Диссертация (1145286), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Тот факт, чтопереход к дуальному графу может уменьшить число петель, есть ещеодно упрощающее свойство ϕ4 модели. Интересно отметить, что пятипетлевая двувершинно неприводимая диарамма на рис. 2.1 тоже можетбыть легко сосчитана таким образом. Однако в оригинальной статье [15],эта диаграмма была сосчитана при помощи специально придуманныхнетривиальных трюков.2.1.1.4Результаты и обсуждениеКомбинируя результаты вычислений, представленные в таблице 2.1,и известные пятипетлевые результаты [78], мы получим выражения дляаномальной размерности поля γϕ с шести петлевой точностью: 3 4g 2 (n + 2)g (n + 2)2 g (n + 2)γϕ (g) =− 8+n+ 500 + 90 n − 5 n+364325184+ − 77056 + 8832 ζ3 − 25344 ζ4 + (−22752 + 3072 ζ3 − 5760 ζ4 ) n+ 523 g (n + 2)+ (−296 − 288 ζ3 ) n + (−39 + 48 ζ3 ) n+186624+ 1410544 + 1190400 ζ6 + 297472 ζ3 − 833536 ζ5 − 95232 ζ32 + 619776 ζ4 ++ 549104 + 352000 ζ6 + 69888 ζ3 − 293632 ζ5 − 28160 ζ32 + 215808 ζ4 n++ 30184 + 12800 ζ6 + 14976 ζ3 − 23680 ζ5 − 1024 ζ32 + 15744 ζ4 n2 + (−794 + 96 ζ4 ) n3 + 64 g (n + 2).+ (−29 − 16 ζ3 + 48 ζ4 ) n746496(2.12)Подставляя g∗ , вычисленное в пятипетлевом приближении (см., например, [9]), в аномальную размерность n γ2 = 2 γϕ , мы получаем критический индекс Фишера η с точностью O(ε7 ):483(2)2 (n + 2)2 (2) (n + 2)η(ε) =+ 272 + 56 n − n+ 46144 − 67584 ζ3 + (17920 − 23808 ζ3 ) n+2 (n + 8)28 (n + 8)44234 (2) (n + 2)+ (1124 − 1920 ζ3 ) n − 230 n − 5 n+ 5655552 + 60948480 ζ5 − 21921792 ζ3 −32 (n + 8)6−12976128 ζ4 + (2912768 + 33259520 ζ5 − 11530240 ζ3 − 7815168 ζ4 ) n++ (262528 + 6113280 ζ5 − 1244160 ζ3 − 1714176 ζ4 ) n2 + (−121472 + 445440 ζ5 + 137984 ζ3 − 163584 ζ4 ) n3 +5456 (2) (n + 2)+ (−27620 + 10240 ζ5 + 20800 ζ3 − 5760 ζ4 ) n + (−946 + 288 ζ3 ) n + (−13 + 16 ζ3 ) n+128 (n + 8)8+ 565354496 − 60808495104 ζ7 + 19134414848 ζ5 + 19503513600 ζ6 − 5485101056 ζ3 + 5036310528 ζ32 −49−4208984064 ζ4 + (323108864 − 44652625920 ζ7 + 13118341120 ζ5 + 15518924800 ζ6 − 3681222656 ζ3 ++ 4007919616 ζ32 − 3266052096 ζ4 n + (8413184 − 12662415360 ζ7 + 2504949760 ζ5 + 4921753600 ζ6− −533012480 ζ3 + 1142210560 ζ32 − 858095616 ζ4 n2 + (−45721600 − 1749888000 ζ7 − 84449280 ζ5 ++ 797900800 ζ6 + 131311616 ζ3 + 144695296 ζ32 − 67817472 ζ4 n3 + (−17128928 − 118540800 ζ7 − 71895040 ζ5 ++ 69478400 ζ6 + 40585984 ζ3 + 8321024 ζ32 + 6884352 ζ4 n4 + (−2460768 − 3161088 ζ7 − 6955264 ζ5 ++ 3046400 ζ6 + 2822400 ζ3 + 250880 ζ32 + 1467648 ζ4 n5 + (−110512 − 195200 ζ5 + 51200 ζ6 + 36096 ζ3 +6 6278 (2) (n + 2).+ 8192 ζ3 + 79296 ζ4 n + (−2748 + 2656 ζ3 + 1632 ζ4 ) n + (−29 − 16 ζ3 + 48 ζ4 ) n512 (n + 8)10(2.13)Для n = 1 аномальная размерность γϕ и индекс η имеют видγϕ 51 21 365 4g=g − g +g + − 3709 − 1152 ζ4 + 432 ζ3+12161922304 6g2+ 73667 + 31536 ζ4 − 4608 ζ3 + 57600 ζ6 − 42624 ζ5 + 14160 ζ3+9216+ O(u7 ) =(2.14)= 0.0833g 2 − 0.0625g 3 + 0.3385g 4 − 1.9255g 5 + 14.383g 6 + O(g 7 ),2 2 109 3721764321511321316128045η =ε +ε +−ζ3 ε +− ζ4 −ζ3 +ζ5 ε(2.15)+2772939366 2432125764 812187729342161331367323218146232002432 2 658+−ζ7 +ζ5 −ζ3 +ζ6 +ζ −ζ4 (2.16)ε6 +38263752243196831771477292187 3 729+ O(ε7 ) == 0.074074 ε2 + 0.149520 ε3 − 0.133260 ε4 + 0.821006 ε5 − 5.201449 ε6 + O(ε7 ).(2.17)В процессе вычислений были проведены различные проверки на самосогласованность результатов.

