Диссертация (1145286), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Поэтому для таких теорий особенно важно вычисление многопетлевых поправок к критическимпоказателям.В O(N ) симметричной модели ϕ4 в рамках ε-разложения одно- идвухпетлевое приближение были вычислены К.Вильсоном [74], трехпетлевое приближение для β-функции и четырехпетлевое приближение дляиндекса Фишера η были расчитаны в [75]. Необходимо отметить, что данная работа стала последней, в которой для расчетов в данной (ТК этой)модели непосредственно использовался ренормгурпповой подход Вильсона. Все последующие работы использовали квантово-полевую формулировку ренормгруппового подхода, которая эффективно сводит проблемувычисления критических показателей к нахождению β-функции и аномальных размерностей.Данный подход вместе с современными вычислительными методами позволяет вычислять многопетлевые поправки с существено меньшими усилиями, чем оригинальный подход Вильсона.
Используя квантовополевую ренормгруппу, четырехпетлевые поправки для всех критических индексов были найдены в [27]. Аномальная размерность поля γϕ ииндекс Фишера η с пятипетлевой точностью были вычислены в [37], апятипетлевая β-функция впервые была опубликована в [76, 77]. Позднеев этих расчетах были найдены некоторые (численно не существенные)неточности [78].412.1.1Шестипетлевой расчет аномальной размерности поля2.1.1.1Ренормировка ϕ4 моделиРенормированное действие ϕ4 модели в евклидовом пространстве размерности d = 4 − 2ε имеет видS(ϕ) =Z116 π 21 2222ε 4m Z1 ϕ + Z2 (∂ϕ) +Z4 g µ ϕ ,dx224!(2.1)где константы ренормировки Zi могут быть выражены в терминах констант ренормировки поля ϕ0 = ϕZϕ , массы m20 = m2 Zm2 и константысвязи g0 = gµ2 Zg стандартным образом:Z1 = Zm2 Zϕ2 ,Z2 = Zϕ2 ,Z4 = Zg Zϕ4 .(2.2)В схеме минимальных вычитаний (MS) [40], использующейся при данныхрасчетах, ульрафиолетовые (УФ) контрчлены не зависят от ренормировочной массы µ и могут зависеть только полиномиально от остальныхразмерных параметров теории [79].
Как следствие, константы ренормировки Zi зависят только от параметра регуляризации ε и ренормированной константы связи g и могут быть представленны в виде:Zi = 1 +X Zi,k (g)k=1εk(2.3)Зная константу ренормировки Zϕ (g), соответствующая аномальная размерность поля может быть найдена из∂ log Zϕ (g) ∂ log Zϕ∂ Zϕ,1 (g)∂ Z2,1 (g)γϕ (g) = µ= β(g)= −2g= −g.g0 ,ϕ0∂µ∂g∂g∂g(2.4)Константы ренормировки Z2 и Zm2 связаны с УФ расходимостямидвухточечной (двуххвостой) один-неприводимой (одночастично неприводимой) функции Грина Γ2 (p, m20 , g0 ), которая связана с двухточечной(полной) функцией Грина (пропагатором) D(p, m20 , g0 ) при помощи урав-42нения ДайсонаD−1 (p, m20 , g0 ) = p2 + m20 − Γ2 (p, m20 , g0 ).Таким образом, дляDR (p, m2 , g, µ) мы имеемреномированногополногопропагатора1D(p, m2 Zm2 , gµ2ε Zg ) =2Zϕ1= 2 2=Zϕ (p + m2 Zm2 − Γ2 (p, m2 Zm2 , gµ2ε Zg ))1= 2p Z2 + m2 Z1 − Zϕ2 Γ2 (p, m2 Zm2 , gµ2ε Zg )DR (p, m2 , g, µ) =(2.5)Правая часть последнего равенства в (2.5) может быть переписана втерминах R-операции Боголюбова-Парасюка [80, 81] слеующим образомZϕ2 Γ2 (p, m2 Zm2 , gµ2ε Zg ) = KR0 Γ2 (p, m2 , gµ2ε ).Таким образом, константы ренормировки Z1 и Z2 могут быть выделеныиз Γ2 , а Z4 из Γ4 :Z1 = 1 + ∂m2 KR0 Γ2 (p, m2 , g, µ),Z2 = 1 + ∂p2 KR0 Γ2 (p, m2 , g, µ),(2.6)Z4 = 1 + KR0 Γ2 (p, m2 , g, µ)/g,где R0 - неполная R-операция (вычитающая расходимости только в подграфах) и K – оператор выделения расходящейся части соответствующего ε-разложения:XXKCi εi =Ci εi .ii<0Константы ренормировки Zi i = 1, 2, 4 известны вплоть до 5 петлевогоприближения [37,76–78].
