Диссертация (1145407), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Ïóñòü ∆N,χ ≡ {0, x1, . . . , xN } - áàçîâàÿ ñåòêà, ïîñòðîåííàÿ íà èíòåðâàëå [0, xN = xmax ] è ñîñòîÿùàÿ èç N ïðîìåæóò-êîâ, χ - îòîáðàæåíèå, èñïîëüçóåìîå äëÿ ïîñòðîåíèÿ íåðàâíîìåðíîé ñåòêèèç ðàâíîìåðíîé.  ÷àñòíîñòè, óçëû íåðàâíîìåðíîé ñåòêè óäîâëåòâîðÿþòñîîòíîøåíèþ xi = xmax χ(i/N ), i = 0, 1, . . . , N .
Ïðåäïîëàãåì, ÷òî îòîáðàæåíèå χ : [0, 1] → [0, 1] - ãëàäêàÿ ìîíîòîííî âîçðàñòàþùàÿ óíêöèÿ íàîòðåçêå [0, 1]. êà÷åñòâå óñëîâèÿ äëÿ ïîñòðîåíèÿ îòîáðàæåíèÿ χ èñïîëüçóåì ðàâíîìåðíîñòü îøèáêè ÷èñëåííîé àïïðîêñèìàöèè ðåøåíèÿ íà îòðåçêå [0, xmax].Ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå, ïîñòðîåííîå íà ñåòêå èç N òî÷åê, îòêëîíÿåòñÿ îòòî÷íîãî ðåøåíèÿ ϕ(x)ϕ(N ) (x) = ϕ(x) + residueN (x) .Íà êàæäîì èíòåðâàëå ñåòêè, îãðàíè÷åííîì óçëàìè [xi , xi+1], íîðìó íåâÿçêèìîæíî îöåíèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:||residueN (x)|| ≤ Ci(x)|xi+1 − xi |k+1 + o(|xi+1 − xi|k+1) ,ãäå x ∈ [xi , xi+1] è k ïîðÿäîê àïïðîêñèìàöèè ñïëàéíà [32℄. ÌíîæèòåëèCi (x) îïðåäåëÿþòñÿ ñâîéñòâàìè ðåøàåìîãî óðàâíåíèÿ è âûáðàííîé âû÷èñëèòåëüíîé ñõåìû. Ìû ìîæåì îïòèìèçèðîâàòü ðàñïðåäåëåíèå òî÷åê ñåòêè37òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ïîãðåøíîñòü ||Ci (x)|xi+1 − xi |k+1 || èìåëà áû îäèí èòîò æå ïîðÿäîê âåëè÷èíû äëÿ âñåãî èíòåðâàëà [0, xmax]. Óäîáíî ðàññìàò-ðèâàòü ðàçìåð i−ãî èíòåðâàëà íåðàâíîìåðíîé ñåòêè hi = |xi − xi−1| êàêíåïðåðûâíóþ óíêöèþ h(u).
Òàêóþ óíêöèþ h(u) ìîæíî åñòåñòâåííûìîáðàçîì îïðåäåëèòü ÷åðåç ïðîèçâîäíóþ îòîáðàæåíèÿ χ(u)hi = (xi −xi−1) = xmax (χ(i−1xmax ′ i − 1/21i)−χ()) =χ()+O( 2 ) (1.19)NNNNNèhi = h(1i − 1/2) + O( 2 ) .NNÒàêèì îáðàçîì, äëÿ äîñòàòî÷íî ïëîòíûõ ñåòîê i-é øàã ñåòêè îïðåäåëÿåòñÿóãëîì íàêëîíà êàñàòåëüíîé ê îòîáðàæåíèþ χ.Ïóñòü ǫ(t) - íåêîòîðàÿ íåîòðèöàòåëüíàÿ óíêöèÿ, êîòîðàÿ îïèñûâàåòëîêàëüíóþ ïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè, áóäåì íàçûâàòü å¼ ãðàäóèðîâî÷íîé. òîãäà èíòåãðàëR uxmaxǫ(x)dxχ−1(u) = R0 xmax,ǫ(x)dx0(1.20)çàäà¼ò ìîíîòîííîå îòîáðàæåíèå, ñòàâÿùåå â ñîîòâåòñòâèå íåðàâíîìåðíóþñåòêó ðàâíîìåðíîé. Çäåñü è äàëåå áóäåì íàçûâàòü χ(u) óíêöèåé êàðòèðîâàíèÿ.
