Диссертация (1145286)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТНа правах рукописиКомпаниец Михаил ВладимировичМногопетлевые расчеты в моделях критическогоповедения и стохастической турбулентностиСпециальность 01.04.02 – "теоретическая физика"Диссертация на соискание ученой степенидоктора физико-математических наукНаучный консультант:д.ф.-м.н., профессор Л.Ц. АджемянСанкт-Петербург – 2016ОглавлениеВведение51 Методы вычисления диаграмм1.1 Представление диаграмм при помощи расширеного индекса Никеля .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.1 Представление Никеля для графов с ”внешними линиями” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.2 Расширенное представление Никеля для ”раскрашенных” и направленных графов . . . . . . . . . . .1.1.3 Расширенный индекс Никеля для диаграмм общеговида . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.4 Реализация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2 Вычисление диаграммм при помощи интегрирования почастям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3 Вычисление контрчленов с помощью R∗ операции . . . . .1.4 Обобщение ограничений ’т Хофта на случай конкретныхдиаграмм . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .1.5 Вычисление интегралов с использованием гиперлогарифмов1.5.1 Подрасходимости и схема ренормировки с одномасштабными вычитаниями . . . . . . . . . . . . . . . .1.6 Вычисление интегралов при помощи разбиения на сектора1.7 Борелевское пересуммирование . . . . . .

. . . . . . . . . .111214151717181925273031342 Расчеты в модели ϕ4402.1 O(N ) симметричная векторная ϕ4 модель . . . . . . . . . . 402.1.1 Шестипетлевой расчет аномальной размерности поля 4222.1.2Шестипетлевой расчет бета-функции и аномальнойразмерности массы . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .2.1.3 Предсказания для старших членов теории возмущения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.4 Пересуммирование критических экспонент . . . . .2.1.5 Обсуждение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2 Тензорные обобщения модели ϕ4 . . . . . . . .

. . . . . . .2.2.1 Вещественное антисимметричное поле. . . . . . . .2.2.2 Комплексное антисимметричное поле . . . . . . . .3 Теория без расходимостей3.1 Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2 Представление расходящихся интегралов через несингулярные интегралы .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.1 Выбор схемы ренормировки . . . . . . . . . . . . . .3.2.2 Схема расчета констант ренормировоки . . . . . .3.2.3 Расчет критических индексов в ϕ3 модели в 4х петлевом приближении . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3 Представление аномальных размерностей через несингулярные интегралы . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3.1 Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3.2 Представление ренормгрупповых функций черезренормированные функции Грина . . . . . . . . . .3.3.3 Доказательство для отдельной диаграммы . . .

. .3.3.4 Комбинаторная часть доказательства . . . . . . . .3.3.5 Обсуждение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3.6 Применение теории без расходимостей к O(N ) симметричной ϕ4 модели . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3.7 Дополнительные замечания . .

. . . . . . . . . . . .3.4 Теория без расходимостей в стохастической динамике . . .3.4.1 Обобщение на критическую динамику . . . . . . . .3.4.2 Модель направленной перколяции . . . . . . . . . .3.4.3 Предел больших размерностей пространства в теории стохастической турбулентности . . . . .

. . . .36165686969698491919494971001021031031051101161161281331331441494 Исследование стохастической модели турбулентности впространствах различной размерности1614.1 Улучшенное ε-разложение для трехмерной турбулентности 1624.1.1 Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . 1624.1.2 Ренормировка модели в фиксированном пространстве размерности d > 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 1644.1.3 Построение двойного (ε, Δ) разложения. Доказательство несостоятельности нелокальной ренормировки [1] в двухпетлевом приближении . . . . .

. . 1724.1.4 Построение (ε, Δ) разложения в двузарядной модели с локальными контрчленами. Расчет константренормировки в двухпетлевом приближении. . . . . 1794.1.5 Уравнения ренормгруппы . . . . . . . . . . . . . . . 1884.1.6 Скьюнес фактор и константа Колмогорова . . . . . 1954.1.7 Обсуждение . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . 2024.2 1/d разложение в теории турбулентности. . . . . . . . . . . 2034.2.1 Вычисление константы Колмогорова . . . . . . . . . 2034.2.2 Стохастическая модель турбулентного переносапассивного векторного поля . . . . . . . . . . . . . . 207Bibliography2204ВведениеИсследование поведение физических систем в окрестности критических точек уже весьма продолжительное время является предметомпристального интереса и экспериментаторов и теоретиков. При подходек критической точке восприимчивость системы неограниченно возрастает, имеются также аномалии теплоемкости и других термодинамических величин. Весьма чувствительными к близости к критической точке оказываются и многие динамические характеристики – коэффициенты диффузии и теплопроводности, скорость звука и т.д. Исследованиеэтих «критических явлений» и составляет предмет теории критическогоповедения. Важной его особенностью является универсальность – зависимость лишь от общих свойств системы – размерности пространства,природы параметра порядка, симметрии системы, но не от ее деталей.