Во-первых, конечность выражения дляγϕ , найденного по (2.4) в шестипетлевом приближении, означает согласованность старших по ε полюсов в константах ренормировки Zϕ . Первыйполюс по ε (который в действительности и дает вклад в γϕ и η) не может быть проверен таким образом. Но есть другая проверка котораязатрагивает структуру первых полюсов – это сравнение с результатами1/N -разложения для критического индекса η. Это разложение известновплоть до вклада, пропорционального 1/N 3 [86,9].

Коэффициенты этогоразложения являются точными функциями по ε, с другой стороны, коэффициенты ε-разложения критического индекса η – точные функцииN . Разлагая обе функции по ε и по 1/N , соответственно, мы получаемдвойные разложения по ε и 1/N , которые должны совпадать вплоть дочлена, пропорционального (ε6 , 1/N 3 ). Из этих разложений можно вывести три независимых соотношения для линейных комбинаций коэффициентов при первых полюсах по ε шестипетлевых диаграмм. Особенноважно, что соотношение, которое соответствует члену 1/N 3 , включает всебя все диаграммы из таблицы 2.1.

Все эти три соотношения находятсяв полном согласии с полученными результатами (более подробно см вразделе 2.1.1.6).50Также для некоторых диаграмм была выполнена дополнительнаяпроверка с использованием численной техники разбиения на сектора(sector decomposition) (см., например, [53] и раздел 1.6).2.1.1.5Значения шести петлевых УФ контрчленов, дающихвклад в Z2Таблицы 2.1 и 2.2 содержат значения котрчленов для 50 собственноэнергетических диаграмм, дающих вклад в константу ренормировки Z2 .Для краткости в таблице использована так называемая номенклатураНикеля (Nickel index, NI), которая обеспечивает краткое и однозначноеописание диаграмм (см.

[7, 8] и раздел 1.1).Каждая строка таблицы 2.1 описывает вклад от диаграммы γ с номенклатурой Никеля NI(γ) в константу Z2 как произведение трех множителей, а именно sγ (симметрийный коэффициент), rγ (дополнительный структурный множитель для n-компонентной O(n)-симметричнойϕ4 -модели в терминах полиномов, данных в таблице 2.2), и, наконец, самого контрчлена ∂p2 KR0 γ.51Таблица 2.1.

