ñëîæíûå èíòåãðàëüíûå ÿäðà, è çà îñíîâó ñëåäóåò âçÿòü óðàâíåíèÿ âêîíèãóðàöèîííîì ïðîñòðàíñòâå.
Ïîñëå îòäåëåíèÿ äâèæåíèÿ öåíòðà ìàññ,êîíèãóðàöèîííîå ïðîñòðàíñòâî ñèñòåìû òð¼õ òåë øåñòèìåðíî, è íåîáõîäèìà äàëüíåéøàÿ ðåäóêöèÿ óðàâíåíèé äëÿ èñêëþ÷åíèÿ òð¼õ ñòåïåíåé ñâîáîäû, ñâÿçàííûõ ñ âðàùåíèåì ñèñòåìû êàê öåëîãî. Ñ ýòîé öåëüþ ìîãóòáûòü èñïîëüçîâàíû, ïðåæäå âñåãî, ðàçëîæåíèå ïî áèñåðè÷åñêîìó áàçèñóè ïðåäñòàâëåíèå ïîëíîãî ìîìåíòà. àçëîæåíèå ïî áèñåðè÷åñêîìó áàçèñó,îäíàêî, ïîäðàçóìåâàåò èñïîëüçîâàíèå íåëîêàëüíîãî áàçèñà äëÿ îïèñàíèÿóãëîâûõ êîîðäèíàò, îòâå÷àþùèõ çà äèíàìèêó, ÷òî âíîâü ïðèâåä¼ò ê ïîÿâëåíèþ â óðàâíåíèÿõ èíòåãðàëüíûõ ÿäåð, à ïîòîìó ðåçêî ïîíèçèò äîëþíóëåâûõ ýëåìåíòîâ â ìàòðèöå ñèñòåìû.
 òî æå âðåìÿ, óðàâíåíèÿ â ïðåäñòàâëåíèè ïîëíîãî ìîìåíòà ñîäåðæàò ëèøü îïåðàòîðû ñ òðèâèàëüíûìè,äåëüòà-óíêöèîíàëüíûìè ÿäðàìè, è èõ äèñêðåòèçàöèÿ íà ëîêàëüíîì áàçè19ñå ïðèâîäèò ê ñèñòåìå ñ óðàâíåíèé ñ ðàçðåæåííîé ìàòðèöåé.Âàæíûì àñïåêòîì ïîñòðîåíèÿ ýåêòèâíîãî àëãîðèòìà ÿâëÿåòñÿ âûáîð ìåòîäà äèñêðåòèçàöèè óðàâíåíèé. Ìîæíî ñîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùèåòðåáîâàíèÿ ê âûáîðó òàêîãî ìåòîäà:• âûñîêèé ïîðÿäîê àïïðîêñèìàöèè äîëæåí îáåñïå÷èâàòü áûñòðóþ ñõîäèìîñòü ðåøåíèÿ ñ óâåëè÷åíèåì ðàçìåðà áàçèñà;• áàçèñíûå óíêöèè äîëæíû èìåòü íîñèòåëü ìàëûé ïî ñðàâíåíèþ ñðàçìåðîì îáëàñòè, â êîòîðîé âûïîëíÿåòñÿ ðåøåíèå óðàâíåíèÿ äëÿîáåñïå÷åíèÿ ðàçðåæåííîé ñòðóêòóðû ìàòðèö äèñêðåòèçîâàííûõ îïåðàòîðîâ;• ïðîñòîòà ñèñòåìû ïðîåêòèâíûõ óíêöèîíàëîâ äîëæíà îáåñïå÷èâàòüáûñòðîå âû÷èñëåíèå ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ äèñêðòèçîâàííûõ îïåðàòîðîâ.Âñåì ýòèì óñëîâèÿì óäîâëåòâîðÿåò ìåòîä îðòîãîíàëüíûõ êîëëîêàöèé íàáàçèñå ýðìèòîâûõ ñïëàéíîâ ïÿòîãî ïîðÿäêà.
