Диссертация (1145286), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Таким образом, двойное разложение в обоих случаях должнодавать один и тот же результат.В работе [86] коэффициент η3 содержит опечатку, поэтому ниже приведены исправленные коэффициенты:η1 = −4Γ(d − 2),Γ(2 − d/2)Γ(d/2 − 2)Γ(d/2 − 1)Γ(d/2 + 1)(2.19)η2d2 − 3d + 41194=R0 + +++− 2 − d,2η14−dd d − 2 4 − d (4 − d)2где R0 = ψ(d − 2) + ψ(2 − d/2) − ψ(2) − ψ(d/2 − 2) and ψ(x) =Последний коэффициент имеет вид:58ddx(2.20)ln Γ(x).59η3 3d2 (d − 2)(2d − 5)I(d/2)S3 2 d2 (d − 2)(d − 3)2 (3S0 S1 − S03 − S2 )=++η134(4 − d)23(4 − d)313177134232128922+ 35 + d + d2 −++−++++24 − d (4 − d)2 (4 − d)2 (4 − d)3 d − 2 (d − 2)2 d2B3741284B210040861282+66 + 7d + d −+++20 −++++24 − d (4 − d)2 (4 − d)3 d − 2 d24 − d (4 − d)2S37 225425638451260S42+−45 − 5d + d +−−+14 + 4d + 2d −++244 − d (4 − d)2 (4 − d)3 (4 − d)424−dBS3131 2272432256+−45 − d − d +−+,2224 − d (4 − d)2 (4 − d)3(2.21)гдеB = ψ(2 − d/2) + ψ(d − 2) − 1 + γE − ψ(d/2 − 2),S0 = ψ(2 − d/2) + ψ(d − 2) + γE − ψ(d/2 − 1),S1 = ψ 0 (2 − d/2) − ψ 0 (d − 2) − ζ(2) + ψ 0 (d/2 − 1),S2 = ψ 00 (2 − d/2) + ψ 00 (d − 2) + 2ζ(3) − ψ 00 (d/2 − 1),(2.22)S3 = ψ 0 (d/2 − 1) − ψ 0 (1),S4 = ψ 00 (2 − d/2) − ψ 0 (d − 2),γE константа Эйлера, а величина I(d) определяется из соотношения:Π(d, Δ) = Π(d, 0) 1 + I(d) Δ + O(Δ2 ) .(2.23)Где (ТК Здесь) Π(d, Δ) значение диаграммы на рис.2.3 (в xпространстве) с α1 = α4 = 1, α2 = α3 = d/2 − 1, α5 = d/2 − 1 + Δα1α2α5α4α3Рис.
2.3. Граф, дающий вклад в η3 (α1 = α4 = 1, α2 = α3 = d/2 − 1,α5 = d/2 − 1 + Δ)Зная величину I(d), для любого d можно построить 1/n разложениедля любой размерности пространства.Значение I(4 − 2ε) может быть получено из работы [87]:5ζ(5)I(4 − 2ε) = −ε+2ζ(3)15ζ(4)ζ(5) − 25ζ(3)ζ(6) + 10ζ(3)34ζ(3)2ε2 + O(ε3 ).(2.24)Объединяя (2.18)–(2.22) с (2.24) и разлагая получившееся выражениев ряд по ε вплоть до члена пропорционального ε6 , а с другой стороны,60разлагая (2.13) по 1/n до 1/n3 , мы получаем два совпадающих ряда с5η 1 = 2 ε2 − ε3 − ε4 +213295+ − + 4 ζ3 ε + − − 2 ζ3 + 6 ζ4 ε6 + O(ε7 )48243235η2 = −28 ε + 86 ε + (−35 − 176 ζ3 ) ε + −+ 488 ζ3 − 264 ζ4 ε6 + O(ε7 )4η3 = 320 ε2 − 1984 ε3 + (2732 − 960 ζ3 ) ε4 + (686 + 9440 ζ3 − 1440 ζ4 + 2560 ζ5 ) ε5 ++ 799 − 28104 ζ3 + 14160 ζ4 + 1024 ζ32 + 6400 ζ6 − 24400 ζ5 ε6 + O(ε7 )(2.25)Равенство двойных разложений порождает три независимых соотношения для шестипетлевых диаграмм (только одна шестипетлевая диаграмма дает вклад в член, пропорциональный 1/n, в 1/n2 дают вклад 20диаграмм, и в 1/n3 все 50 диаграмм).