Значения контрчленов соответствующих диаграмам, дающих вклад в константу Z2∂p2 KR0 γNI(γ)sγrγ1e112|23|34|45|55|e|1/4r1 r101 −5− 90ε +131802e112|23|34|55|e55||1/4r1 r131 −5− 48ε +12114403e112|23|34|e5|555||1/6r12 r331− 2880ε−4 +4e112|23|44|455|5|e|1/8r1 r111 −5− 40ε +780ε−4 −674805e112|23|44|555|e5|| 1/12r12 r31 −4− 64ε +364ε−3 −1938406e112|23|44|e55|55||1/8r1 r911 −5− 240ε +41480ε−4 −239607e112|23|45|445|5|e|1/2r1 r107ε−5 +− 72017288ε−4 −5632880ε−3 +226957608e112|23|45|e45|55||1/4r1 r1111 −5− 720ε +1031440127960ε−3 +3111529e112|23|e4|455|55||1/4r12 r227− 720ε−4 +3772010 e112|33|344|5|55|e| 1/16r1 r147− 180ε−5 +34052Nε−4 −1345ε−4 −19128801164ε−3 −ε−4 −ε−3 −ε−4 +ε−3 +13318047256ε−2 +ε−3 ++1675460829960ε−2 +307288077202895760ε−3 +43ε−2 −+7077680ε−113120580911520−14049ζ3 ε−2 + − 640+340ζ4 −ζ3 ε−2 +53240ζ4 −ζ3 ε−1ε−1120+13011ε−3 + − 384−ζ3 ε−1ζ3 ε−1124ζ3 ε−2 + − 187768 +−1360497ζ3 ε−2 + − 3840++151ε−2 + − 240+59ε−3 + − 480+43120110ζ3 ε−2 +1120284311520−18340ζ4 +120148ζ4 +ζ4 −310ζ3 ε−1940ζ3 ε−1ζ3 ε−1ζ3 ε−1ζ3 ε−2 +9592880+320ζ4 −120ζ3 ε−113320293202211280−780ζ3 ε−11551152−191205311 e112|33|444|55|5|e| 1/48r12 r41 −4ε +− 4012 e112|33|445|45|5|e|1/4r1 r1313 −5ε +− 72013 e112|33|445|e5|55|| 1/16r12 r221 −4ε +− 7214 e112|33|e34|5|555|| 1/12r12 r413 −4ε +− 72015 e112|33|e44|55|55|| 1/32r1 r151 −5− 12ε +12416 e112|33|e45|45|55||1/8r1 r91 −5ε +− 3631360ε−4 −1324011ε−3 + − 288−17 e112|34|334|5|55|e|1/8r1 r101 −5− 72ε +13240ε−4 −17288ε−3 +5192−110341ζ3 ε−2 + − 5760−320ζ4 +760ζ3 ε−118 e112|34|335|4|55|e|1/8r1 r121 −5− 72ε +13240ε−4 −17288ε−3 +5192+115341ζ3 ε−2 + − 5760−1140ζ4 +920ζ3 ε−119 e112|34|335|5|e55||1/4r1 r117− 360ε−5 +115ε−4 −3772017ε−3 + − 480−140ζ4 −1912020 e112|34|335|e|555|| 1/24r12 r37− 480ε−4 +1124021 e112|34|345|45|5|e|1/222 e112|34|345|e5|55||1/2ε−3 +10314401181972880r1 r101− 180ε−5 +297207288ε−3 −ε−4 +4r1 r2 r3 − 15ζ3 ε−3 +3772880ε−4 −ε−3 −548ε−3 +110ζ4 +ε−4 −ε−2 +ε−3 +ε−2 −1481124738419301396ε−2 +−325616148ε−3 +120ζ4 −148ζ3 ε−1ζ3 ε−1ζ3 ε−2 +16016029192−14ζ4 +112511ζ3 ε−2 + − 2880−ζ3 ε−2 +5532880−ζ3 ε−1140ζ4 +23120ζ3 ε−1ζ3 ε−1ε−1ζ3 ε−2 + − 1740 ζ4 −2171440−ε−1223ε−2 + − 2304−ε−3 +7031280ζ3 ε−2 +10192880−7301310ζ3 +2120ζ5 ε−11903ζ3 ε−2 + − 1920+140ζ4 +35ζ3 ε−12972021714405423 e112|34|355|45|e5||1/2r1 r101ε−5 +− 18024 e112|34|355|e4|55||1/4r1 r131 −5ε +− 9025 e112|34|e33|5|555|| 1/24r12 r413 −4ε +− 72026 e112|34|e34|55|55||1/8r1 r141 −5ε +− 7227 e112|34|e35|45|55||1/2r1 r131− 144ε−5 +28 e112|34|e55|445|5|| 1/16r1 r91 −5ε +− 3629 e112|e3|334|5|555|| 1/24r131− 384ε−3 +512830 e112|e3|344|55|55|| 1/16r12 r41− 160ε−4 +38031 e112|e3|345|45|55||r12 r31− 480ε−4 +11480ε−3 −71640ε−2 +r131− 192ε−3 +5192ε−2 −11384ε−11/8r12 r31− 240ε−4 +17480ε−3 −173960ε−2 +34 e123|224|4|555|e5|| 1/24r12 r31− 120ε−4 +11320ε−3 −3801/832 e112|e3|444|555|5|| 1/7233 e112|e3|445|455|5||124ε−4 −ε−4 −197288011240ε−3 −ε−4 +7114403136013720531440ε−4 −ε−4 −7325364011480ε−2 + − 17692880 +61ε−3 + − 192+ε−3 +1903ζ3 ε−2 + − 1920−115−223ε−2 + − 2304−10157613240ε−2 −ε−3 −ε−3 −14810192880ε−3 +131957601760160ε−2 +591280+780120ζ4 −740ζ3 ε−1ζ4 +11240ζ3 ε−1511ζ3 ε−2 + − 2880−140ζ4 +23120ζ3 ε−1ζ3 ε−1740ζ3 ε−112491920−320ζ3 ε−1740293840+120+−1575760+ζ3 ε−2 +29312804013840ζ3 ε−1ζ3 ε−1ε−1ε−2 +35ζ4 +ζ3 ε−1ζ3 ε−2 +11120−11ε−3 + − 288−148720110ζ3 ε−111240494804796011035 e123|224|5|445|5|e|1/4r1 r101ε−5 +− 12036 e123|234|45|45|5|e|1/2r1 r85337 e123|234|45|55|e5||1/231ζ3 ε−3 + − 20ζ4 +r1 r2 r3 − 1011203ζ3 ε−2 + − 10ζ4 −74038 e123|245|45|445||e|1/431ζ3 ε−3 + − 20ζ4 +r1 r2 r3 − 1011203ζ3 ε−2 + − 10ζ4 −740ε−4 −ζ5 ε−2 + − 2512 ζ6 +16ε−3 +−55r12 r31− 288ε−4 +25576ε−3 −91384ε−2 +40 e123|e23|44|55|55|| 1/16r1 r91ε−5 +− 1207240ε−4 +11480ε−3 + − 197960 +41 e123|e23|45|45|55||1/8r1 r111− 360ε−5 +17720ε−4 −11160587ε−3 + − 2880+42 e123|e24|33|5|555||1/6r12 r37− 960ε−4 +130ε−3 −1176843 e123|e24|34|55|55||1/4r1 r131− 360ε−5 +148ε−4 −77144044 e123|e24|35|45|55||1r1 r101− 720ε−5 +5288ε−4 −347288045 e123|e24|55|445|5||1/4r1 r111− 240ε−5 +13480ε−4 −1119246 e123|e45|334|5|55||1/8r1 r111 −5− 90ε +ε−4 −17360320760ζ3 −130ζ5 ε−1ζ3 +2360ζ5 ε−1ζ4 +ζ3 ε−1ζ32 ε−139 e123|e23|34|5|555|| 1/12120261640−ζ3 ε−2 +5831152124+73ε−2 + − 512+30375760−215ζ3 ε−2 +4431920+1045357602340−ζ3 ε−2 +11601323ζ3 ε−2 + − 1280+160ζ4 −1104360ζ4 −ζ3 ε−110160ζ3 ε−1ζ3 ε−1215239ε−3 + − 1920+19ε−3 + − 240+ζ3 ε−2 +133012431ε−3 + − 960+ε−3 +ζ3 ε−1112ζ3 ε−2 +22435760−12111280740+49ζ3 ε−2 + − 1440+ζ4 −11014ζ4 +ζ3 ε−1132418ζ4 −97120140ζ4 −340ζ3 ε−1ζ3 ε−1ζ3 ε−147 e123|e45|344|55|5||1/848 e123|e45|345|45|5||1/4r1 r121/8148r1 r2 r3 − 61 ζ3 ε−3 +49 e123|e45|444|555||| 1/7250 e123|e45|445|455|||1ε−5 +− 360ε−4 −77144014712r131ε−3 +− 1925192r1 r101ε−5 +− 360148ζ4 +ε−2 −ε−4 −31ε−3 + − 960+215ζ3 ε−2 + − 21 ζ4 −11384771440ζ3 ε−2 +58ζ3 +2322435760−740ζ4 −14ζ3 ε−1120ζ4 −14ζ3 ε−1ζ5 ε−1ε−131ε−3 + − 960−130ζ3 ε−2 +Таблица 2.2.

Множители ri (n) из Таблицы 2.156iri (n)iri (n)1(n + 2)/39(3n3 + 24n2 + 80n + 136)/2432(n + 8)/910(7n2 + 72n + 164)/2433(5n + 22)/2711(11n2 + 76n + 156)/2434(n2 + 6n + 20)/2712(n3 + 10n2 + 72n + 160)/2435(3n2 + 22n + 56)/8113(n3 + 14n2 + 76n + 152)/2436(n2 + 20n + 60)/8114(n3 + 18n2 + 80n + 144)/24322435760−7(n3 + 8n2 + 24n + 48)/818(2n2 + 55n + 186)/24315 (n4 + 10n3 + 40n2 + 80n + 112)/243572.1.1.61/n-разложениеВ статье [86] с использованием метода конформного бутстрапа быловычислено 1/n-разложение критического индекса η вплоть до 1/n3 :η1 η2η3η=+ 2 + 3 +Onnn1n4.(2.18)Результат, полученный в рамках ε-разложения для индекса η, можносравнить с 1/n разложением: ε-разложение является точной функцией поn, тогда как коэффициенты 1/n-разложения, вычисленные в [86], точныефункции ε.

Характеристики

Список файлов диссертации