Ïîäðîáíî âîïðîñû äèñêðåòèçàöèè óðàâíåíèé Ôàääååâà îáñóæäàëèñü â êàíäèäàòñêîé äèññåðòàöèè àâòîðà, è çäåñü ìû ïðèâåä¼ì ëèøü îáùóþ ñõåìó ðåàëèçîâàííîãî ïîäõîäà.Íà÷íåì ñ îðìóëèðîâêè ãðàíè÷íûõ çàäà÷ äëÿ óðàâíåíèé Ôàääååâà. Ïîäðîáíî âîïðîñ î ïîñòàíîâêå òàêèõ ãðàíè÷íûõ çàäà÷ áûë ðàçîáðàí â ìîíîãðàèè [33℄, è â èçëîæåíèè ìû áóäåì îïèðàòüñÿ íà èçâåñòíûå ðåçóëüòàòû, êàñàþùèåñÿ êèíåìàòè÷åñêîãî îïèñàíèÿ ñèñòåì òð¼õ ÷àñòèö íà îñíîâåêîîðäèíàò ßêîáè, è îïèñàíèå äèíàìèêè íà îñíîâå óðàâíåíèé Ôàääååâà âäèåðåíöèàëüíîé îðìóëèðîâêå.Ïóñòü2mβ mγ 1] 2 (rβ − rγ ) ,mβ + mγ2mα (mβ + mγ ) 1mβ rβ + mγ rγyα = [] 2 (rα −).mα + mβ + mγmβ + mγxα = [20- êîîðäèíàòû ßêîáè ñèñòåìû òð¼õ ÷àñòèö. Çäåñü èíäåêñû α, β è γ íóìåðóþò ÷àñòèöû.
Äëÿ ñèñòåì òð¼õ òåë òå æå èíäåêñû ìîæíî èñïîëüçîâàòü èäëÿ íóìåðàöèè ðàçáèåíèé òð¼õ ÷àñòèö íà äâóõ÷àñòè÷íóþ âçàèìîäåéñòâóþùóþ ïîäñèñòåìó è ñâîáîäíóþ ÷àñòèöó, ïîýòîìó çäåñü îíè èñïîëüçóþòñÿ èäëÿ íóìåðàöèè ñîîòâåòñòâóþùèõ êîîðäèíàò ßêîáè. Ïðåîáðàçîâàíèÿ, ñâÿçûâàþùèå êîîðäèíàòû ßêîáè îòâå÷àþùèå ðàçíûì ðàçáèåíèÿì, çàäàþòñÿñëåäóþùèìè ñîîòíîøåíèÿìè xcsαβx α = αβ β ,yα−sαβ cαβyβ(1.1)ãäå êîýèöèåíòû ïðåîáðàçîâàíèÿ cαβ è sαβ îïðåäåëÿþòñÿ ÷åðåç ìàññû÷àñòèö(1/2)mα mβ(mα + mγ )(mβ + mγ )(1/2)= (−1)(β−α) sign(β − α) 1 − c2αβcαβ = −sαβÎïåðàòîð êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè â òàêèõ êîîðäèíàòàõ çàäà¼òñÿ îïåðàòîðîìËàïëàñà â øåñòèìåðíîì ïðîñòðàíñòâåT = −∆xα − ∆yα .Çäåñü è äàëåå áóäåì ðàññìàòðèâàòü ãàìèëüòîíèàí ñèñòåìû òð¼õ òåë â ïðèáëèæåíèè ïàðíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ, ò.å. áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî âçàèìîäåéñòâèåâ òð¼õ÷àñòè÷íîé ñèñòåìå ìîæåò áûòü îïèñàíî êàê ñóììà ïàðíûõ âçàèìîäåéñòâèé â ïîäñèñòåìàõV =3XVξ (xξ ) .ξ=1Òàêîå ïðèáëèæåíèå íå ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâåííûì â ñëó÷àå, åñëè ïîïðàâêè êíåìó âåäóò ñåáÿ êàê áûñòðîóáûâàþùèå óíêöèè è íå âëèÿþò íà îïèñàíèåàñèìïòîòè÷åñêèõ ñîñòîÿíèé ñèñòåìû.