Таким образом, совпадение с 1/nразложением может рассматриваться как сильная независимая проверка шестипетлевых результатов. Также необходимо отметить, что толькопервый член I(d) (пропорциональный ε) необходим для проверки шестипетлевого приближения, следующий член I(d) будет давать вклад в семипетлевое приближение, но для того, чтобы получить аналогичный набор соотношений (которые затрагивают все семипетлевые диаграммы),необходимо вычислить вклад 1/n4 в (2.18).2.1.2Шестипетлевой расчет бета-функции и аномальной размерности массыВычисление бета функции и аномальной размерности массы, методомизложенным выше (с использованием R∗ операции и интегрирования почастям) не представляется возможным, ввиду ограничений накладываемых интегрированием по частям (см.
раздел 2.1.1.2). Среди 6 петлевых4-х точечных диаграмм в модели ϕ4 имеется 12 двувершинно неприводимых диаграмм (см. рис. 2.4).Вероятно, что некоторые из этих диаграмм можно вычислить трюками аналогичными изложенным в разделе 2.1.1.3. Тем не менее становится очевидно, что для продвижения в старшие петли необходимолибо расширение интегрирования по частям вплоть до 5-6 петель (что в61Рис. 2.4. Двувершинно неприводимые диаграммы 4-х точечной функцииГринанастоящий момент не представляется возможным), либо использованиекаких-то новых методов аналитического вычисления диаграмм.В качестве такого метода был выбран метод параметрического интегрирования (см. раздел 1.5, данный метод может быть легко совмещенс вычислениями с использованием R∗ -операции, однако оказалось, чтосам метод является столь мощным, что позволяет вычислить все 6 петлевые контрчлены (двух- и четырех- хвостых функций Грина) за исключением одной примитивной2 диаграммы, без использования R∗ операции.
Оставшаяся диаграмма хорошо известна и была вычисленна ранеев работах [88, 89]. Необходимо отметить, что данная диаграмма можетбыть вычислена параметрическим интегрированием, однако это требует нетривиальной замены переменных, которая в настоящий момент нереализована в программе выполняющей интегрирование [25].Проведенные вычисления позволили получить аналитические ответыдля шестипетлевых поправок, для n = 1 их численное значение в бетафункцию таково:β MS (g) ≈ −2g +3g 2 −5.67g 3 +32.5g 4 −271.6g 5 +2849g 6 −34776g 7 +O g 8(2.26)2без подрасходимостей62для аномальной размерности массы имеем:MS234567γm.2 (g) ≈ −g + 0.833g − 3.5g + 19.96g − 150.76g + 1354.6g + O g(2.27)Ниже, приведены полные аналитические ответы для n = 1 (полныеответы для произвольного n чрезвычайно громоздки) в терминах дзетаPkфункций Римана ζ (k) = ∞n=1 1/n .
Необходимо отметить, что в ответвходит двойная дзета функцияζ (3, 5) :=X1≤n<m1n3 m5≈ 0.037707673(2.28)которая не сводится к произведению дзета-функций.Также с использованием данного метода была вычислена аномальная размерность поля, полученный результат подтвердил полученныйранее результат (2.12). Тем самым использование параметрического интегрирования позволило провести полные шести петлевые вычисленияренормгрупповых функций модели ϕ4 в шестипетлевом приближении.Полученные ряды являются асимптотическими и требуют примененияпроцедуры борелевского пересуммирования (см.
раздел 2.1.4).βMS145 43 499 517 3g − 120ζ (5) − 18ζ (4) + 78ζ (3) +g(g) = −2εg + 3g − g + 12ζ (3) +384867511897965764621+ 1 323ζ (7) + 45ζ 2 (3) −ζ (6) + 987ζ (5) −ζ (4) +ζ (3) +g628162 30451 984264 54346 112−ζ (9) + 768ζ 3 (3) +ζ (3, 5) −ζ (8) + 4 704ζ (3)ζ (5)325258 678 26 69163 72363 627ζ (7) − 162ζ (3)ζ (4) +ζ (3) −ζ (6) +ζ (5)+5521016 989779 60318 841 427 7−ζ (4) +ζ (3) +g + O g81624011 5202573477MSg 2 − g 3 + 3 ζ4 + ζ3 +g4γm2 (g) = − g +6223275651519158849 52+ − ζ6 + 9 ζ3 − ζ5 −ζ4 −ζ3 −g244823049725570146291141+ −ζ(3, 5) +ζ8 − 288 ζ3 ζ5 −ζ7 + 54 ζ3 ζ4 +ζ625100204446 2 401916954728917915913 6+ζ3 +ζ5 +ζ4 +ζ3 +g + O g754032144023040(2.29)(2.30)2.1.3Предсказания для старших членов теории возмущенияВ работах [61,60] был предложени метод пересуммирования асимптотических рядов, этот метод объединяет Борелевское пересуммированиес конформным маппингом, асимптотику высоких порядков [70] и предположения об асимптотике бета функции при g → ∞.