Естественное объяснение универсальности было предложено в теории,сформулированной в 1937 году Ландау. Эта теория дает определенныепредсказания относительно сингулярностей различных величин в критической точке. Однако после нахождения Онсагером в 1942 году точногорешения двумерной модели Изинга стало ясно, что предсказания теорииЛандау неточны. Это подтвердили и экспериментальные исследованиякритических сингулярностей, выполненные в шестидесятые годы. Этиисследования подтвердили, что критические сингулярности действительно носят степенной характер (скейлинг) , но показатели степеней – критические индексы – отличаются от значений, предсказываемых теориейЛандау.В определенной степени похожая картина имеет место для систем сразвитой гидродинамической турбулентностью. Здесь качественное объяснение наблюдаемым спектрам турбулентных пульсаций было даноКолмогоровым (колмогоровский скейлинг), но впоследствие выяснилось,5что имеются систематические отклонения показателей от колмогоровских – так называемый аномальный скейлинг.Разработанность темы исследования.До определенной степени роднит эти задачи и то, что они могутбыть сформулированы в виде некоторых моделей квантовой теории поля.В случае критических явлений конструктивный способ обработки этихмоделей – обоснование критического скейлинга и расчет критическихпоказателей – был найден Вильсоном в 1971 году.

Вильсон рассматривал зависимость критического поведения от размерности пространстваи установил, что существует критическая размерность dc , такая, чтопри d > dc справедлива теория Ландау. Для случая модели ϕ4 dc = 4.Используя метод ренормализационной группы, Вильсон обосновал критический скейлинг и научился находить критические показатели в видетак называемого эпсилон разложения – ряда по формально малому параметру ε = d − dc . Найденные Вильсоном первые поправки к значениямкритических показателей в теории Ландау значительно приблизили ихзначения к экспериментальным. В настоящее время метод РГ являетсяобщепризнанным в теории критического поведения.

Техническая сложность использования этого метода состоит в том, что продвижения вкаждый следующий порядок теории возмущений требует вычисления всеболее сложных диаграмм Фейнмана. К тому же ряд является асимптотическим и для получения достоверных результатов требуется его пересуммировать по Борелю. В случае теории турбулентности метод РГ такжеможет быть использован. Роль параметра эпсилон в этом случае играетдополнительно вводимый в теорию формально малый параметр.

Хотяфизическое значение этого параметра не мало, особые свойства моделипозволяют обосновать колмогоровский скейлинг вне рамок теории возмущений. Однако обоснование аномального скейлинга до сих пор остаетсясложной нерешенной задачей. Некоторый успех достигнут в этом отношении для модели турбулентного перемешивания пассивного скалярногополя, в которой показатели аномального скейлинга были рассчитаны втретьем порядке теории возмущений.Актуальность темы исследования.Проведение процедуры борелевского суммирования требует знания6по возможности большего числа членов разложения, это делает весьмаактуальной задачу расчета многопетлевых диаграмм Фейнмана. В ϕ4 модели в этом отношении к концу прошлого века был достигнут рекордныйрезультат – пятипетлевой аналитический ответ.

Однако и этот результатне дал ответы на все вопросы, например, совпадают ли предсказываемыеϕ4 моделью индексы с точным решением Онсагера модели Изинга длядвумерной системы. В теории турбулентности актуальной задачей является обобщение результатов вычисления показателей аномального скейлинга пассивной примеси на случай векторной примеси, что приблизилобы к решению задачи обоснования аномального скейлинга собственно поля турбулентных пульсаций. Это является весьма сложной техническойзадачей.Целями данной работы являются разработка новых методов расчетамногопетлевых диаграмм и применение этих методов для решения задачкритического поведения и стохастической турбулентности.Для достижения поставленных целей решаются следующие задачи.• Разработать методы, дающие возможность увеличить точностьмногопетлевых расчетов и решать задачи в области критическогоповедения и стохастической турбулентности в более высоких порядках теории возмущений.• Вычислить критические показатели O(n) симметричной векторноймодели в шестом порядке теории возмущений.• Исследовать тензорные обобщения ϕ4 модели.• Разработать подход позволяющий при проведении численных расчетов вычислять аномальные размерности без использования констант ренормировки.• В рамках стохастической теории турбулентности разработать подход позволяющий эффективно суммировать вклады диаграмм имеющих сингулярности в размерности пространства d = 2.7• В рамках двойного (1/d, ε) разложения исследовать модель стохастической турбулентности и модель переноса пассивного векторного поля.Основные положения, выносимые на защиту.1.

Сформулировано компактное представление графов с произвольными свойствами линий и вершин (обобщенный индекс Никеля).На основе данного представления разработаны алгоритмы вычисления многопетлевых диаграмм.2. В шестипетлевом приближении вычислены аномальные размерности и бета функция O(n) симметричной векторной ϕ4 модели. Произведено суммирование полученных рядов методом конформногоБореля.3. Произведен ренормгрупповой анализ обобщения модели ϕ4 на тензорное антисимметричное поле в пятипетлевом приближении, показано, что при n > 4 в модели вместо фазового перехода второгорода, происходит переход первого рода.4. Предложен подход, в котором вычисления проводятся без использования сингулярных по ε констант ренормировок, а все необходимые ренормгрупповые функции выражаются через УФ-конечныеинтегралы. С использованием данного метода произведен ренормгрупповой расчет в ряде моделей критической статики и динамики.5.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов диссертации