Нашей задачей являлось расширить эти результаты на еще один порядок, т.е. вычислить аналитически шести петлевойвклад в аномальные размерности.432.1.1.2Вычисление двувершинно приводимых диаграммМодель ϕ4 особо привлекательна тем, что имеет только четверные вершины со скалярным полем. Как следствие, набор “топологий”фейнмановских диаграмм, которые необходимо вычислить, существенноменьше по сравнению с, например, ϕ3 моделью. Это может быть проиллюстрировано тем фактом, что четырехпетлевые аналитические ренормгрупповые вычисления в данной модели были выполнены совсем недавно [82,83], тогда как четырехпетлевые ренормгрупповые функции для ϕ4модели известны с 1979 года [27].
Следуя логике, изложенной в разделе1.3 для вычисления контрчленов, нам необходимо выполнить (возможно ИК опасное) преобразование внешних импульсов, вводя смягченнуюлинию. Различный выбор “смягченной” линии приводит к различным (L1)-петлевым p-интегралам. Правильный выбор данной линии во многихслучаях приводит к исключительно простым p-интегралам. Это происходит, если оригинальная диаграмма Γ является двувершинно приводимой(ДВП). По определению, один-неприводимая диаграмма Γ принадлежитк классу ДВП диаграмм, если возможно разрезанием одной из ее линий или вершин превратить ее в (одно)вершинно приводимую (ОВП)диаграмму, т.е.
диаграмма может быть представлена в качестве произведения двух p-интегралов (каждый из которых имеет не нулевое числопетель).Таким образом, для ДВП диаграммы вычисление соответствующегоинтеграла FΓ\` (p) сводится к вычислению двух p-интегралов Fγ1 и Fγ2 счислом петель L1 > 0 и L2 > 0, L1 + L2 = L − 1, соответственно. Это также означает, что УФ контрчлен, соответствующий любой шестипетлевойдиаграмме Γ (не обязательно логарифмической), может быть вычисленаналитически, если Γ принадлежит к классу ДВП диаграмм и известноε-разложение четырехпетлевых мастер-интегралов с точностью по ε наодин порядок больше, чем нужно для пятипетлевых расчетов1 (доступных (ТК имеющихся или приведенных) в [84]). Эти члены по ε (и много1В действительности, оказывается, что для проводимых в данной работе расчетов нам не нужнознать следующий член поε для четырехпетлевых мастер-интегралов.
Поэтому наш конечный разультат для γϕ (см ур. 2.12) не содержит никаких дополнительных констант кроме тех, что ужепоявлялись в пятипетлевых ренормгрупповых расчетах (подробное обсуждение см в [84]).44Рис. 2.1. Единственная двувершинно неприводимая диаграмма, дающаявклад в аномальную размерность поля в пятипетлевом приближении.последующих) были вычислены в [85] для полного набора четырехпетлевых мастер-интегралов и подтверждены в [48].В действительности, ДВП диаграммы превалируют в ϕ4 модели, чтои являлось причиной столь ранних четырех- и пятипетлевых вычислений, как и того, что сейчас мы можем выполнить шестипетлевые расчеты.
