Диссертация (1145286), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Например, если такое упорядочивание задано соотношением a < b, представление 12|2|| : a|a|b| будет минимальными, тем самым, является индексом Никеля. Строго говоря, упорядочивание свойств может быть задано любым разумным способом. Например,в нашем случае вместо a < b можно использовать соотношение b < a,это, естественно, приведет к другому индексу Никеля 12|2|| : b|a|a|. Длятого чтобы избежать подобной путаницы, по умолчанию всегда предполагается естественное (алфавитное) упорядочение (т.е.
в нашем случаеa < b).1.1.2.2Линии различных типовАналогичным образом можно расширить представление на случай линий с нетривиальными свойствами. Поскольку индекс Никеля определяет так жеи каноническое упорядочение линий, мы можем перечислять свойства линий в этом порядке. Таким об- Рис. 1.5. Линииразом представление Никеля может быть расширено различных типовдополнительной секцией описывающей свойства линий.Рассмотрим в качестве примера диаграмму на рис. 1.5. Она имеет два типа линий: сплошные и пунктирные (сплошные линии могутобозначать безмассовые пропагаторы, а пунктирные – массивные, поэтому естественно обозначить соответствующие свойства 0 и 1 соответственно).
Тогда для диаграммы может быть написано три различныхпредставления Никеля e111|e| : 0_0_0_1|0|, e111|e| : 0_1_0_0|0| илиe111|e| : 0_0_1_0|0|. Первое представление, очевидно, является минимальными и соответствует индексу Никеля данной диаграммы.1.1.2.3Направленные графыПоскольку индекс Никеля определяет направление на каждой линии (от вершины с меньшим номером к вершине с большим), мы можем расши162301Рис.
1.6. Направ-рить наше представление секцией, которая будетопределять, имеет ли конкретная линия "каноническое"направление или же направлена в другую сторону.Простой направленный граф может быть определен используя следующее соглашение: символ ">"означает что линия имеет "каноническое"направление, а "<"если направление обратное. Естественно подразумевается, что "<"меньше, чем ">". В соответствии с правилами, описанными выше, диаграмма на рис. 1.6 имеет следующий индекс Никеля:e12|e3|33|| : < _< _ >|>_ >|< _ >||1.1.3Расширенный индекс Никеля для диаграммобщего видаРассматривая диаграмму общего вида, мы можем думать о ней как онекоей многослойной структуре: первым слоем является соответствующий ей ненаправленный граф без дополнительных свойств линий и вершин.
Поверх этого слоя мы можем добавлять новые слои, соответствующие различным свойствам: направления линий, а так же различныесвойства вершин и линий. Используя данную схему, мы можем полностью определить наш граф.Порядок задания свойств(слоев) в данной структуре важен, так какон будет приводит к различным индексам(представлениям) Никеля. Вобщем случае более "важное"свойство должно идти раньше менее важного.51.1.4РеализацияОписанный выше способ обобщения представления(индекса) Никеляреализован в виде библиотеки GraphState и сопутствующей ей библиотеки Graphine для языка Питон [8]. Библиотека Graphine , используя вкачестве внутреннего представления GraphState , позволяет выполнятьманипуляции над графами (характерные для наиболее распространенных методов расчета фейнмановских диаграмм), такие как поиск под5Важность свойства, естественно, определяется конкретной задачей.17графов по заданным правилам, стягивание подграфов в точку, замена/удаление/добавление линий графа и т.п.
Данные библиотеки позволяютсущественно облегчить многопетлевые вычисления, например, производя трансформации подынтегральных выражений на уровне графов, а несимвольных выражений (что заведомо медленнее). Большинство расчетов [2–6,12,13] , приведенных в данной диссертации, используют данныебиблиотеки.1.2Вычисление диаграммм при помощи интегрирования по частямМетод интегрирования по частям (integration by parts, IBP) изначально предложенный в [14] для x-пространства, в последствии был сформулирован для импульсного представления в [15]. В настоящее времяпоследний получил наибольшее распространение.Метод основан на том факте, что интеграл от дивергенции некоейвеличины в размерной регуляризации равен нулю:Z∂dD kfi (k) = 0(1.2)∂kiПодбирая функцию fi таким образом, чтобы после дифференцированияодно из слагаемых совпадало с искомым интегралом, мы получаем некоесоотношение, связывающее искомый интеграл с другими интегралами.Правильным выбором функции fi и переменной, по которой происходитдифференцирование, можно получить соотношение, связывающее искомый интеграл с более простыми интегралами.
Под более простыми интегралами подразумеваются интегралы с меньшим набором нетривиальных комбинаций импульсов в знаменателе (пропагаторов), с меньшимистепенями пропагаторов и т.п. Последовательный алгоритм для сведения интегралов к простейшим (т.н. мастер-интегралам) был предложенв [16,17] и в настоящее время в той или иной степени используется всемипакетами, осуществляющими вычисления при помощи интегрированияпо частям.18Следующим существенным шагом повышающим эффективность данного подхода стало появление программы LiteRed [18–20], которая генерирует оптимизированные правила для редукции диаграмм к мастеринтегралам. Так же, в этом контексте стоит отметить метод П.Байкова[21, 22] также существенно упрощающий редукцию, по сравнению с оригинальным алгоритмом, однако в данной работе он не использовался.В данной диссертации для вычисления интегралов при помощи интегрирования по частям используется программа, написанная на языкеПитон, которая использует для приведения к мастер-интегралам правила, сгенерированные при помощи LiteRed (см.