Было показано,что для рядов, где асимптотика g → ∞ известна, наиболее точные значения (после пересуммирование конечного отрезка ряда) получаются,если параметр ν (дополнительный параметр, который определяет поведение пересуммированого ряда при g → ∞) выбирается в соответствии сасимптотикой g → ∞. Более того, при этом вклад старших членов рядаминимизируется (см.
раздел 1.7.Из сравнения рисунков 1.10 и 2.5 видно, что поведение рядов в ϕ4 модели похоже на поведение рядов в нульмерной теории. Это дает надежду,что даже не зная точного значения асимптотики g → ∞ мы можем сделать некие предположения относительно значения параметра ν.(N )βГрафик относительной ошибки предсказания ξN= (βM − βM )/βM(рис.2.5a) имеет форму аналогичную рис. 1.10a, хотя и не имеет точногопересечения.Так же видно что стандартное преобразование Бореля с конформным маппингом (1.29) (которому соответсвует ν = 0) дает полностьюневерные предсказания ряда, тогда как в окрестности ν = 2 предсказания вполне разумные.
В работах [60, 61] для параметра ν был полученследующий интервал 1.7 < ν < 2.2 и значение ν = 2 рекомендовано дляиспользования при пересуммировании.Такая же ситуация имеет место и для сходимости процедуры пересуммирования: на рис. 2.6 для различных значений ν и N показана сходимость процедуры пересуммирования бета функции β (N ) (g) приg = 1 (заметим, что N = 3 соответствует двухпетлевому приближению). Зависимость пересуммированной бета функции β (N ) (g = 1)3 от νимеет вид аналогичный нульмерной модели (Fig.
1.10b). И снова видно,что значение ν c наиболее точными предсказаниями (ν ' 1.8) дает наиболее устойчивое значение пересуммированной бета-функции, поэтому3Аналогичная ситуация имеет место для произвольны (не очень больших) g.651.00.5ξNβ0.00.51.0N =3 N =4 N =5012ν3N =645β(a) Относительная ошибка предсказания ξNкак функция ν дляразличных значений N .3.0ν=2.02.52.0νν=1.8ν=1.7ν=1.5ν=1.0ν=0.0(N )β(1)1.51.0=2.10.50.0234567N(b) Значение пересуммированного ряда β (N ) при g = 1, для различных значений N и ν.Рис. 2.5. Модель ϕ4 (D = 4 − 2ε, MSсхема.660.30ν=3.1νγ(N)2=3.50.25∗(g )0.200.15ν=3.0ν=2.9ν=2.5ν=1.5456NРис.
2.6. Пересуммированные значения индекса Фишера η ≡ 2γϕ (g ∗ ) приg ∗ = 1.155 (фиксированная точка при D = 2) для различных значенийN и ν.по аналогии с нульмерной теории мы будем использовать это значениедля пересуммирования. Так же необходимо отметить что процедура пересуммирования для аномальной размерности поля с N = 2 и 3 даетполностью неверные результаты для любых значений ν, однако начинаяс N = 4 проявляет те же свойства что и бета функция(см. рис.
2.6). Всоответствии с этим графиком, значения параметра ν для пересуммирования аномальной размерности поля должно быть выбрано равным' 3.Используя данные параметры можно получить предсказания длястарших вкладов теории возмущения. Так для бета функции для 6 петлевого приближения получим −34393.3 (по пятипетлевому), а для аномальной размерности поля 14.316. Данные предсказания находятся в хорошем согласии с результатами полученными в (2.26) и (2.14). Так же,по известным 6 петлевым результатам можно получить предсказаниядля 7 петлевых вкладов: 456520.2 и 127.30 (бета функция и аномальнаяразмерность поля соответственно).67αПетлиβγδνη40.2960 0.0951 1.5138 16.9170 0.8520 0.2232550.2263 0.1038 1.5661 16.0887 0.8869 0.2340760.1249 0.1161 1.6428 15.1454 0.9375 0.24775точн. реш.00.1251.751510.25Таблица 2.3.
Пересуммированные значения для критических показателидвумерной модели Изинга.Петлиαβγδνη40.12700.32331.22644.79400.62430.0355650.12020.32461.23074.79160.62660.0359960.11230.32611.23554.78870.62920.03650HT/MC0.110(1)0.3265(3)0.63010.0365(4)эксп.1.2372(5) 4.789(2)0.104-0.111 0.315-0.341 1.14-1.320.606-0.70 0.030-0.058Таблица 2.4. Пересуммированные значения для критических показателитрехмерной модели Изинга.2.1.4Пересуммирование критических экспонентПересуммирование критических экспонент осуществляется в два этапа. Сначала находится положение фиксированной точки g ∗ как ноль пересуммированной бета функции, а затем осуществляется пересуммирование аномальных размерностях при g = g ∗ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