Åñëè ãðàäóèðîâî÷íàÿ óíêöèÿ âûáðàíà òàêèì îáðàçîì, ÷òî å¼ ìàêñèìóìû îòâå÷àþò ó÷àñòêàì àïïðîêñèìèðóåìîé óíêöèè, êîòîðûå òðóäíååâñåãî ÷èñëåííî âîñïðîèçâåñòè, òî óíêöèÿ, îáðàòíàÿ óíêöèè êàðòèðîâàíèÿ χ−1 (u), áóäåò ðàñòè íàèáîëåå áûñòðî íà ýòèõ ó÷àñòêàõ. Ôóíêöèÿêàðòèðîâàíèÿ, òàêèì îáðàçîì, áóäåò èìåòü ìàëóþ ïðîèçâîäíóþ. Ýòî îáåñïå÷èò âûñîêóþ ïëîòíîñòü òî÷åê íåðàâíîìåðíîé ñåòêè íà ó÷àñòêàõ, îòâå÷àþùèõ ñëîæíîìó ïîâåäåíèþ àïïðîêñèìèðóåìîé óíêöèè.
ðàäóèðîâà÷íàÿ óíêöèÿ, õàðàêòåðèçóþùàÿ òðóäíîñòü âîñïðîèçâåäåíèÿ àïïðîêñèìèðóåìîé óíêöèè, äîëæíà ñîîòíîñèòüñÿ ñ íåêîòîðîé ïðîèçâîäíîé àïïðîêñèìèðóåìîé óíêöèè. Íàïðèìåð, ïðè èñïîëüçîâàíèè ëèíåéíîãî àïïðîêñè38ìàíòà, ïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè áóäåò èìåòü ïîðÿäîê âòîðîé ïðîèçâîäíîé àïïðîêñèìèðóåìîé óíêöèè.
Êîëè÷åñòâåííîå îïèñàíèå ïîãðåøíîñòè èîïòèìàëüíûõ ñâîéñòâ ãðàäóèðîâî÷íîé óíêöèè áûëî ñäåëàíî â ðàáîòå [39℄.Áóäåì èñïîëüçîâàòü ïîäõîäû, îïèñàííûå â [39℄ äëÿ ïîñòðîåíèÿ îïòèìàëüíîé óíêöèè êàðòèðîâàíèÿ äëÿ óðàâíåíèÿ Øð¼äèíãåðà (1.17).Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äàíà íåêîòîðàÿ îáðàçöîâàÿ óíêöèÿϕ(x) äëÿ êîòîðîé ìû èùåì êóñî÷íî-ïîëèíîìèàëüíûé àïïðîêñèìàíò ϕ̃(x).  ðàáîòå [39℄ïîêàçàíî, ÷òî äëÿ ìèíèìèçàöèè L2 -íîðìû ïîãðåøíîñòè àïïðîêñèìàöèèk ϕ − ϕ̃ kL2 , ãðàäóèðîâî÷íàÿ óíêöèÿ ǫ(t) äîëæíà áûòü âûáðàíà ñëåäóþùèì îáðàçîì2dk+1ǫ(x) = | k+1 ϕ(x)| 2k+3dx,ãäå k - ïîðÿäîê êóñî÷íî-ïîëèíîìèàëüíîãî àïïðîêñèìàíòà.