Òàêæå â ðàçäåëå, êàñàþùåìñÿ òð¼õ÷àñòè÷íûõ çàäà÷, áóäåì ïðåäïîëàãàòü ïàðíûå âçàèìîäåéñòâèÿ öåíòðàëüíû21ìè.  ýòîì ñëó÷àå ñîñòîÿíèÿ äâóõ÷àñòè÷íûõ ïîäñèñòåì ìîãóò áûòü ïðîíóìåðîâàíû ìóëüòèèíäåêñîì a = {na , la}, ãäå na è la - ãëàâíîå è îðáèòàëüíîåêâàíòîâûå ÷èñëà, íóìåðóþùèå ñâÿçàííûå ñîñòîÿíèÿ äâóõ÷àñòè÷íûõ ïîä-ñèñòåì, à âñå âîçìîæíûå ïàðíûå àñèìïòîòè÷åñêèå ñîñòîÿíèÿ îïèñûâàþòñÿïàðîé èíäåêñîâ {α, a}. Çàäà÷à î íàõîæäåíèè ïàðàìåòðîâ ðàññåÿíèÿ ÷àñòèöû íà ñâÿçàííîé ïàðå {α, a} ñ óãëîâûì ìîìåíòîì l ïðè èêñèðîâàííîéýíåðãèè E ñâîäèòñÿ ê ïîñòðîåíèþ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà(T + V − E)Ψ = 0 ,èìåþùèõ ñëåäóþùåå àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå:Ψ ∼ ei(kα,a ,yα ) φα,a (xα ) +XXξaξ,b (ŷξ )φξ,b (xξ )bei|kξ,b ||yξ |eik0 |X|+ A(X̂).|yξ ||X|(1.2)Çäåñü ìû îáîçíà÷èëè ñîâîêóïíîñòü êîîðäèíàò ßêîáè êàê X ≡ {xξ , yξ },åäèíè÷íûé âåêòîð, êîëëèíåàðíûé âåêòîðó X îáîçíà÷àåì êàê X̂.
Àìïëèòó-äû áèíàðíûõ êàíàëîâ îáîçíà÷åíû êàê aξ,b (ŷξ ), è A(X̂) - àìïëèòóäà ðàçâàëàíà òðè ÷àñòèöû.  îðìóëó äëÿ îïèñàíèÿ àñèìïòîòèêè âõîäÿò âîëíîâûå÷èñëà |kξ,b |, îïðåäåëÿþùèåñÿ çàêîíîì ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè |kξ,b |2 + ǫξ,b = E ,ãäå ǫξ,b -ñîáñòâåííàÿ ýíåðãèÿ ñîñòîÿíèÿ {ξ, b}. Äëÿ âîëíîâîãî ÷èñëà, îòâå√÷àþùåãî êàíàëó ðàçâàëà âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå k0 = E .Áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñîñòîÿíèÿ ñ ýíåðãèåé íèæå òð¼õ÷àñòè÷íîãî ïîðîãà. Äëÿ òàêèõ ñîñòîÿíèé ïîñëåäíèé ÷ëåí â îïèñàíèè àñèìïòîòèêè ñòàíîâèòñÿ ýêñïîíåíöèàëüíî ìàëûì, è èì ìîæíî ïðåíåáðå÷ü.
Ñëîæíîñòü ïîñòàíîâêè ãðàíè÷íûõ çàäà÷, îòâå÷àþùèõ îïèñàííîìó àñèìïòîòè÷åñêîìó ïîâåäåíèþ âîëíîâîé óíêöèè ñîñòîèò, â ÷àñòíîñòè, â òîì, ÷òî â îïèñàíèå àñèìïòîòè÷åñêèõ ñîñòîÿíèé îäíîâðåìåííî âõîäÿò ñîîòíîøåíèÿ, çàïèñàííûå â êîîðäèíàòàõ ßêîáè, îòâå÷àþùèõ ðàçëè÷íûì ðàçáèåíèÿì òð¼õ÷àñòè÷íûõ ñèñòåìíà âûäåëåííóþ ïàðó è òðåòüþ ÷àñòèöó.
 ðåçóëüòàòå, ïîâåäåíèå âîëíîâîé22óíêöèè íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ îò òî÷êè òð¼õ÷àñòè÷íûõ ñòîëêíîâåíèéñòàíîâèòñÿ âåñüìà ñëîæíûì, è ÷èñëåííàÿ àïïðîêñèìàöèÿ òàêîé âîëíîâîéóíêöèè ñòàíîâèòñÿ íåòðèâèàëüíîé çàäà÷åé.Îòìåòèì íåñêîëüêî èçâåñòíûõ ïîäõîäîâ ê ðåøåíèþ òàêîé çàäà÷è.Îäèí èç ïåðâûõ ïîäõîäîâ ñâÿçàí ñ ðàññìîòðåíèåì ðàçëîæåíèÿ âîëíîâîé óíêöèè ïî ãèïåðñåðè÷åñêîìó áàçèñó [34℄.  ðàìêàõ ýòîãî ïîäõîäàâîëíîâàÿ óíêöèÿ èùåòñÿ â âèäå ðàçëîæåíèÿ ïî íàáîðó ãèïåðñåðè÷åñêèõ óíêöèé, è óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà ñâîäèòñÿ ê ñèñòåìå îáûêíîâåííûõäèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé äëÿ êîýèöèåíòîâ, çàâèñÿùèõ îò ãèïåððàäèàëüíîé êîîðäèíàòû.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