[3]).1.3Вычисление контрчленов с помощью R∗операцииВычисление констант ренормировки при помощи R0 операции (неполная R операция Боголюбова-Парасюка) является одним из наиболеемощных методов вычисления контрчленов (см. например [9]. Использование R0 операции позволяет вводить наиболее удобную инфракрасную(ИК) регуляризацию для каждой диаграммы отдельно (а не для теориив целом). Правильное введение ИК регуляризации может существенноупростить вычисление диаграмм.В настоящий момент существует два основных подхода к проведению многопетлевых аналитических вычислений в рамках ренормгруппового подхода. Для того чтобы сделать интеграл удобными для аналитического счета оба подхода используют инфракрасное преобразование(Infrared Rearrangement (IRR)) [23, 24].
Суть инфракрасного преобразования состоит в том, что при вычислении контрчлена, соответствующегодиаграмме, можно положить равными нулю изначальные внешние импульсы и массы (после, если необходимо, разложения в ряд Тейлора) иввести вместо них вспомогательные. После этого преобразованные интегралы, как правило, вычисляются при помощи техники интегрированияпо частям (integration by parts (IBP))66Необходимо отметить что недавно появились новые мощные аналитические методы вычисленияфейнмановских интегралов.
Один из наиболее многообещающих - вычисление фейнмановских ин-19Первый способ [26–28] состоит в добавлении искуственно массы иливнешнего импульса в правильно выбранную линию диаграммы до формального разложения по внешним импульсм и массам (кроме искусственно введенной). Искусственный внешний импульс (масса) должныбыть введены таким образом, чтобы в диаграмме после инфракрасного преобразования не возникало новых (инфракрасных) расходимостей.Как правило, способ введения искусственного внешнего импульса выбирается таким образом, чтобы облегчить вычисление диаграммы.
Напрактике требование отсутствия инфракрасных расходимостей ведет кзаметному усложнению интегралов, которые необходимо сосчитать, а внекоторых случаях вообще исключает возможность сведения диаграммы к более простым интегралам. Данная проблема решена при помощиeспециальной техники вычитания ИК расходимостей, так назваемой Rоперации [29–31].Во втором подходе инфракрасное преобразвание осуществляется вводом одной и той же вспомогательной массы во все пропагаторы диаграммы [32–34]. После этого никаких ИК расходимостей не может возникнутьи можно разложить диаграмму по внешним импульсам и массам (кроме вспомогательной).
Получающиеся интегралы – полностью массивныевакуумные петли (т.е. интегралы без внешних импульсов).Неоходимо отметить, что в данных подходах разложение по массамии импульсам (исключая вспмогательные) обязательно, если вычисляемые константы ренормировки соответствуют нелогарифмически расходящимся функциям Грина.
Это эффективно сводит квадратично или более расходящиеся диаграммы к логарифмическим, что, в свою очередь,открывает возможность использования инфракрасного преобразования.Начиная с L = 3, L-петлевые массивные вакуумные диаграммы становятся существенно более сложными для вычисления, чем интегралыв первом подходе (с одним внешним импульсом или массой). Как следствие, наиболее продвинутые вычисления с использованием ренормгруппы выполнены с использованием первого, “безмассового” подхода (см например [35, 36]).тегралов при помощи гиперлогарифмов, но на момент выполнения данных вычислений они не былидостаточно хорошо разработаны и использовались позднее для вычисления бета-функции [25].20Перейдем теперь к осуждению текущих ограничений безмассовогоподхода с использованием R∗ операции на примере L-петлевой логарифмически расходящейся диаграммы hγi.
Здесь мы предполагаем что всеинтегралы соответствующие ее УФ подрасходимостям, нам уже известны(соответствующие интегралы имеют меньшее число петель).Таким образом, наша задача вычислить УФ контрчлен (мы предполагаем, что изначальный интеграл hγi не содержит ИК расходимостей)Zγ = −KR0 hγi.Первые два шага тривиальны:• ввести инфракрасно регуляризующий множительp2,(p − q)2(1.3)содержащий вспомогательный импульс q, а импульс p течет черезкакую-то из внутренних линий ` (эквивалентно можно использовать комбинацию p2 /(m2aux + p2 ), где maux вспомогательная ненулевая масса).• положить все внешние массы и импульсы равными нулю (кромевспомогательного)Модифицированный интеграл hγ q i естественным образом представляется в виде сверткиqhγ i =Zp2dp0hγ i(p),(2 π)D(p − q)2(1.4)где (L-1)-петлевой п-интерал7hγ 0 i(p) = Cγ 0 (ε)1(p2 )1+(L−1)ε,который получается из оригинальной диаграммы разрезанием линии `,для которой был введен регуляризующий множитель (1.3), т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