Ñîãëàñíî[39℄, òàêàÿ ãðàäóèðîâî÷íàÿ óíêöèÿ îáåñïå÷èâàåò àñèìïòîòè÷åñêè L2 îïòèìàëüíóþ ñåòêó ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîì êîëè÷åñòâå òî÷åê ñåòêè N ,êîãäà ÷ëåíîì O(N −2 ) â óðàâíåíèè (1.19) ìîæíî ïðåíåáðå÷ü.Ïðè ïðÿìîé ðåàëèçàöèè òàêîãî ïîäõîäà â íàøåì ñëó÷àå âîçíèêàåòíåñêîëüêî çàòðóäíåíèé. Ïðåæäå âñåãî, îáðàçöîâàÿ óíêöèÿ ϕ(x) - íåèçâåñòíà. Áîëåå òîãî, íàøåé öåëüþ ÿëâÿåòñÿ íå ïðîñòî äîñòàòî÷íî òî÷íîåâîñïðîèçâåäåíèå íåêîòîðîé îáðàçöîâîé óíêöèè, íî íåêîòîðîãî èíâàðèàíòíîãî ïîäîïðîñòðàíñòâà äâóõ÷àñòè÷íîãî ãàìèëüòîíèàíà, îïèñûâàåìîãîíåêîòîðûì êîëè÷åñòâîì åãî ñîáñòâåííûõ óíêöèé. Ýòè çàòðóäíåíèÿ, îäíàêî, âïîëíå ïðåîäîëèìû.Åñëè ïåðåîïðåäåëèòü îïòèìèçèðóåìóþ íîðìó äëÿ âåêòîð-óíêöèè ñêîìïîíåíòàìè, ïîñòðîåííûìè èç íàáîðà ñîáñòâåííûõ óíêöèé ãàìèëüòîíèàíà {ϕ1 (x), ϕ2 (x), . . .
, ϕn(x)}, îïòèìàëüíàÿ ãðàäóèðîâî÷íàÿ óíêöèÿ ïðè-ìåò âèänX1dk+1ǫ(x) = (| k+1 ϕm(x)|2) 2k+3 .dxm=139(1.21)Õîòÿ ÿâíûé âèä íàáîðà óíêöèé ϕm(x), âîîáùå ãîâîðÿ, íåèçâåñòåí, äëÿ íàøèõ öåëåé ìû ìîæåì èñïîëüçîâàòü ÷èñëåííóþ àïïðîêñèìàöèþ ýòèõ óíêöèé, ïîëó÷åííóþ íà íåîïòèìàëüíîé ñåòêå.
Ïîëó÷åííîå ïðèáëèæåíèå ê îïòèìàëüíîìó ðåøåíèþ ìîæåò áûòü óëó÷øåíî ïîñëåäîâàòåëüíûìè ïðèáëèæåíèÿìè.Äàëåå ìû ðàññìîòðèì íåñêîëüêî ïðèìåðîâ, ïîêàçûâàþùèõ, êàêèì îáðàçîì òàêîé ïîäõîä ìîæåò áûòü ðåàëèçîâàí íà ïðàêòèêå.Ïðåæäå ÷åì îáðàòèòüñÿ ê îïèñàíèþ àëãîðèòìà ïîñòðîåíèÿ îïòèìàëüíûõ ñåòîê, îñòàíîâèìñÿ íà ïðîöåäóðå äèñêðåòèçàöèè óðàâíåíèÿ Øð¼äèíãåðà äëÿ ñèñòåìû äâóõ ÷àñòèö ñ íóëåâûì óãëîâûì ìîìåíòîì l = 0. Áóäåìðàññìàòðèâàòü òó æå ñõåìó äèñêðåòèçàöèè, êîòîðóþ ìû èñïîëüçóåì ïðèðåøåíèè òð¼õ÷àñòè÷íûõ çàäà÷ ðàçëîæåíèå ïî ýðìèòîâûì ñïëàéíàì S5,3[44℄ è îðòîãîíàëüíûå êîëëîêàöèè [32℄. Áóäåì èñêàòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ(1.17) â âèäå ðàçëîæåíèÿ ïî áàçèñó B-ñïëàéíîâ â ïðîñòðàíñòâå S5,3 (∆), ïîñòðîåííîì äëÿ áàçîâîé ñåòêè ∆ϕm (x) ≈MXfm,j Sj (x) .j=1Ôóíêöèè Sj (x) ïîñòîðîåíû òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû îòâå÷àòü ïîñòàâëåííûìãðàíè÷íûì óñëîâèÿì.