Так трех- и четырехпетлевые диаграммы, дающие вклад в аномальную размерность γ2 , оказываются двувершинно приводимыми. В пятипетлевом приближении все, кроме одной, (см рис. 2.1) диаграммы такжедвувершинно приводимы.В шестипетлевом приближении из 50 диаграмм все, кроме двух, являются двувершинно приводимыми. Для того, чтобы вычислить 48 двувершинно приводимых диаграмм, использовался специально разработанныйпакет для вычисления УФ контрчленов [3], который позволяет автоматизировать все операции над фейнмановскими диаграммами, например, инфракрасное преобразование, R∗ операцию, а также интегрирование по частям с использованием правил, сгенерированных программойLiteRed [18].2.1.1.3Вычисление двувершинно неприводимых диаграммКак уже упоминалось в разделе 2.1.1.2, в шестипетлевом приближении аномальной размерности поля есть всего две двувершинно неприводимые (ДВН) диаграммы, они изображены на рис.
2.2. В соответствиисо стандартной стратегией инфракрасного преобразования эти диаграммы требуют вычисления сложных (нефакторизующихся) пятипетлевыхp-интегралов. Ниже описано, как эти две диаграммы были вычислены.Диаграмма (a) Диаграмма (а) (см рис.2.2a) имеет весьма специфичную топологию: она содержит линию, соединяющую обе внешние верши45(a)(b)Рис. 2.2. (a) и (b): Двувершинно неприводимые диаграмм, дающие вкладв аномальную размерность поля в шестипетлевом приближении.ны. В дополнение к этому, она расходится квадратично.
Эти два факта позволяют достаточно легко вычислить соответствующий УФ контрчлен. Первый шаг достаточно прост, так как одно из петлевых интегрирований данной диаграммы может быть выполнено аналитически(из-за того, что одна из линий соединяет внешние вершины).
Это дает=1G(1, 5 ε)16π 2,(2.7)5где (см. (1.8)), G(1, 5 ε) = − 12+O(ε). Тот факт, что множитель G(1, 5 ε)в правой части (2.7) не содержит полюсного вклада (O(ε0 )), означает,что у второго множителя нам нужно знать только полюсную часть, аполюсная часть пятипетлевого p-интеграла может быть достаточно легкососчитана (см раздел 1.4).Диаграмма (b) Для диаграммы (b) на рис. 2.2 нам необходимо вычислить вторую производную по p. Это порождает два члена (линиям сострелками соответствует pµ /p2 ):1(∂p )2 KR0 2 =2KR0 4 − dd4+2KR0 d+(2.8),Первая диаграмма в правой части (2.8) может быть сосчитана такимже образом, что и диаграмма (а), описанная выше, а вторая диаграмматребует отдельного рассмотрения.46Упрощающими моментами является то (ТК Ситуация упрощаетсятем), что эта диаграмма расходится логарифмически и является примитивной (т.е.
не содержит подрасходимостей), так что мы можем выполнить следующее инфракрасное преобразование:KR0 4d4 = KR0 d(2.9)Для диаграммы после инфракрасного преобразования мы можем выполнить однопетлевое интегрирование аналитически, используя (1.6):4 = K G(1, 1 + 5ε)d4Kd(2.10)Для вычисления УФ контрчлена изначальной диаграммы нам нужнознать диаграмму в правой части (2.10) вплоть до константы, поскольку множитель перед диаграммой в правой части (2.10) порядка O(ε−1 ).Так как диаграмма конечна (отсутствуют расходимости, включая поверхностную), нам нужно вычислить только ведущий (независящий от εвклад в ее разложение).
Это может быть выполнено, используя переходк соответствующему дуальному графу:=C=Cx-spacep-spacep-space(2.11)Необходимо отметить, что в х-пространстве (средняя и правая диаграммы в (2.11)) имеют нестандартный вид зависимости от ε, а именно1/(x1 −x2 )2(1−ε) . Поскольку мы ищем только ведущий (независящий от ε)член, мы можем рассматривать стандартные пропагаторы 1/(x1 − x2 )2 .47Теперь диаграмма в правой части (2.11) имеет только 4 петли, содержитстандартные пропагаторы и может быть легко вычислена при помощичетырехпетлевой редукции (интегрирование по частям).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