Òðåáóÿ, ÷òîáû óðàâíåíèå (1.17) óäîâëåòâîðÿëîñü òî÷íî â çàäàííîì íàáîðå òî÷åê êîëëîêàöèé xk , k = 1, 2, . . . , M ñâîäèì ðåøåíèåóðàâíåíèå Øð¼äèíãåðà ê ðåøåíèþ îáîáùåííîé ñïåêòðàëüíîé çàäà÷è(−D2 + V − Em S)fm = 0 .Çäåñü D2 , V è S - êâàäðàòíûå ìàòðèöû′′[D2 ]ij = Sj (xi) ,[V ]ij = (V (xi) +2l(l + 1))Sj (xi) ,x2i40[S]ij = Sj (xi) .×èñëî òî÷åê êîëëîêàöèé M è ýëåìåíòîâ áàçèñà Sj (x) çàâèñèò îò âûáðàííîãî ïðîñòðàíñòâà ñïëàéíîâ è ÷èñëà òî÷åê ñåòêè N . Äëÿ ñïëàéíîâS3,2 ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè Äèðèõëå M = 2N .  ñëó÷àå ñïëàéíîâ S5,3,ðàçìåðíîñòü ñèñòåìû - M = 3N + 1.Ñëåäóÿ ñòðàòåãèè, îïèñàííîé âûøå, ïðîâåä¼ì äèñêðåòèçàöèþ ãàìèëüòîíèàíà íà íåêîòîðîé íåîïòèìàëüíîé ñåòêå ∆0 . Êóáè÷åñêàÿ êàðòèðóþùàÿóíêöèÿ χ0 (u) = u3 , îáû÷íî, ÿâëÿåòñÿ õîðîøèì íà÷àëüíûì ïðèáëèæåíèåì.Äàëåå, áóäåì ñòðîèòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñåòîê ∆i = ∆χi ,N è ñîîòâåòñòâóþùèõ àïïðîêñèìàöèé äëÿ n ñîáñòâåííûõ óíêöèé ãàìèëüòîíèàíàϕm,(i) (x), îòâå÷àþùèõ åãî íàèìåíüøèì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì.
Êàæäàÿïîñëåäóþùàÿ ñåòêà ∆i+1 ñòðîèòñÿ íà îñíîâå óðàâíåíèé (1.20) è (1.21) ñïðèáëèæåííûìè óíêöèÿìè ϕm (x) ≡ ϕm,(i) (x), ïîëó÷åííûìè íà ïðåäûäó-ùåì øàãå. Ýòîò ïðîöåññ ïîâòîðÿåòñÿ íåñêîëüêî ðàç, ïîêà ãðàäóèðîâî÷íàÿóíêöèÿ íå ñòàáèëèçèðóåòñÿ.Ïðÿìàÿ ðåàëèçàöèÿ òàêîãî ïðîöåññà, îäíàêî, ìîæåò ïîêàçàòüñÿíåâîçìîæíîé. Äåéñòâèòåëüíî, ìû èùåì ðåøåíèå â âèäå êóñî÷íî-ïîëèíîìèàëüíûõ óíêöèé ïÿòîãî ïîðÿäêà. Íî âû÷èñëåíèå ãðàäóèðîâî÷íîé óíêöèè òðåáóåò âû÷èñëåíèÿ ïðîèçâîäíîé øåñòîãî ïîðÿäêà îò ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, ìû íå ìîæåì ïîëó÷èòü ãðàäóèðîâî÷íóþ óíêöèþ ïðÿìûì äèåðåíöèðîâàíèåì ðàçëîæåíèÿ ðåøåíèÿ ïîñïëàéíàì.
Âìåñòî ýòîãî, ìû ìîæåì ïîñëåäîâàòåëüíî, òðèæäû ïîâòîðèòüäåéñòâèå äèñêðåòíîãî àíàëîãà îïåðàòîðà âòîðîé ïðîèçâîäíîé B̂ −1 D̂2 . Êàæäîå ïðèìåíåíèå îïåðàòîðà ïðîåöèðóåò ñîîòâåòñòâóþùóþ ïðîèçâîäíóþ íàáàçèñ â ïðîñòðàíñòâå ñïëàéíîâ, òàêèì îáðàçîì ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà àïïðîêñèìàöèÿ øåñòîé ïðîèçâîäíîé ðåøåíèÿ.41Íà ðèñóíêå 1.1 ïîêàçàí ïðèìåð ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ãðàäóèðîâî÷íûõ èñîîòâåòñòâóþùèõ êàðòèðóþùèõ óíêöèé χi (u) äëÿ ïîòåíöèàëîâ LM2M2(He-He) [47℄ è ïîòåíöèàëà Ne-Ne (av5z+(3321) t) [48℄ äëÿ ñïëàéíîâ S3,2(ïðè íóëåâîì óãëîâîì ìîìåíòå l = 0).  îáîèõ ñëó÷àÿõ ìû âûáèðàëè êîëè÷åñòâî ñîñòîÿíèé n â îðìóëå. (1.21) êàê ÷èñëî íà åäèíèöó áîëüøåå ÷èñëà ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèé, ïîääåðæèâàåìûõ äàííûì ïîòåíöèàëîì, òàê ÷òîñåòêà îïòèìèçèðîâàëàñü äëÿ âîñïðîèçâåäåíèÿ âñåõ ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèé èîäíîãî ñîñòîÿíèÿ íåïðåðûâíîãî ñïåêòðà áëèæàéøåãî ê ïîðîãó ðàçâàëà èóäîâëåòâîðÿþùåãî ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (1.18). (Ïîòåíöèàë He-He ïîääåðæèâàåò îäíî s-âîëíîâîå ñîñòîÿíèå, ïîòåíöèàë Ne-Ne - òðè.)Äëÿ ñòàáèëèçàöèè ãðàäóèðîâî÷íîé óíêöèè òðåáóåòñÿ âñåãî íåñêîëüêîèòåðàöèé.
ðàäóèðîâî÷íàÿ óíêöèÿ äîñòèãàåò ìàêñèìóìà â ïîòåíöèàëüíîé ÿìå, áûñòðî ñïàäàåò â îáëàñòè îòòàëêèâàþùåãî êîðà è ìåäëåííî ñïàäàåò íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ. Ôóíêöèÿ, îáðàòíàÿ ê êàðòèðóþùåé χ−1 (u),ñîãëàñíî óðàâíåíèþ (1.20), áûñòðî ðàñò¼ò äëÿ çíà÷åíèé u, îòâå÷àþùèõ ïîòåíöèàëüíîé ÿìå, òàê ÷òî ñàìà êàðòèðóþùàÿ óíêöèÿ χ(u) ëèøü î÷åíüñëàáî ðàñò¼ò äëÿ øèðîêîãî íàáîðà çíà÷åíèé ïàðàìåòðà u. Øàãè ñåòêè, òàêèì îáðàçîì, ñòàíîâÿòñÿ ñóùåñòâåííî áîëåå ìàëûìè íà âàæíîì ó÷àñòêå,îòâå÷àþùåì ïîòåíöèàëüíîé ÿìå (ñì óðàâíåíèå (1.19)).Ñðàâíèì ñåòêè, ïîñòðîåííûå íà îñíîâå àñèìïòîòè÷åñêè îïòèìàëüíûõóíêöèé êàðòèðîâàíèÿ ñ äðóãèìè íåðàâíîìåðíûìè ñåòêàìè.
Íàñêîëüêî ïîñòðîåíèå àñèìïòîòè÷åñêè îïòèìàëüíûõ ñåòîê ïîëåçíî ïðàêòè÷åñêè? Ìîæíî ëè îæèäàòü êàêîé-ëèáî ýêîíîìèè âû÷èñëèòåëüíûõ ðåñóðñîâ ïðè ðåøåíèè çàäà÷è íåñêîëüêèõ òåë ñ èñïîëüçîâàíèåì îïòèìàëüíûõ êàðòèðóþùèõóíêöèé â ñðàâíåíèè ñ øèðîêî ïðèìåíÿþùèìèñÿ íà ïðàêòèêå ïðîñòûìèñòåïåííûìè ëèáî ýêñïîíåíöèàëüíûìè îòîáðàæåíèÿìè? Äëÿ îòâåòà íà ýòîòâîïðîñ èññëåäóåì ñõîäèìîñòü ýíåðãèè ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèé ïî ÷èñëó òî÷åê42a))ε(x)ε(x)0.111st iteration2nd iteration3rd iteration10th iteration1st iteration2nd iteration3rd iteration10th iteration0.10.010.010.0010.0010.010.11x, a.u.101001000b)0.00010.0010.010.1x, a.u.110100d)1000100xmax χ(u), a.u.xmax χ(u), a.u.1001st iteration2nd iteration3rd iteration10th iteration1010.10.0010.01u0.11101st iteration2nd iteration3rd iteration10th iteration10.10.0010.01u0.1èñ.
1.1: ðàäóèðîâî÷íûå óíêöèè è ñîîòâåòñòâóþùèå êàðòèðóþùèåóíêöè äëÿ ïîòåíöèàëîâ ìåæàòîìíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ He-He (ñëåâà, a)è b)) è Ne-Ne (ñïðàâà, ) è d)). ðàäóèðîâî÷íûå óíêöèè ïðèíèìàþò ìàêñèìàëüíûå çíà÷åíèÿ â îáëàñòè âçàèìîäåéñòâèÿ ∼ 1 − 10 a.u., â ðåçóëüòàòå,ñîîòâåòñòâóþùèå êàðòèðóþùèå óíêöèè èìåþò ìàëûå çíà÷åíèÿ ïðîèçâîäíîé, îáåñïå÷èâàÿ íàèìåíüøèé ðàçìåð øàãà ñåòêè â ýòîé îáëàñòè.431áàçîâîé ñåòêè.Äëÿ èññëåäîâàíèÿ ñâîéñòâ ñõîäèìîñòè ÷èñëåííîãî ìåòîäà åñòåñòâåííîïðåäñòàâèòü èíòåðåñóþùèé íàñ ïàðàìåòð ýíåðãèþ ñâÿçàííîãî ñîñòîÿíèÿ,íàïðèìåð êàê ñóììó äâóõ ÷ëåíîâ: òî÷íîãî çíà÷åíèÿ è ÷èñëåííîé ïîãðåøíîñòè, çàâèñÿùåé îò ÷èñëà òî÷åê ñåòêèẼ (N ) = E + Eerr (∆N,χ) .×èñëåííàÿ ïîãðåøíîñòü çàâèñèò îò ÷èñëà òî÷åê ñåòêè N , èõ ðàñïðåäåëåíèÿ,çàäàííîãî êàðòèðóþùåé óíêöèåé χ è ãðàíè÷íûõ óñëîâèé.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
